Aanvankelijk rekenen
H1 – Ontluikend rekenen
Een antwoord kunnen geven op de vraag of mensen genetisch voorbestemd zijn om te rekenen, en dat kunnen
motiveren.
We zijn geboren met een vermogen om hoeveelheden in te schatten. Dat heet subiteren. Tellen moet
aangeleerd worden. Naast subiteren kunnen we ook vergelijken vanaf de geboorte. Dit werd aangetoond
met een experiment: een baby wordt steeds wisselende afbeeldingen getoond met steeds twee rondjes op.
Na een tijdje treedt er gewenning op en verslapt de aandacht. Wanneer er plots drie rondjes worden
getoond kijken ze langer en neemt de hersenactiviteit toe. Ze merken dus een verschil.
Uitleggen wat men onder ‘subiteren’ verstaat.
Het is een bepaald aantal samennemen en zien als één geheel. De grens hiervoor ligt bij drie/vier, als het
meer is moet men gaan tellen.
Uitleggen dat er geen sprake kan zijn van rekenspecifieke genen, maar dat er wel bepaalde gebieden in onze
hersenen zijn die we voor het rekenen goed gebruiken.
Er is een primitieve aanleg voor een elementair hoeveelheidsbegrip, maar rekenen moet aangeleerd
worden. Onze reken(notatie)systeem is nog niet zo oud, dus het is onmogelijk dat er al rekenspcifieke genen
ontwikkeld zijn. Het is wel mogelijk om bepaalde hersengebieden zeer intensief te stimuleren om ze te laten
specialiseren voor het rekenen. Enkel mogelijk als ze het hele reken(notatie)systeem door stimulatie vanuit
de omgeving leren.
Het principe van de één-op-één correspondentie kennen en van het échte tellen kunnen onderscheiden.
Elk object krijgt precies één telwoord of aanduiding, zonder iets over te slaan of dubbel te tellen. Dit hoort
bij het primitief stadium en is een eerste rekenvaardigheid. In dit stadium kunnen mensen nog niet tellen
met een vaste telrij, ze gebruiken bijvoorbeeld voor elk schaap een steentje of streepje.
Het verschil met echt tellen is dat bij echt tellen een vaste telvolgorde wordt gebruikt (één, twee, drie, ...) en
dat men begrijpt dat het laatstgenoemde telwoord het totale aantal weergeeft.
De verschillende aspecten van het getal kunnen onderscheiden en uitleggen: het kardinaal aspect, het nominaal
aspect, het ordinaal aspect.
Nominaal aspect: Getallen worden gebruikt als naam of label, zonder dat ze iets zeggen voer hoeveelheid of
volgorde. Vb. een huisnummer, een rugnummer, een postcode
Kardinaal aspect: Dit is het hoeveelheidsaspect. Het getal geeft aan hoeveel elementen er in een
verzameling zitten. Vb. er zijn 5 appels, het laatste telwoord bij het tellen geeft de totale hoeveelheid aan.
(Resultatief tellen)
Ordinaal aspect: Dit is het volgordeaspect. Het getal geeft de plaats in een rij aan. Vb. eerste, tweede, derde
1
,Aanvankelijk rekenen
Kunnen uitleggen wat men met ‘resultatief tellen’ bedoelt, en een voorbeeld geven.
Het laatstgenoemde telwoord geeft de totale verzameling weer.
Vb. een kind telt blokjes: een, twee, drie en vier en het weet dat de vier betekent dat er dus vier blokjes in
totaal liggen.
Kunnen uitleggen dat we in de individuele vroegkinderlijke ontwikkeling (d.i. ontogenese) van het rekenen
mogelijks de stappen in de rekenontwikkeling bij de menselijke soort (d.i. fylogenese) weerspiegeld zien.
Een additief van een positioneel getalsysteem kunnen onderscheiden en becommentariëren.
Bij een additief systeem wordt de waarde van een getal bepaald door de som van de symbolen. De symbolen
worden dus gewoon bij elkaar opgeteld. De plaats van het symbool is minder belangrijk van de waarde?
Bij een positioneel getalsysteem bepaalt de plaats van een cijfer de waarde van het cijfer. Ons decimale
systeem werkt zo. De 0 is belangrijk om lege plaatsen aan te geven.
Een additief stelsel is minder efficiënt voor het noteren van grote getallen en het uitvoeren van
bewerkingen, omdat er veel symbolen nodig zijn. Een positioneel systeem is efficiënter en overzichtelijker,
omdat met weinig cijfers grote getallen kunnen worden weergegeven en bewerkingen zoals optellen en
vermenigvuldigen eenvoudiger zijn.
Kunnen uitleggen wanneer/waarom het getal 0 is bedacht.
Het werd bedacht in het derde en laatste stadium: het positionele systeem. Hier bepaalt de plaats van een
cijfer de waarde van het getal. Om aan te geven dat op een bepaalde plaats geen waarde aanwezig is, werd
het cijfer 0 uitgevonden. Zonder 0 konden grote getallen niet compact of correct worden genoteerd.
Het ‘ontluikend rekenen’ (o.a. ‘SFON’ en ‘SFONS’) van het ‘voorbereidend rekenen’ kunnen onderscheiden.
Op een spontane manier maken kinderen kennis met getallen. Vb. als ze vier jaar zijn vier vingers opsteken.
Dat spontaan leren rekenen heet ontluikend rekenen.
SFON: Spontaneous Focusing On Numerosity (spontaan richten op hoeveelheden)
SFONS: Spontaneous Focusing On Number Symbols (wanneer ze spontaan cijfersymbolen leren kennen)
Het wordt voorbereidend rekenen als kinderen op een intentionele manier dingen worden aangeleerd (op
school).
2
, Aanvankelijk rekenen
H2 – Voorbereidend rekenen
Alle Piagetiaanse rekenvoorwaarden kunnen geven en uitleggen.
1. Conservatie
Het besef dat een hoeveelheid gelijk blijft, ook wanneer de vorm of opstelling verandert.
2. Correspondentie
Het vergelijken van hoeveelheden via een één-op-éénrelatie (paarsgewijze overeenstemming).
3. Classificatie
Het kunnen ordenen van objecten in roepen en deelgroepen op basis van kenmerken.
4. Seriatie
Het vermogen om objecten volgens een bepaalde orde te rangschikken, bijvoorbeeld van klein naar
groot.
Kritische bedenkingen bij die zgn. Piagetiaanse rekenvoorwaarden kunnen geven.
De voorwaarden mogen niet als noodzakelijk opgevat worden voor het leren rekenen.
Leren tellen leidt tot betere leerresultaten dan vb. seriëren of classificeren.
Als gevolg van teloefeningen leren kinderen zelfs beter seriëren en classificeren.
Uitleggen waarom de hoeveelheidaanduiding bij de één-op-één correspondentie ‘transitief’ is.
Bij één-op-ééncorrespondentie is de hoeveelheidsaanduiding transitief of overdraagbaar. Dit betekent dat
wanneer twee verzamelingen paarsgewijs gekoppeld kunnen worden, ze evenveel elementen hebben. Als
verzameling A evenveel heeft als B, en B evenveel als C, dan heeft A ook evenveel als C.
Het ‘automatisch kunnen doorgeven’ van gelijkheid noemt men transitief of overdraagbaar.
Het verband tussen het kunnen classificeren en het kunnen optellen/aftrekken inzien en kunnen illustreren.
Classificeren helpt kinderen eerst zien wat bij elkaar hoort. Dat is nodig om later te begrijpen hoe je groepen
kunt samenvoegen (optellen) of wegnemen (aftrekken).
Voorbeeld: 3 rode blokken en 2 blauwe blokken.
Eerst classificeren: rode en blauwe blokken apart.
Daarna optellen: 3 + 2 = 5 blokken in totaal.
Uitleggen waarom ook bij het seriëren sprake is van ‘transitiviteit’.
Bij seriatie orden je objecten volgens een eigenschap. (Vb. klein – groot)
Daarbij is er ook sprake van transitiviteit omdat je relaties kunt doorgeven: A is kleiner dan B en B is kleiner
dan C, A is ook kleiner dan C.
3
H1 – Ontluikend rekenen
Een antwoord kunnen geven op de vraag of mensen genetisch voorbestemd zijn om te rekenen, en dat kunnen
motiveren.
We zijn geboren met een vermogen om hoeveelheden in te schatten. Dat heet subiteren. Tellen moet
aangeleerd worden. Naast subiteren kunnen we ook vergelijken vanaf de geboorte. Dit werd aangetoond
met een experiment: een baby wordt steeds wisselende afbeeldingen getoond met steeds twee rondjes op.
Na een tijdje treedt er gewenning op en verslapt de aandacht. Wanneer er plots drie rondjes worden
getoond kijken ze langer en neemt de hersenactiviteit toe. Ze merken dus een verschil.
Uitleggen wat men onder ‘subiteren’ verstaat.
Het is een bepaald aantal samennemen en zien als één geheel. De grens hiervoor ligt bij drie/vier, als het
meer is moet men gaan tellen.
Uitleggen dat er geen sprake kan zijn van rekenspecifieke genen, maar dat er wel bepaalde gebieden in onze
hersenen zijn die we voor het rekenen goed gebruiken.
Er is een primitieve aanleg voor een elementair hoeveelheidsbegrip, maar rekenen moet aangeleerd
worden. Onze reken(notatie)systeem is nog niet zo oud, dus het is onmogelijk dat er al rekenspcifieke genen
ontwikkeld zijn. Het is wel mogelijk om bepaalde hersengebieden zeer intensief te stimuleren om ze te laten
specialiseren voor het rekenen. Enkel mogelijk als ze het hele reken(notatie)systeem door stimulatie vanuit
de omgeving leren.
Het principe van de één-op-één correspondentie kennen en van het échte tellen kunnen onderscheiden.
Elk object krijgt precies één telwoord of aanduiding, zonder iets over te slaan of dubbel te tellen. Dit hoort
bij het primitief stadium en is een eerste rekenvaardigheid. In dit stadium kunnen mensen nog niet tellen
met een vaste telrij, ze gebruiken bijvoorbeeld voor elk schaap een steentje of streepje.
Het verschil met echt tellen is dat bij echt tellen een vaste telvolgorde wordt gebruikt (één, twee, drie, ...) en
dat men begrijpt dat het laatstgenoemde telwoord het totale aantal weergeeft.
De verschillende aspecten van het getal kunnen onderscheiden en uitleggen: het kardinaal aspect, het nominaal
aspect, het ordinaal aspect.
Nominaal aspect: Getallen worden gebruikt als naam of label, zonder dat ze iets zeggen voer hoeveelheid of
volgorde. Vb. een huisnummer, een rugnummer, een postcode
Kardinaal aspect: Dit is het hoeveelheidsaspect. Het getal geeft aan hoeveel elementen er in een
verzameling zitten. Vb. er zijn 5 appels, het laatste telwoord bij het tellen geeft de totale hoeveelheid aan.
(Resultatief tellen)
Ordinaal aspect: Dit is het volgordeaspect. Het getal geeft de plaats in een rij aan. Vb. eerste, tweede, derde
1
,Aanvankelijk rekenen
Kunnen uitleggen wat men met ‘resultatief tellen’ bedoelt, en een voorbeeld geven.
Het laatstgenoemde telwoord geeft de totale verzameling weer.
Vb. een kind telt blokjes: een, twee, drie en vier en het weet dat de vier betekent dat er dus vier blokjes in
totaal liggen.
Kunnen uitleggen dat we in de individuele vroegkinderlijke ontwikkeling (d.i. ontogenese) van het rekenen
mogelijks de stappen in de rekenontwikkeling bij de menselijke soort (d.i. fylogenese) weerspiegeld zien.
Een additief van een positioneel getalsysteem kunnen onderscheiden en becommentariëren.
Bij een additief systeem wordt de waarde van een getal bepaald door de som van de symbolen. De symbolen
worden dus gewoon bij elkaar opgeteld. De plaats van het symbool is minder belangrijk van de waarde?
Bij een positioneel getalsysteem bepaalt de plaats van een cijfer de waarde van het cijfer. Ons decimale
systeem werkt zo. De 0 is belangrijk om lege plaatsen aan te geven.
Een additief stelsel is minder efficiënt voor het noteren van grote getallen en het uitvoeren van
bewerkingen, omdat er veel symbolen nodig zijn. Een positioneel systeem is efficiënter en overzichtelijker,
omdat met weinig cijfers grote getallen kunnen worden weergegeven en bewerkingen zoals optellen en
vermenigvuldigen eenvoudiger zijn.
Kunnen uitleggen wanneer/waarom het getal 0 is bedacht.
Het werd bedacht in het derde en laatste stadium: het positionele systeem. Hier bepaalt de plaats van een
cijfer de waarde van het getal. Om aan te geven dat op een bepaalde plaats geen waarde aanwezig is, werd
het cijfer 0 uitgevonden. Zonder 0 konden grote getallen niet compact of correct worden genoteerd.
Het ‘ontluikend rekenen’ (o.a. ‘SFON’ en ‘SFONS’) van het ‘voorbereidend rekenen’ kunnen onderscheiden.
Op een spontane manier maken kinderen kennis met getallen. Vb. als ze vier jaar zijn vier vingers opsteken.
Dat spontaan leren rekenen heet ontluikend rekenen.
SFON: Spontaneous Focusing On Numerosity (spontaan richten op hoeveelheden)
SFONS: Spontaneous Focusing On Number Symbols (wanneer ze spontaan cijfersymbolen leren kennen)
Het wordt voorbereidend rekenen als kinderen op een intentionele manier dingen worden aangeleerd (op
school).
2
, Aanvankelijk rekenen
H2 – Voorbereidend rekenen
Alle Piagetiaanse rekenvoorwaarden kunnen geven en uitleggen.
1. Conservatie
Het besef dat een hoeveelheid gelijk blijft, ook wanneer de vorm of opstelling verandert.
2. Correspondentie
Het vergelijken van hoeveelheden via een één-op-éénrelatie (paarsgewijze overeenstemming).
3. Classificatie
Het kunnen ordenen van objecten in roepen en deelgroepen op basis van kenmerken.
4. Seriatie
Het vermogen om objecten volgens een bepaalde orde te rangschikken, bijvoorbeeld van klein naar
groot.
Kritische bedenkingen bij die zgn. Piagetiaanse rekenvoorwaarden kunnen geven.
De voorwaarden mogen niet als noodzakelijk opgevat worden voor het leren rekenen.
Leren tellen leidt tot betere leerresultaten dan vb. seriëren of classificeren.
Als gevolg van teloefeningen leren kinderen zelfs beter seriëren en classificeren.
Uitleggen waarom de hoeveelheidaanduiding bij de één-op-één correspondentie ‘transitief’ is.
Bij één-op-ééncorrespondentie is de hoeveelheidsaanduiding transitief of overdraagbaar. Dit betekent dat
wanneer twee verzamelingen paarsgewijs gekoppeld kunnen worden, ze evenveel elementen hebben. Als
verzameling A evenveel heeft als B, en B evenveel als C, dan heeft A ook evenveel als C.
Het ‘automatisch kunnen doorgeven’ van gelijkheid noemt men transitief of overdraagbaar.
Het verband tussen het kunnen classificeren en het kunnen optellen/aftrekken inzien en kunnen illustreren.
Classificeren helpt kinderen eerst zien wat bij elkaar hoort. Dat is nodig om later te begrijpen hoe je groepen
kunt samenvoegen (optellen) of wegnemen (aftrekken).
Voorbeeld: 3 rode blokken en 2 blauwe blokken.
Eerst classificeren: rode en blauwe blokken apart.
Daarna optellen: 3 + 2 = 5 blokken in totaal.
Uitleggen waarom ook bij het seriëren sprake is van ‘transitiviteit’.
Bij seriatie orden je objecten volgens een eigenschap. (Vb. klein – groot)
Daarbij is er ook sprake van transitiviteit omdat je relaties kunt doorgeven: A is kleiner dan B en B is kleiner
dan C, A is ook kleiner dan C.
3
