Financiële Markten — Samenvatting van de Theorie
Universiteit Gent — Faculteit Economie en Bedrijfskunde
Inhoudsopgave
Deel 1 — Tijdwaarde van geld (TVM)
1. Inleiding tot rente en tijdvoorkeur
2. Enkelvoudige rente
3. Samengestelde rente
4. Continue oprenting
5. Rente-omzettingen
6. Discontofactor en disconto
7. Dagtelconventies
8. Schatkistcertificaten
Deel 2 — Geldequivalenties en aflossingsmethoden
9. Merchant's Rule
10. Declining Balance methode
11. Equivalente kasstromen
12. NPV (Netto Huidige Waarde)
13. IRR (Internal Rate of Return)
Deel 3 — Annuïteiten en perpetuïteiten
14. Wat is een annuïteit?
15. Pre-numerando vs post-numerando
16. Huidige waarde van een annuïteit
17. Toekomstige waarde van een annuïteit
18. Hypotheekleningen
19. Cumulatieve rente en kapitaalaflossing
20. Perpetuïteiten
21. Groeiende perpetuïteit (Gordon-model)
22. Uitgestelde annuïteiten
Deel 4 — Beschrijvende statistiek
23. Soorten data: cross-sectie, tijdreeks, panel
24. Centrale tendentie: gemiddelde, mediaan, modus
25. Spreidingsmaten
26. Vormparameters: scheefheid en kurtosis
27. Stationariseren door verschillen
28. Normaliseren (standaardiseren)
29. De normale verdeling
30. Covariantie en correlatie
Deel 5 — Rendementen
31. Gewone (eenvoudige) rendementen
32. Continue (logaritmische) rendementen
33. Multi-periode rendementen
34. Rekenkundig versus geometrisch gemiddelde
35. Reëel versus nominaal rendement
36. Prijsindex versus rendementsindex
37. Aandelenprijs uit rendement projecteren
Deel 6 — Portefeuilletheorie en Markowitz
38. Portefeuille rendement
39. Portefeuille variantie en volatiliteit
40. Diversificatie en correlatie
41. Hefboom en short selling
42. De efficiënte grens
43. Minimum-variance portefeuille
,44. Het risicovrije activum
45. Sharpe ratio (reward-to-volatility)
46. Capital Market Line
47. Ex ante versus ex post
48. Equity premium
49. Beleggingshorizon en risico
DEEL 1 — Tijdwaarde van geld (TVM)
1. Inleiding tot rente en tijdvoorkeur
De tijdwaarde van geld is het centrale concept van de financiële wereld: €1 vandaag is meer waard dan €1
morgen. Niet omdat morgen onzeker is (al speelt dat ook mee), maar omdat €1 vandaag kan worden belegd om morgen
méér op te leveren.
Deze logica heeft drie fundamentele oorzaken:
(a) Tijdvoorkeur. Mensen geven de voorkeur aan consumptie nu boven consumptie later. Wie nu €100 ontvangt kan
onmiddellijk zaken kopen; wie €100 over een jaar krijgt, moet wachten en de tussenliggende periode missen.
(b) Inflatie. Geld verliest doorgaans aan koopkracht. Een mandje boodschappen dat vandaag €100 kost, kost volgend
jaar wellicht €102. €100 ontvangen over een jaar betekent dus minder reële koopkracht dan €100 vandaag.
(c) Risico en opportuniteitskost. Door geld nu beschikbaar te stellen aan iemand anders, neem je risico (zal hij
terugbetalen?) én verlies je alternatieve investeringen die je had kunnen maken.
De rentevoet is de prijs die mensen vragen om hun geld een tijd uit handen te geven. Een belegger die €100 uitleent
aan 5% per jaar krijgt na één jaar €105 terug: €100 hoofdsom + €5 rente. Die €5 compenseert hem voor tijdvoorkeur,
verwachte inflatie en risico.
Twee basisbewerkingen zullen we onophoudelijk gebruiken:
Bewerking Wat het doet Formule (basis)
Oprenten Huidige waarde → Toekomstige waarde TW = HW · (1+r)ⁿ
Verdisconteren Toekomstige waarde → Huidige waarde HW = TW / (1+r)ⁿ
In het Engels: future value (FV) en present value (PV). In Excel: TW() (Toekomstige Waarde) en HW() (Huidige
Waarde). Beide functies zijn elkaars omkering en gebruiken dezelfde argumenten.
Tekenconventie in Excel
Excel's financiële functies vereisen dat één bedrag positief is en één negatief. De logica: een uitgaande kasstroom (geld
dat de rekening verlaat) krijgt een minteken, een inkomende kasstroom is positief. Wie €100 stort op een spaarrekening
(uitgaande kasstroom) en daar later €110 uithaalt (inkomende kasstroom) noteert: =TW(rente; n; ; -100) waarvan het
resultaat een positief getal is.
Vergeet je het minteken? Dan geeft Excel een foutmelding of een onverwacht teken. Onthoud: één positief, één
negatief.
2. Enkelvoudige rente
Bij enkelvoudige rente wordt rente alleen berekend op de oorspronkelijke hoofdsom — nooit op de eerder verdiende
rente. De formule is recht door zee:
TW = HW · (1 + r · t)
waarbij r de jaarrente is en t de looptijd in jaren.
Voorbeeld: €1.000 belegd aan 5% pa enkelvoudig voor 3 jaar geeft 1.000 · (1 + 5% · 3) = €1.150. Elk jaar exact €50
rente, niet meer. Je krijgt nooit rente op rente.
Enkelvoudige rente wordt vooral toegepast bij:
,- Kortlopende leningen (minder dan 1 jaar)
- Schatkistcertificaten (korte staatsobligaties)
- Vorderingen op klanten
- Disconto-operaties
Voor lange periodes is enkelvoudige rente ongunstig voor de belegger en wordt het zelden gebruikt.
Excel: geen specifieke functie; gebruik directe formule =HW*(1 + rente * looptijd) .
3. Samengestelde rente
Bij samengestelde rente wordt de rente periodiek aan het kapitaal toegevoegd. De rente in volgende periodes wordt
dus berekend op een groeiend saldo — je verdient "rente op rente". Dat geeft het beroemde exponentiële groei-effect.
TW = HW · (1 + r)ⁿ
De cruciale parameter is hoe vaak per jaar wordt opgerent — de oprentingsfrequentie. We onderscheiden:
Notatie Frequentie n per jaar
pa ac per annum, annual compounding 1
pa sac per annum, semi-annual compounding 2
pa qc per annum, quarterly compounding 4
pa mc per annum, monthly compounding 12
pa dc per annum, daily compounding 365
pa cc per annum, continuous compounding ∞
Een geafficheerde rente van 6% pa mc betekent: nominaal 6% per jaar, maar maandelijks opgerent. De per-maand
rente is dan 6%/12 = 0,5%, en het werkelijke jaarlijkse rendement is iets hoger:
(1 + 0,5%)¹² − 1 = 6,1678% pa ac
Hoe vaker je oprent bij dezelfde nominale rente, hoe hoger het effectieve jaarlijkse rendement. Dat verschil tussen
nominale en effectieve rente is zeer belangrijk: een lening op 12% pa mc is niet hetzelfde als 12% pa ac.
Het effect van compounding
Stel je investeert €10.000 voor 30 jaar:
Rente Eindwaarde
4% pa ac €32.434
4% pa mc €33.103
4% pa dc €33.198
4% pa cc €33.201
Het verschil tussen jaarlijks en continu lijkt klein voor één jaar maar accumuleert over de tijd. Voor de meeste
praktische gevallen ligt de waarheid tussen pa mc en pa cc.
Excel: =TW(rente; n; ; -HW) of =HW*(1+rente)^n . Voor frequentere oprenting: deel rente door frequentie en
vermenigvuldig n met dezelfde frequentie. Zo wordt 12% pa mc over 3 jaar: =TW(12%/12; 3*12; ; -100) .
4. Continue oprenting
Continue oprenting is het theoretische grensgeval waarbij de rente "elk moment" wordt toegevoegd. De wiskundige
limiet van (1 + r/n)ⁿ wanneer n naar oneindig gaat, is e^r (Euler's getal e ≈ 2,71828).
TW = HW · e^(R·t) (oprenten)
HW = TW · e^(−R·t) (verdisconteren)
, Hier is R de continue rente per annum (pa cc).
Excel: =HW * EXP(R * t) voor oprenten, =TW * EXP(-R * t) voor verdisconteren.
Voorbeeld: €100 oprenten aan 3% pa cc over 0,75 jaar (9 maanden):
- TW = 100 · e^(0,03 · 0,75) = 100 · 1,02275 = €102,28
Waarom is continue rente belangrijk?
(a) Wiskundige eenvoud. De afgeleide van e^(rt) is r·e^(rt) — heel handig in financiële modellen (Black-Scholes
optieformule, bv.).
(b) Optelbaarheid van log-rendementen. Continue rendementen over opeenvolgende periodes mag je gewoon
optellen, terwijl gewone rendementen moeten worden vermenigvuldigd. We zien dit in detail bij rendementen (deel 5).
(c) Theoretische limiet. Continue rente is de bovengrens van wat je kan halen bij steeds frequentere oprenting van
een gegeven nominale rente.
5. Rente-omzettingen
Een fundamentele vaardigheid: een rente in de ene frequentie omzetten naar een equivalente rente in een andere
frequentie. Equivalent betekent: dezelfde eindwaarde over dezelfde looptijd opleveren.
De drie centrale omzettingsformules
(a) pa ac → pa Xc (jaarlijks naar frequentere oprenting)
Gegeven een effectieve jaarrente i_a, wat is de equivalente nominale rente met X-voudige oprenting per jaar?
i_X = X · [(1 + i_a)^(1/X) − 1]
Excel: =NOMINALE.RENTE(i_a; X)
Voorbeeld: 8,89% pa ac → pa qc. NOMINALE.RENTE(8,89%; 4) = 8,61% pa qc.
(b) pa Xc → pa ac (frequentere oprenting naar jaarlijks)
Gegeven een nominale rente i_X met X-voudige oprenting, wat is de effectieve jaarrente?
i_a = (1 + i_X/X)^X − 1
Excel: =EFFECT.RENTE(i_X; X)
Voorbeeld: 8,91% pa mc → pa ac. EFFECT.RENTE(8,91%; 12) = 9,28% pa ac.
(c) Continu ↔ jaarlijks
i_a = e^(R_cc) − 1 (cc → ac)
R_cc = ln(1 + i_a) (ac → cc)
Excel: =EXP(R_cc) - 1 of =EFFECT.RENTE(R_cc; 5000) (hoge frequentie ≈ continu); voor de omkering =LN(1+i_a) of
=NOMINALE.RENTE(i_a; 5000) .
Het standaardstappenplan
Soms moet je een rente omzetten naar een formaat dat geen directe Excel-functie heeft, bv. pa cc → pa qc. Doe dat in
twee stappen via pa ac als tussenstation:
pa cc → pa ac → pa qc:
1. =EXP(rate_cc) - 1 of =EFFECT.RENTE(rate_cc; 5000)
2. =NOMINALE.RENTE(uit_stap_1; 4)
Voorbeeld: 3,86% pa cc → pa qc:
- Stap 1: e^(3,86%) − 1 = 3,9355% pa ac
- Stap 2: NOMINALE.RENTE(3,9355%; 4) = 3,88% pa qc
Belangrijk: wanneer omzetten?
Universiteit Gent — Faculteit Economie en Bedrijfskunde
Inhoudsopgave
Deel 1 — Tijdwaarde van geld (TVM)
1. Inleiding tot rente en tijdvoorkeur
2. Enkelvoudige rente
3. Samengestelde rente
4. Continue oprenting
5. Rente-omzettingen
6. Discontofactor en disconto
7. Dagtelconventies
8. Schatkistcertificaten
Deel 2 — Geldequivalenties en aflossingsmethoden
9. Merchant's Rule
10. Declining Balance methode
11. Equivalente kasstromen
12. NPV (Netto Huidige Waarde)
13. IRR (Internal Rate of Return)
Deel 3 — Annuïteiten en perpetuïteiten
14. Wat is een annuïteit?
15. Pre-numerando vs post-numerando
16. Huidige waarde van een annuïteit
17. Toekomstige waarde van een annuïteit
18. Hypotheekleningen
19. Cumulatieve rente en kapitaalaflossing
20. Perpetuïteiten
21. Groeiende perpetuïteit (Gordon-model)
22. Uitgestelde annuïteiten
Deel 4 — Beschrijvende statistiek
23. Soorten data: cross-sectie, tijdreeks, panel
24. Centrale tendentie: gemiddelde, mediaan, modus
25. Spreidingsmaten
26. Vormparameters: scheefheid en kurtosis
27. Stationariseren door verschillen
28. Normaliseren (standaardiseren)
29. De normale verdeling
30. Covariantie en correlatie
Deel 5 — Rendementen
31. Gewone (eenvoudige) rendementen
32. Continue (logaritmische) rendementen
33. Multi-periode rendementen
34. Rekenkundig versus geometrisch gemiddelde
35. Reëel versus nominaal rendement
36. Prijsindex versus rendementsindex
37. Aandelenprijs uit rendement projecteren
Deel 6 — Portefeuilletheorie en Markowitz
38. Portefeuille rendement
39. Portefeuille variantie en volatiliteit
40. Diversificatie en correlatie
41. Hefboom en short selling
42. De efficiënte grens
43. Minimum-variance portefeuille
,44. Het risicovrije activum
45. Sharpe ratio (reward-to-volatility)
46. Capital Market Line
47. Ex ante versus ex post
48. Equity premium
49. Beleggingshorizon en risico
DEEL 1 — Tijdwaarde van geld (TVM)
1. Inleiding tot rente en tijdvoorkeur
De tijdwaarde van geld is het centrale concept van de financiële wereld: €1 vandaag is meer waard dan €1
morgen. Niet omdat morgen onzeker is (al speelt dat ook mee), maar omdat €1 vandaag kan worden belegd om morgen
méér op te leveren.
Deze logica heeft drie fundamentele oorzaken:
(a) Tijdvoorkeur. Mensen geven de voorkeur aan consumptie nu boven consumptie later. Wie nu €100 ontvangt kan
onmiddellijk zaken kopen; wie €100 over een jaar krijgt, moet wachten en de tussenliggende periode missen.
(b) Inflatie. Geld verliest doorgaans aan koopkracht. Een mandje boodschappen dat vandaag €100 kost, kost volgend
jaar wellicht €102. €100 ontvangen over een jaar betekent dus minder reële koopkracht dan €100 vandaag.
(c) Risico en opportuniteitskost. Door geld nu beschikbaar te stellen aan iemand anders, neem je risico (zal hij
terugbetalen?) én verlies je alternatieve investeringen die je had kunnen maken.
De rentevoet is de prijs die mensen vragen om hun geld een tijd uit handen te geven. Een belegger die €100 uitleent
aan 5% per jaar krijgt na één jaar €105 terug: €100 hoofdsom + €5 rente. Die €5 compenseert hem voor tijdvoorkeur,
verwachte inflatie en risico.
Twee basisbewerkingen zullen we onophoudelijk gebruiken:
Bewerking Wat het doet Formule (basis)
Oprenten Huidige waarde → Toekomstige waarde TW = HW · (1+r)ⁿ
Verdisconteren Toekomstige waarde → Huidige waarde HW = TW / (1+r)ⁿ
In het Engels: future value (FV) en present value (PV). In Excel: TW() (Toekomstige Waarde) en HW() (Huidige
Waarde). Beide functies zijn elkaars omkering en gebruiken dezelfde argumenten.
Tekenconventie in Excel
Excel's financiële functies vereisen dat één bedrag positief is en één negatief. De logica: een uitgaande kasstroom (geld
dat de rekening verlaat) krijgt een minteken, een inkomende kasstroom is positief. Wie €100 stort op een spaarrekening
(uitgaande kasstroom) en daar later €110 uithaalt (inkomende kasstroom) noteert: =TW(rente; n; ; -100) waarvan het
resultaat een positief getal is.
Vergeet je het minteken? Dan geeft Excel een foutmelding of een onverwacht teken. Onthoud: één positief, één
negatief.
2. Enkelvoudige rente
Bij enkelvoudige rente wordt rente alleen berekend op de oorspronkelijke hoofdsom — nooit op de eerder verdiende
rente. De formule is recht door zee:
TW = HW · (1 + r · t)
waarbij r de jaarrente is en t de looptijd in jaren.
Voorbeeld: €1.000 belegd aan 5% pa enkelvoudig voor 3 jaar geeft 1.000 · (1 + 5% · 3) = €1.150. Elk jaar exact €50
rente, niet meer. Je krijgt nooit rente op rente.
Enkelvoudige rente wordt vooral toegepast bij:
,- Kortlopende leningen (minder dan 1 jaar)
- Schatkistcertificaten (korte staatsobligaties)
- Vorderingen op klanten
- Disconto-operaties
Voor lange periodes is enkelvoudige rente ongunstig voor de belegger en wordt het zelden gebruikt.
Excel: geen specifieke functie; gebruik directe formule =HW*(1 + rente * looptijd) .
3. Samengestelde rente
Bij samengestelde rente wordt de rente periodiek aan het kapitaal toegevoegd. De rente in volgende periodes wordt
dus berekend op een groeiend saldo — je verdient "rente op rente". Dat geeft het beroemde exponentiële groei-effect.
TW = HW · (1 + r)ⁿ
De cruciale parameter is hoe vaak per jaar wordt opgerent — de oprentingsfrequentie. We onderscheiden:
Notatie Frequentie n per jaar
pa ac per annum, annual compounding 1
pa sac per annum, semi-annual compounding 2
pa qc per annum, quarterly compounding 4
pa mc per annum, monthly compounding 12
pa dc per annum, daily compounding 365
pa cc per annum, continuous compounding ∞
Een geafficheerde rente van 6% pa mc betekent: nominaal 6% per jaar, maar maandelijks opgerent. De per-maand
rente is dan 6%/12 = 0,5%, en het werkelijke jaarlijkse rendement is iets hoger:
(1 + 0,5%)¹² − 1 = 6,1678% pa ac
Hoe vaker je oprent bij dezelfde nominale rente, hoe hoger het effectieve jaarlijkse rendement. Dat verschil tussen
nominale en effectieve rente is zeer belangrijk: een lening op 12% pa mc is niet hetzelfde als 12% pa ac.
Het effect van compounding
Stel je investeert €10.000 voor 30 jaar:
Rente Eindwaarde
4% pa ac €32.434
4% pa mc €33.103
4% pa dc €33.198
4% pa cc €33.201
Het verschil tussen jaarlijks en continu lijkt klein voor één jaar maar accumuleert over de tijd. Voor de meeste
praktische gevallen ligt de waarheid tussen pa mc en pa cc.
Excel: =TW(rente; n; ; -HW) of =HW*(1+rente)^n . Voor frequentere oprenting: deel rente door frequentie en
vermenigvuldig n met dezelfde frequentie. Zo wordt 12% pa mc over 3 jaar: =TW(12%/12; 3*12; ; -100) .
4. Continue oprenting
Continue oprenting is het theoretische grensgeval waarbij de rente "elk moment" wordt toegevoegd. De wiskundige
limiet van (1 + r/n)ⁿ wanneer n naar oneindig gaat, is e^r (Euler's getal e ≈ 2,71828).
TW = HW · e^(R·t) (oprenten)
HW = TW · e^(−R·t) (verdisconteren)
, Hier is R de continue rente per annum (pa cc).
Excel: =HW * EXP(R * t) voor oprenten, =TW * EXP(-R * t) voor verdisconteren.
Voorbeeld: €100 oprenten aan 3% pa cc over 0,75 jaar (9 maanden):
- TW = 100 · e^(0,03 · 0,75) = 100 · 1,02275 = €102,28
Waarom is continue rente belangrijk?
(a) Wiskundige eenvoud. De afgeleide van e^(rt) is r·e^(rt) — heel handig in financiële modellen (Black-Scholes
optieformule, bv.).
(b) Optelbaarheid van log-rendementen. Continue rendementen over opeenvolgende periodes mag je gewoon
optellen, terwijl gewone rendementen moeten worden vermenigvuldigd. We zien dit in detail bij rendementen (deel 5).
(c) Theoretische limiet. Continue rente is de bovengrens van wat je kan halen bij steeds frequentere oprenting van
een gegeven nominale rente.
5. Rente-omzettingen
Een fundamentele vaardigheid: een rente in de ene frequentie omzetten naar een equivalente rente in een andere
frequentie. Equivalent betekent: dezelfde eindwaarde over dezelfde looptijd opleveren.
De drie centrale omzettingsformules
(a) pa ac → pa Xc (jaarlijks naar frequentere oprenting)
Gegeven een effectieve jaarrente i_a, wat is de equivalente nominale rente met X-voudige oprenting per jaar?
i_X = X · [(1 + i_a)^(1/X) − 1]
Excel: =NOMINALE.RENTE(i_a; X)
Voorbeeld: 8,89% pa ac → pa qc. NOMINALE.RENTE(8,89%; 4) = 8,61% pa qc.
(b) pa Xc → pa ac (frequentere oprenting naar jaarlijks)
Gegeven een nominale rente i_X met X-voudige oprenting, wat is de effectieve jaarrente?
i_a = (1 + i_X/X)^X − 1
Excel: =EFFECT.RENTE(i_X; X)
Voorbeeld: 8,91% pa mc → pa ac. EFFECT.RENTE(8,91%; 12) = 9,28% pa ac.
(c) Continu ↔ jaarlijks
i_a = e^(R_cc) − 1 (cc → ac)
R_cc = ln(1 + i_a) (ac → cc)
Excel: =EXP(R_cc) - 1 of =EFFECT.RENTE(R_cc; 5000) (hoge frequentie ≈ continu); voor de omkering =LN(1+i_a) of
=NOMINALE.RENTE(i_a; 5000) .
Het standaardstappenplan
Soms moet je een rente omzetten naar een formaat dat geen directe Excel-functie heeft, bv. pa cc → pa qc. Doe dat in
twee stappen via pa ac als tussenstation:
pa cc → pa ac → pa qc:
1. =EXP(rate_cc) - 1 of =EFFECT.RENTE(rate_cc; 5000)
2. =NOMINALE.RENTE(uit_stap_1; 4)
Voorbeeld: 3,86% pa cc → pa qc:
- Stap 1: e^(3,86%) − 1 = 3,9355% pa ac
- Stap 2: NOMINALE.RENTE(3,9355%; 4) = 3,88% pa qc
Belangrijk: wanneer omzetten?
