Wiskunde-2 // 2021 // ©Vincent Jacobs
BEWIJZEN OVERZICHT
1) Bewijs door volledige inductie
2) Algemene term van een reeks
3) Divergentiekenmerk
4) Majorante reeks
5) Positieve reeksen: het integraalkenmerk
6) Positieve reeksen: convergentie van hyper harmonische reeks
7) Kenmerk van d'Alembert
8) Kenmerk van Cauchy
9) Absolute convergentiekenmerk
10) Kenmerk van Leibniz
11) Het uitgebreide kenmerk van D’almbert
12) Stelling van Taylor
HOOFDSTUK 21: DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
Algemene begrippen
I. Algemene DV van orde n
II. Algemene oplossing van DV van orde n (O.A.)
III. Particuliere oplossing
IV. Singuliere oplossing
V. Begin en randvoorwaarde
DV van de 1ste orde: oplossen
I. Scheiding van veranderlijke
!"
o Vervang 𝑦’ → !#
o Zorg ervoor dat je x en y kan scheiden
o Integreren
o AO is van de vorm: y = …
II. Schaalinvariant
→ zeer specifieke vorm
𝑦’ = 𝑔(𝑥, 𝑦) ⇒ waarbij 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)
o Oplossen
"
Nieuwe functie: 𝑢 = # ⇒ 𝑦 = 𝑢 ∗ 𝑥
Dan is 𝑦 $ = 𝑢 + 𝑢$ ∗ 𝑥
→ In de DV invullen
→ je gaat kunnen vereenvoudigen
o Indien u’ weg is (dus geïntegreerd)
"
→ u vervangen door #
→ oplossen naar y
III. Lineaire DV
→ vorm: 𝑦 $ + 𝐴(𝑥)𝑦 = 𝐵(𝑥)
o Speciale gevallen
→ A en B constant ⇒ 𝑦 $ + 𝐶% 𝑦 = 𝐶& (oplossen met SVV)
→ A = 0 ⇒ 𝑦 $ = 𝐵(𝑥) (gewoon integreren)
→ B = 0 ⇒ 𝑦 $ + 𝐴(𝑥)𝑦 = 0 → HLDV
1
, Wiskunde-2 // 2021 // ©Vincent Jacobs
o Methode van Bernoulli
→ stel 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣
⇒ dan is 𝑦 $ = 𝑢$ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
Dit vullen we in:
⇒ 𝑢$ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣 $ + 𝐴(𝑥)(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝐵(𝑥)
⇒𝑣 ∙ (𝑢$ + 𝐴(𝑥)𝑢) + 𝑢 ∙ 𝑣 $ = 𝐵(𝑥) (*)
Kies u zodat: 𝑢$ ∙ 𝐴(𝑥)𝑢 = 0 (met SVV) (we zoeken 1 oplossing)
Dan (*) ⇒ 0 + 𝑢 ∙ 𝑣 $ = 𝐵(𝑥)
⇒ 𝑢 ∙ 𝑣 $ = 𝐵(𝑥) → oplossen
Zo functie v berekenen
Op het einde
𝑦 =𝑢∙𝑣
→ u en v invullen
→ dan zo y bepalen
→ niet vergeten bij v wel rekening houden met C
IV. Exacte DV
o Vorm: 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
o Checken of het exact is
→ Is exact als 𝑃′(𝑥, 𝑦) = 𝑄′(𝑥, 𝑦) (eerst checken)
→ wat bij dx staat afleiden naar y
→ wat bij dy staat afleiden naar x
o Zoek een super primitieve (F)(1tje is genoeg)
→ voor een zeker F geldt:
𝐹#$ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐹"$ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝐹#$ (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝐹"$ (𝑥, 𝑦) = 𝑄(𝑥, 𝑦)
→ P integreren naar x (dus y is constant)
→ integrant met een constante in functie van y achteraan
→ de geïntegreerde P terug afleiden naar y
→ gelijk stellen aan Q
→ en 𝑐(𝑦) bepalen
→ in de geïntegreerde P → 𝑐(𝑦) invullen
o Dan totale differentiaal berekenen
𝑑<∫ 𝑃 + 𝑐(𝑦)> = 0
integreren
⇒ ∫ 𝑃 + 𝑐(𝑦) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2
BEWIJZEN OVERZICHT
1) Bewijs door volledige inductie
2) Algemene term van een reeks
3) Divergentiekenmerk
4) Majorante reeks
5) Positieve reeksen: het integraalkenmerk
6) Positieve reeksen: convergentie van hyper harmonische reeks
7) Kenmerk van d'Alembert
8) Kenmerk van Cauchy
9) Absolute convergentiekenmerk
10) Kenmerk van Leibniz
11) Het uitgebreide kenmerk van D’almbert
12) Stelling van Taylor
HOOFDSTUK 21: DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
Algemene begrippen
I. Algemene DV van orde n
II. Algemene oplossing van DV van orde n (O.A.)
III. Particuliere oplossing
IV. Singuliere oplossing
V. Begin en randvoorwaarde
DV van de 1ste orde: oplossen
I. Scheiding van veranderlijke
!"
o Vervang 𝑦’ → !#
o Zorg ervoor dat je x en y kan scheiden
o Integreren
o AO is van de vorm: y = …
II. Schaalinvariant
→ zeer specifieke vorm
𝑦’ = 𝑔(𝑥, 𝑦) ⇒ waarbij 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)
o Oplossen
"
Nieuwe functie: 𝑢 = # ⇒ 𝑦 = 𝑢 ∗ 𝑥
Dan is 𝑦 $ = 𝑢 + 𝑢$ ∗ 𝑥
→ In de DV invullen
→ je gaat kunnen vereenvoudigen
o Indien u’ weg is (dus geïntegreerd)
"
→ u vervangen door #
→ oplossen naar y
III. Lineaire DV
→ vorm: 𝑦 $ + 𝐴(𝑥)𝑦 = 𝐵(𝑥)
o Speciale gevallen
→ A en B constant ⇒ 𝑦 $ + 𝐶% 𝑦 = 𝐶& (oplossen met SVV)
→ A = 0 ⇒ 𝑦 $ = 𝐵(𝑥) (gewoon integreren)
→ B = 0 ⇒ 𝑦 $ + 𝐴(𝑥)𝑦 = 0 → HLDV
1
, Wiskunde-2 // 2021 // ©Vincent Jacobs
o Methode van Bernoulli
→ stel 𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣
⇒ dan is 𝑦 $ = 𝑢$ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
Dit vullen we in:
⇒ 𝑢$ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣 $ + 𝐴(𝑥)(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝐵(𝑥)
⇒𝑣 ∙ (𝑢$ + 𝐴(𝑥)𝑢) + 𝑢 ∙ 𝑣 $ = 𝐵(𝑥) (*)
Kies u zodat: 𝑢$ ∙ 𝐴(𝑥)𝑢 = 0 (met SVV) (we zoeken 1 oplossing)
Dan (*) ⇒ 0 + 𝑢 ∙ 𝑣 $ = 𝐵(𝑥)
⇒ 𝑢 ∙ 𝑣 $ = 𝐵(𝑥) → oplossen
Zo functie v berekenen
Op het einde
𝑦 =𝑢∙𝑣
→ u en v invullen
→ dan zo y bepalen
→ niet vergeten bij v wel rekening houden met C
IV. Exacte DV
o Vorm: 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
o Checken of het exact is
→ Is exact als 𝑃′(𝑥, 𝑦) = 𝑄′(𝑥, 𝑦) (eerst checken)
→ wat bij dx staat afleiden naar y
→ wat bij dy staat afleiden naar x
o Zoek een super primitieve (F)(1tje is genoeg)
→ voor een zeker F geldt:
𝐹#$ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐹"$ (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝐹#$ (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝐹"$ (𝑥, 𝑦) = 𝑄(𝑥, 𝑦)
→ P integreren naar x (dus y is constant)
→ integrant met een constante in functie van y achteraan
→ de geïntegreerde P terug afleiden naar y
→ gelijk stellen aan Q
→ en 𝑐(𝑦) bepalen
→ in de geïntegreerde P → 𝑐(𝑦) invullen
o Dan totale differentiaal berekenen
𝑑<∫ 𝑃 + 𝑐(𝑦)> = 0
integreren
⇒ ∫ 𝑃 + 𝑐(𝑦) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
2
