DIDACTIEK WISKUNDE 2
DEEL 1: PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN EN VRAAGSTUKKEN
1 INLEIDING
Dagelijks worden we met allerhande problemen geconfronteerd. Sommige van die problemen
kunnen met ‘wiskundige kennis’ aangepakt of opgelost worden.
De taak van het onderwijs is om kinderen binnen de snel evoluerende maatschappij zelfredzaam te
maken. Bij het leergebied Wiskunde (toepassingen of vraagstukken) ligt daarom de nadruk op het
ontwikkelen en oefenen van probleemoplossende vaardigheden.
2 STAPPEN IN HET VAARDIG OPLOSSEN VAN WISKUNDIGE PROBLEMEN
Als we een wiskundig probleem of vraagstuk benaderen, voeren we volgende stappen uit:
1 Analyseren van de situatie
We stellen ons de vraag: ‘Wat is het probleem?’. Belangrijk is dat de leerling tot een goede
mentale voorstelling komt van
- wat er gegeven is
- wat er gezocht wordt en
- welke relatie tussen de gegevens onderling en met het gezochte bestaan.
2 Een passend wiskundig model opstellen
Leerlingen gaan na welke methode ze zouden kunnen volgen om het probleem op te lossen. Er
wordt een soort van actieplan opgesteld om het probleem op te lossen. Hierbij spelen
heuristieken een grote rol.
3 Het oplossingsplan uitvoeren
De leerlingen passen de gekozen oplossingsstrategie toe. Het oplossingsplan wordt
uitgevoerd. Leerlingen moeten in staat zijn de meest geschikte rekenwijze (schatten, hoofdrekenen,
cijferen, zakrekenmachine) te kiezen.
4 Antwoord formuleren + controleren
Leerlingen interpreteren de uitkomst van het rekenwerk door ze terug te plaatsen in de
oorspronkelijke probleemsituatie. Het antwoord wordt nadien ook geëvalueerd of
gecontroleerd. De volgende vragen kunnen worden gesteld:
- Heb ik het vraagstuk goed begrepen?
- Heb ik nergens een rekenfout gemaakt?
- Is mijn antwoord realistisch?
- Heb ik mijn plan correct en helemaal uitgevoerd?
1
, Het is belangrijk dat we de leerlingen trainen om deze 4 stappen bewust te doorlopen.
2.1 SCHEMATISCHE VOORSTELLING STAPPENPLAN
In de praktijk brengt men dit stappenplan meestal geschematiseerd aan bij de leerlingen,
bijvoorbeeld met de beertjes van Meichenbaum.
3 ZOEKSTRATEGIEËN
Heuristieken of zoekstrategieën zijn oplossingsstrategieën.
≠ Algoritmen geven een vast stappenplan om een probleem aan te pakken. Wanneer men
nauwgezet stappen volgt, dan komt men gegarandeerd tot een oplossing.
≠ Trial and error gaat eerder over in het wilde weg proberen. Men vindt de oplossing vaak door een
samenloop van intuïtie en gelukkig toeval.
Heuristieken zijn gerichte zoektechnieken die niet zeker tot een oplossing leiden, maar een
systematiek inhouden en meer kracht geven dan trial and error.
3.1 HEURISTIEKEN IN DE ALGEMENE STRATEGIE
Heuristieken of zoekstrategieën worden gebruikt in de eerste en tweede stap in de algemene
strategie in het vaardig oplossen van wiskundige problemen.
De leerling vormt zich een goede voorstelling of representatie van het probleem (stap 1) om daarna
zich af te vragen hoe het probleem het best kan worden aangepakt (stap 2). Er moet met andere
woorden een oplossingsplan worden opgesteld.
3.1.1 HEURISTIEKEN OM DE SITUATIE TE ANALYSEREN (STAP 1)
1 Maak een tekening van het probleem
Op basis van tekstuele informatie probeert de leerling een schets of tekening te vormen van de
probleemsituatie. Zo een tekening kan soms onmiddellijk de uitkomst verklappen.
2 Herformuleer of dramatiseer het probleem
Heel wat vraagstukken kunnen een probleem vormen door het taalgebruik. Door kinderen het probleem
in eigen woorden te laten vertellen kan er veel duidelijk worden. Het probleem naspelen kan ook.
3 Onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens
Vooraleer gegevens aan te duiden in het vraagstuk, is het belangrijk dat de vraag eerst aandachtig wordt
bekeken (duid de vraag ook steeds aan). In een vraagstuk zijn niet altijd alle gegevens nodig. Onderlijn,
markeer of omcirkel de elementen die nodig zijn om de vraag te beantwoorden.
4 Gebruik je ervaringskennis of zoek ontbrekende info
Bij het oplossen van een wiskundig probleem kan het zijn dat niet alle noodzakelijke of relevante
gegevens meegeven worden. Met deze strategie worden leerlingen ertoe aangezet om gebruik te maken
van praktische kennis over de situatie of de context. Bijvoorbeeld het aantal dagen in een maand.
2
,3.1.2 HEURISTIEKEN BIJ HET OPLOSSEN VAN HET PROBLEEM (STAP 2)
1 Maak een boomdiagram
De leerling stelt een oplossingsplan op in de vorm van een boomstructuur, bestaande uit een netwerk
van hokjes onderling verbonden door lijnstukken. Op deze manier kan je de relatie tussen verschillende
elementen weergeven.
2 Probeer verstandig uit
Het veronderstellen, schatten en controleren is in tegenstelling tot een wilde gok, een handige
maar vaak onderschatte strategie. De leerling tracht het antwoord te achterhalen door een ruwe
schatting om vervolgens de juistheid van die schatting te controleren.
Dit proces van schatten en controleren gaat zolang door tot de leerling het juiste antwoord heeft
gevonden. Deze heuristiek kan vooral van nut zijn wanneer men met een vraagstuk wordt
geconfronteerd waarvoor men geen efficiënte oplossingsmethode beschikbaar heeft.
3 Zoek een patroon in de gegevens
Door een grondige analyse van de gegevens te maken, probeer je een bepaalde systematiek te
herkennen. Eenmaal het patroon is ontdekt, kan het toegepast worden om het antwoord op een
efficiënter en minder omslachtige manier te vinden.
Bijvoorbeeld:
Het volleybalteam geeft elkaar de hand om elkaar te feliciteren. Ze zijn met 6. Hoeveel maal worden de handen geschud?
4 Werk met eenvoudige getallen
Je vervangt complexe en grote getallen in de opgave door kleinere en eenvoudigere getallen.
Nadat ze het probleem met eenvoudige getallen hebben opgelost, kunnen ze deze vervangen
door de oorspronkelijke, complexere getallen.
Bijvoorbeeld:
De som van 4 opeenvolgende oneven zevenvouden is 728. Welke zijn deze 4 getallen?
Ik start met het opsommen van enkele zevenvouden. Ik stel vast dat tussen de oneven en even
zevenvouden elkaar steeds afwisselen en dat er steeds 14 tussen zit.
+ 14 + 14 + 14
We gaan terug naar het oorspronkelijke probleem en plaatsen dit in een schema:
Getal 1: 161
__
Getal 2: 161
__ + 14
Som =
Getal 3:161
__ + 14 + 14
728
Getal 4:161
__ + 14 + 14 + 14
Bewerking:
728 – (6 x 14) = 644
644 : 4 = 161
3
, 5 In een breder perspectief bekijken
Het kan zijn dat je in het zogenaamd hond-kluifprobleem terechtkomt: de hond wil de kluif en
gaat recht op het doel af maar stoot op de afrastering. Door in een breder perspectief te kijken
zie je dat de hond eerst van het doel weg moet om naar de kluif te kunnen gaan.
Deze techniek passen we onder andere toe bij het oplossen van een Rubik’s kubus of een
schuifpuzzel.
6 Een tekening maken
Een tekening kan je helpen om het probleem beter te begrijpen, maar ook om (in stap 2) het
antwoord uit de tekening af te leiden.
7 Een schema of tabel maken
Een tabel of schema is vooral geschikt om duidelijkheid te scheppen in een wirwar van
informatie.
Om de probleemoplossende vaardigheden ten volle te ontwikkelen, moeten we de leerlingen
confronteren met:
• contextrijke opgaven,
• verschillende typevraagstukken
• en ‘rijke’ wiskundeproblemen.
4 CONTEXTRIJKE OPGAVEN
Wiskundige problemen, vraagstukken, rekenverhalen, redactiesommen of toepassingen.
4.1 ENKELVOUDIGE EN SAMENGESTELDE VRAAGSTUKKEN
Bij enkelvoudige vraagstukken (onderbouw) moet slechts één bewerking worden uitgevoerd.
Bij samengestelde vraagstukken (bovenbouw) moeten er minstens 2 bewerkingen worden uitgevoerd
om tot de oplossing te komen.
4.2 BEWERKINGEN HERKENNEN IN EEN CONTEXT
We kunnen verschillende soorten vraagstukken onderscheiden op basis van de 4
basisbewerkingen:
- optellen en aftrekken (additieve vraagstukken)
- vermenigvuldigen en delen (multiplicatieve vraagstukken)
Het gevaar bestaat erin dat leerlingen bepaalde woorden koppelen aan een bewerking. Zo doet het
woord ‘meer’ denken aan een optelling, maar het kan echter ook leiden tot een optelling.
4.2.1 ADDITIEVE CONTEXTRIJKE OPGAVEN
Voor optellen en aftrekken gaat het over de volgende soorten vraagstukken:
• Oorzaak-veranderingsvraagstukken
Een gebeurtenis geeft hier de aanleiding tot een hoeveelheidsverandering.
Bijvoorbeeld: Suzan had 7 koekjes. Ze geeft er 2 weg.
• Combinatievraagstukken
De nadruk ligt op delen en het geheel. Twee of meer afzonderlijke hoeveelheden vormen samen
een geheel (1). Of het geheel min één van de delen (2).
Bijvoorbeeld:
(1) Maxine heeft 4 zwarte parels en 12 gouden parels. Hoeveel parels heeft ze?
(2) Max en Thomas hebben samen 6 auto’s. Max heeft er 4. Hoeveel auto’s heeft Thomas?
4
DEEL 1: PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN EN VRAAGSTUKKEN
1 INLEIDING
Dagelijks worden we met allerhande problemen geconfronteerd. Sommige van die problemen
kunnen met ‘wiskundige kennis’ aangepakt of opgelost worden.
De taak van het onderwijs is om kinderen binnen de snel evoluerende maatschappij zelfredzaam te
maken. Bij het leergebied Wiskunde (toepassingen of vraagstukken) ligt daarom de nadruk op het
ontwikkelen en oefenen van probleemoplossende vaardigheden.
2 STAPPEN IN HET VAARDIG OPLOSSEN VAN WISKUNDIGE PROBLEMEN
Als we een wiskundig probleem of vraagstuk benaderen, voeren we volgende stappen uit:
1 Analyseren van de situatie
We stellen ons de vraag: ‘Wat is het probleem?’. Belangrijk is dat de leerling tot een goede
mentale voorstelling komt van
- wat er gegeven is
- wat er gezocht wordt en
- welke relatie tussen de gegevens onderling en met het gezochte bestaan.
2 Een passend wiskundig model opstellen
Leerlingen gaan na welke methode ze zouden kunnen volgen om het probleem op te lossen. Er
wordt een soort van actieplan opgesteld om het probleem op te lossen. Hierbij spelen
heuristieken een grote rol.
3 Het oplossingsplan uitvoeren
De leerlingen passen de gekozen oplossingsstrategie toe. Het oplossingsplan wordt
uitgevoerd. Leerlingen moeten in staat zijn de meest geschikte rekenwijze (schatten, hoofdrekenen,
cijferen, zakrekenmachine) te kiezen.
4 Antwoord formuleren + controleren
Leerlingen interpreteren de uitkomst van het rekenwerk door ze terug te plaatsen in de
oorspronkelijke probleemsituatie. Het antwoord wordt nadien ook geëvalueerd of
gecontroleerd. De volgende vragen kunnen worden gesteld:
- Heb ik het vraagstuk goed begrepen?
- Heb ik nergens een rekenfout gemaakt?
- Is mijn antwoord realistisch?
- Heb ik mijn plan correct en helemaal uitgevoerd?
1
, Het is belangrijk dat we de leerlingen trainen om deze 4 stappen bewust te doorlopen.
2.1 SCHEMATISCHE VOORSTELLING STAPPENPLAN
In de praktijk brengt men dit stappenplan meestal geschematiseerd aan bij de leerlingen,
bijvoorbeeld met de beertjes van Meichenbaum.
3 ZOEKSTRATEGIEËN
Heuristieken of zoekstrategieën zijn oplossingsstrategieën.
≠ Algoritmen geven een vast stappenplan om een probleem aan te pakken. Wanneer men
nauwgezet stappen volgt, dan komt men gegarandeerd tot een oplossing.
≠ Trial and error gaat eerder over in het wilde weg proberen. Men vindt de oplossing vaak door een
samenloop van intuïtie en gelukkig toeval.
Heuristieken zijn gerichte zoektechnieken die niet zeker tot een oplossing leiden, maar een
systematiek inhouden en meer kracht geven dan trial and error.
3.1 HEURISTIEKEN IN DE ALGEMENE STRATEGIE
Heuristieken of zoekstrategieën worden gebruikt in de eerste en tweede stap in de algemene
strategie in het vaardig oplossen van wiskundige problemen.
De leerling vormt zich een goede voorstelling of representatie van het probleem (stap 1) om daarna
zich af te vragen hoe het probleem het best kan worden aangepakt (stap 2). Er moet met andere
woorden een oplossingsplan worden opgesteld.
3.1.1 HEURISTIEKEN OM DE SITUATIE TE ANALYSEREN (STAP 1)
1 Maak een tekening van het probleem
Op basis van tekstuele informatie probeert de leerling een schets of tekening te vormen van de
probleemsituatie. Zo een tekening kan soms onmiddellijk de uitkomst verklappen.
2 Herformuleer of dramatiseer het probleem
Heel wat vraagstukken kunnen een probleem vormen door het taalgebruik. Door kinderen het probleem
in eigen woorden te laten vertellen kan er veel duidelijk worden. Het probleem naspelen kan ook.
3 Onderscheid noodzakelijke en overbodige gegevens
Vooraleer gegevens aan te duiden in het vraagstuk, is het belangrijk dat de vraag eerst aandachtig wordt
bekeken (duid de vraag ook steeds aan). In een vraagstuk zijn niet altijd alle gegevens nodig. Onderlijn,
markeer of omcirkel de elementen die nodig zijn om de vraag te beantwoorden.
4 Gebruik je ervaringskennis of zoek ontbrekende info
Bij het oplossen van een wiskundig probleem kan het zijn dat niet alle noodzakelijke of relevante
gegevens meegeven worden. Met deze strategie worden leerlingen ertoe aangezet om gebruik te maken
van praktische kennis over de situatie of de context. Bijvoorbeeld het aantal dagen in een maand.
2
,3.1.2 HEURISTIEKEN BIJ HET OPLOSSEN VAN HET PROBLEEM (STAP 2)
1 Maak een boomdiagram
De leerling stelt een oplossingsplan op in de vorm van een boomstructuur, bestaande uit een netwerk
van hokjes onderling verbonden door lijnstukken. Op deze manier kan je de relatie tussen verschillende
elementen weergeven.
2 Probeer verstandig uit
Het veronderstellen, schatten en controleren is in tegenstelling tot een wilde gok, een handige
maar vaak onderschatte strategie. De leerling tracht het antwoord te achterhalen door een ruwe
schatting om vervolgens de juistheid van die schatting te controleren.
Dit proces van schatten en controleren gaat zolang door tot de leerling het juiste antwoord heeft
gevonden. Deze heuristiek kan vooral van nut zijn wanneer men met een vraagstuk wordt
geconfronteerd waarvoor men geen efficiënte oplossingsmethode beschikbaar heeft.
3 Zoek een patroon in de gegevens
Door een grondige analyse van de gegevens te maken, probeer je een bepaalde systematiek te
herkennen. Eenmaal het patroon is ontdekt, kan het toegepast worden om het antwoord op een
efficiënter en minder omslachtige manier te vinden.
Bijvoorbeeld:
Het volleybalteam geeft elkaar de hand om elkaar te feliciteren. Ze zijn met 6. Hoeveel maal worden de handen geschud?
4 Werk met eenvoudige getallen
Je vervangt complexe en grote getallen in de opgave door kleinere en eenvoudigere getallen.
Nadat ze het probleem met eenvoudige getallen hebben opgelost, kunnen ze deze vervangen
door de oorspronkelijke, complexere getallen.
Bijvoorbeeld:
De som van 4 opeenvolgende oneven zevenvouden is 728. Welke zijn deze 4 getallen?
Ik start met het opsommen van enkele zevenvouden. Ik stel vast dat tussen de oneven en even
zevenvouden elkaar steeds afwisselen en dat er steeds 14 tussen zit.
+ 14 + 14 + 14
We gaan terug naar het oorspronkelijke probleem en plaatsen dit in een schema:
Getal 1: 161
__
Getal 2: 161
__ + 14
Som =
Getal 3:161
__ + 14 + 14
728
Getal 4:161
__ + 14 + 14 + 14
Bewerking:
728 – (6 x 14) = 644
644 : 4 = 161
3
, 5 In een breder perspectief bekijken
Het kan zijn dat je in het zogenaamd hond-kluifprobleem terechtkomt: de hond wil de kluif en
gaat recht op het doel af maar stoot op de afrastering. Door in een breder perspectief te kijken
zie je dat de hond eerst van het doel weg moet om naar de kluif te kunnen gaan.
Deze techniek passen we onder andere toe bij het oplossen van een Rubik’s kubus of een
schuifpuzzel.
6 Een tekening maken
Een tekening kan je helpen om het probleem beter te begrijpen, maar ook om (in stap 2) het
antwoord uit de tekening af te leiden.
7 Een schema of tabel maken
Een tabel of schema is vooral geschikt om duidelijkheid te scheppen in een wirwar van
informatie.
Om de probleemoplossende vaardigheden ten volle te ontwikkelen, moeten we de leerlingen
confronteren met:
• contextrijke opgaven,
• verschillende typevraagstukken
• en ‘rijke’ wiskundeproblemen.
4 CONTEXTRIJKE OPGAVEN
Wiskundige problemen, vraagstukken, rekenverhalen, redactiesommen of toepassingen.
4.1 ENKELVOUDIGE EN SAMENGESTELDE VRAAGSTUKKEN
Bij enkelvoudige vraagstukken (onderbouw) moet slechts één bewerking worden uitgevoerd.
Bij samengestelde vraagstukken (bovenbouw) moeten er minstens 2 bewerkingen worden uitgevoerd
om tot de oplossing te komen.
4.2 BEWERKINGEN HERKENNEN IN EEN CONTEXT
We kunnen verschillende soorten vraagstukken onderscheiden op basis van de 4
basisbewerkingen:
- optellen en aftrekken (additieve vraagstukken)
- vermenigvuldigen en delen (multiplicatieve vraagstukken)
Het gevaar bestaat erin dat leerlingen bepaalde woorden koppelen aan een bewerking. Zo doet het
woord ‘meer’ denken aan een optelling, maar het kan echter ook leiden tot een optelling.
4.2.1 ADDITIEVE CONTEXTRIJKE OPGAVEN
Voor optellen en aftrekken gaat het over de volgende soorten vraagstukken:
• Oorzaak-veranderingsvraagstukken
Een gebeurtenis geeft hier de aanleiding tot een hoeveelheidsverandering.
Bijvoorbeeld: Suzan had 7 koekjes. Ze geeft er 2 weg.
• Combinatievraagstukken
De nadruk ligt op delen en het geheel. Twee of meer afzonderlijke hoeveelheden vormen samen
een geheel (1). Of het geheel min één van de delen (2).
Bijvoorbeeld:
(1) Maxine heeft 4 zwarte parels en 12 gouden parels. Hoeveel parels heeft ze?
(2) Max en Thomas hebben samen 6 auto’s. Max heeft er 4. Hoeveel auto’s heeft Thomas?
4
