Formularium: inductieve statistiek
Verzamelingen
Populatie en steekproef
Populatie N = de verzameling van alle objecten of onderzoekseenheden waarover men
uiteindelijk een uitspraak over wil doen (kan eindig of oneindig zijn)
Steekproef n = een geordende (…,…) of ongeordende {…,…} deelverzameling van
elementen uit een populatie
Inductieve statistiek = vanuit gegevens over een steekproef op statistische gronden
afleidingen maken mbt een bepaalde populatie
Steekproeftrekking en toevalsexperiment
Steekproeftrekking met/zonder teruglegging
Na trekking van elk element van de steekproef wordt dit element wel/niet terug toegevoegd
aan de populatie alvorens een volgend element wordt getrokken
MET teruglegging
Kan eenzelfde element uit de populatie meermaals
voorkomen in eenzelfde steekproef
Blijft de populatiesamenstelling constant tijdens de
steekproeftrekking
1
,ZONDER teruglegging
Kan eenzelfde element uit de populatie NIET
meermaals voorkomen in eenzelfde steekproef
VERANDERT de populatiesamenstelling tijdens de
steekproeftrekking
Steekproeftrekking = de trekking van een steekproef met omvang n gebeurt op zuiver
toevallige wijze (ZTW) als dit gebeurt met teruglegging en op een dusdanige manier dat
elke deelverzameling van n elementen uit de populatie evenveel kans heeft om als steekproef
getrokken te worden
Representatitviteit = idealiter lijkt de steekproef op de populatie wat betreft de kenmerken
van belang voor de studie (steekproeftrekking op ZTW garandeert geen representativiteit)
Toevalsexperiment
Een toevalsexperiment (TE) is een experiment of procedure waarvoor geldt:
Onzeker resultaat: je weet van tevoren niet wat het resultaat zal zijn de resultaten
zijn onderhevig aan toeval
Gedefinieerde uitkomstenverzameling: je kan vooraf bepalen welke
uitkomsten/resultaten mogelijk zijn
Herhaalbaar: het experiment kan meerdere keren onder dezelfde omstandigheden
uitgevoerd worden
Uitkomsten en uitkomstenverzameling
Uitkomst = de concrete realisatie die je krijgt wanneer je het toevalsexperiment uitvoert
Uitkomstenverzameling Ω = verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het
toevalsexperiment (is van tevoren bekend)
Toevalsvariabelen
Toevalsvariabelen / stochast (X) is een eigenschap van de uitkomst van het
toevalsexperiment. Het toeval bepaalt de uitkomst van het toevalsexperiment en bijgevolg is
de waargenomen waarde van de variabele ook afhankelijk van het toeval
Toevalsexperiment = trek een willekeurige persoon, bv een toevallige voorbijganger
Toevalsvariabelen = het stressniveau van een toevallige voorbijganger
Discrete toevalsvariabele = neemt een “telbare” waarde aan
Continue toevalsvariabele = kan oneindig veel waarden aannemen binnen elk interval
2
,Kans (probabiliteit)
Kans = proportie waarmee een gebeurtenis voorkomt wanneer het overeenkomstige
toevalsexperiment heel vaak herhaald wordt. Kans geeft de waarschijnlijkheid van een
bepaalde gebeurtenis aan met een getal tss 0 - 1
Een waarde dicht bij 0 geeft aan dat de gebeurtenis onwaarschijnlijk is
Een waarde dicht bij 1 geeft een hoge waarschijnlijkheid aan
Regel van Laplace
Als alle uitkomsten in een eindige uitkomstenverzameling Ω even waarschijnlijk zijn, dan geldt
voor elke gebeurtenis G ⊂Ω
¿G
p ( G )=
¿Ω
Voorwaardelijke kans (conditionele probabiliteit)
Conditionele kans op A gegeven B:
P ( A|B )=¿ kans op gebeurtenis A gegeven dat gebeurtenis B plaatsvindt
p ( A ∩ B)
P ( A|B )=¿
p(B )
Als P ( B ) ≠ 0
Als P ( B )=0 is P ( A|B ) onbepaald
OPMERKING!!!
P ( B| A )
P ( A |B )=1−P ( A| B )
C
P ( A|B ) ≠ 1−P ( A| B )
C
Kans op samengestelde gebeurtenis
Doorsnede van gebeurtenissen
P ( A ∩B )=P ( B ) × P ( A| B )
P ( A ∩B )=P ( A ) × P ( B| A )
P ( A ∩B ∩C )=P ( A ) × P ( B| A ) × P ( C∨ A ∩ B )
3
, Doorsnede vs conditioneel
Doorsnede Conditioneel
A: psychologie studeren A: psychologie studeren
B: geslaagd zijn B: geslaagd zijn
Wat is de kans dat een student psychologie Wat is de kans dat een psychologiestudent
studeert en geslaagd is geslaagd is
P ( A ∩B ) P ( B| A )
Unie van gebeurtenissen
P ( A ∪B ) =P ( A )+ P ( B )−P ( A ∩ B )
Unie van disjuncte gebeurtenissen
Als A en B disjunct (uitbreidbaar naar unie van meer dan twee gebeurtenissen) beide
gebeurtenissen komen niet tegelijkertijd voor
P ( A ∪B ) =P ( A )+ P ( B )
Doorsnede vs unie
Doorsnede Unie
P ( A ∩B )=P ( B ) × P ( A| B ) P ( A ∪B ) =P ( A )+ P ( B )−P ( A ∩ B )
P ( A ∩B )=P ( A ) × P ( B| A )
Bevat ‘en’ Bevat ‘of’
4
Verzamelingen
Populatie en steekproef
Populatie N = de verzameling van alle objecten of onderzoekseenheden waarover men
uiteindelijk een uitspraak over wil doen (kan eindig of oneindig zijn)
Steekproef n = een geordende (…,…) of ongeordende {…,…} deelverzameling van
elementen uit een populatie
Inductieve statistiek = vanuit gegevens over een steekproef op statistische gronden
afleidingen maken mbt een bepaalde populatie
Steekproeftrekking en toevalsexperiment
Steekproeftrekking met/zonder teruglegging
Na trekking van elk element van de steekproef wordt dit element wel/niet terug toegevoegd
aan de populatie alvorens een volgend element wordt getrokken
MET teruglegging
Kan eenzelfde element uit de populatie meermaals
voorkomen in eenzelfde steekproef
Blijft de populatiesamenstelling constant tijdens de
steekproeftrekking
1
,ZONDER teruglegging
Kan eenzelfde element uit de populatie NIET
meermaals voorkomen in eenzelfde steekproef
VERANDERT de populatiesamenstelling tijdens de
steekproeftrekking
Steekproeftrekking = de trekking van een steekproef met omvang n gebeurt op zuiver
toevallige wijze (ZTW) als dit gebeurt met teruglegging en op een dusdanige manier dat
elke deelverzameling van n elementen uit de populatie evenveel kans heeft om als steekproef
getrokken te worden
Representatitviteit = idealiter lijkt de steekproef op de populatie wat betreft de kenmerken
van belang voor de studie (steekproeftrekking op ZTW garandeert geen representativiteit)
Toevalsexperiment
Een toevalsexperiment (TE) is een experiment of procedure waarvoor geldt:
Onzeker resultaat: je weet van tevoren niet wat het resultaat zal zijn de resultaten
zijn onderhevig aan toeval
Gedefinieerde uitkomstenverzameling: je kan vooraf bepalen welke
uitkomsten/resultaten mogelijk zijn
Herhaalbaar: het experiment kan meerdere keren onder dezelfde omstandigheden
uitgevoerd worden
Uitkomsten en uitkomstenverzameling
Uitkomst = de concrete realisatie die je krijgt wanneer je het toevalsexperiment uitvoert
Uitkomstenverzameling Ω = verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het
toevalsexperiment (is van tevoren bekend)
Toevalsvariabelen
Toevalsvariabelen / stochast (X) is een eigenschap van de uitkomst van het
toevalsexperiment. Het toeval bepaalt de uitkomst van het toevalsexperiment en bijgevolg is
de waargenomen waarde van de variabele ook afhankelijk van het toeval
Toevalsexperiment = trek een willekeurige persoon, bv een toevallige voorbijganger
Toevalsvariabelen = het stressniveau van een toevallige voorbijganger
Discrete toevalsvariabele = neemt een “telbare” waarde aan
Continue toevalsvariabele = kan oneindig veel waarden aannemen binnen elk interval
2
,Kans (probabiliteit)
Kans = proportie waarmee een gebeurtenis voorkomt wanneer het overeenkomstige
toevalsexperiment heel vaak herhaald wordt. Kans geeft de waarschijnlijkheid van een
bepaalde gebeurtenis aan met een getal tss 0 - 1
Een waarde dicht bij 0 geeft aan dat de gebeurtenis onwaarschijnlijk is
Een waarde dicht bij 1 geeft een hoge waarschijnlijkheid aan
Regel van Laplace
Als alle uitkomsten in een eindige uitkomstenverzameling Ω even waarschijnlijk zijn, dan geldt
voor elke gebeurtenis G ⊂Ω
¿G
p ( G )=
¿Ω
Voorwaardelijke kans (conditionele probabiliteit)
Conditionele kans op A gegeven B:
P ( A|B )=¿ kans op gebeurtenis A gegeven dat gebeurtenis B plaatsvindt
p ( A ∩ B)
P ( A|B )=¿
p(B )
Als P ( B ) ≠ 0
Als P ( B )=0 is P ( A|B ) onbepaald
OPMERKING!!!
P ( B| A )
P ( A |B )=1−P ( A| B )
C
P ( A|B ) ≠ 1−P ( A| B )
C
Kans op samengestelde gebeurtenis
Doorsnede van gebeurtenissen
P ( A ∩B )=P ( B ) × P ( A| B )
P ( A ∩B )=P ( A ) × P ( B| A )
P ( A ∩B ∩C )=P ( A ) × P ( B| A ) × P ( C∨ A ∩ B )
3
, Doorsnede vs conditioneel
Doorsnede Conditioneel
A: psychologie studeren A: psychologie studeren
B: geslaagd zijn B: geslaagd zijn
Wat is de kans dat een student psychologie Wat is de kans dat een psychologiestudent
studeert en geslaagd is geslaagd is
P ( A ∩B ) P ( B| A )
Unie van gebeurtenissen
P ( A ∪B ) =P ( A )+ P ( B )−P ( A ∩ B )
Unie van disjuncte gebeurtenissen
Als A en B disjunct (uitbreidbaar naar unie van meer dan twee gebeurtenissen) beide
gebeurtenissen komen niet tegelijkertijd voor
P ( A ∪B ) =P ( A )+ P ( B )
Doorsnede vs unie
Doorsnede Unie
P ( A ∩B )=P ( B ) × P ( A| B ) P ( A ∪B ) =P ( A )+ P ( B )−P ( A ∩ B )
P ( A ∩B )=P ( A ) × P ( B| A )
Bevat ‘en’ Bevat ‘of’
4
