Analysis I & Lineare Algebra für Ingenieurwissenschaften | 133 Seiten Klausurzusammenfassung | TU Berlin | Mathematik Lernskript

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, Inhaltsverzeichnis

1. Mengen, Termumformung und Aussagen ................................... 8

 Mengen und Mengenschreibweise
 Teilmengen, Vereinigungs- und Schnittmengen
 Kartesisches Produkt
 Intervalle in ℝ

2. Zahlen und Zahlendarstellung .................................................. 12

 Zahlmengen (ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ)
 Aussagen und mathematische Schreibweisen

Ungleichungen und Beträge

 Lineare Ungleichungen
 Intervallschreibweise und Lösungsmenge
 Äquivalenzumformungen
 Doppelte Ungleichungen
 Betragsgleichungen und Betragsungleichungen
 Fallunterscheidungen beim Betrag

3. Komplexe Zahlen ....................................................................... 18

 Einführung in komplexe Zahlen
 Realteil und Imaginärteil
 Konjugiert komplexe Zahlen
 Betrag komplexer Zahlen
 Rechenregeln komplexer Zahlen
 Gaußsche Zahlenebene
 Polardarstellung
 Trigonometrische Darstellung
 Exponentialdarstellung und Eulerformel

4. Vollständige Induktion .............................................................. 27

 Prinzip der vollständigen Induktion
 Induktionsanfang
 Induktionsvoraussetzung
 Induktionsschritt
 Induktionsbeweise mit Beispielen
 Pascalsches Dreieck und Binomialkoeffizienten

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,5. Abbildungen und Funktionen ..................................................... 29

 Definition von Abbildungen
 Definitionsmenge und Wertebereich
 Bild und Urbild
 Verkettung von Funktionen
 Injektivität
 Surjektivität
 Bijektivität und Umkehrfunktionen

6. Elementare Funktionen ............................................................. 36

 Exponentialfunktionen und e-Funktion
 Eigenschaften von exp(x)
 Sinus- und Cosinusfunktionen
 Periodische Funktionen
 Transformation trigonometrischer Funktionen
 Bogenmaß und Gradmaß
 Umrechnung zwischen Radiant und Grad
 Additionstheoreme

7. Polynome.................................................................................... 43

 Aufbau und Grad von Polynomen
 Rechenoperationen mit Polynomen
 Faktorisierung
 Binomische Formeln
 Substitution
 Polynomdivision
 Nullstellenberechnung

8. Rationale Funktionen und Partialbruchzerlegung .................... 48

 Aufbau rationaler Funktionen
 Definitionslücken und Polstellen
 Komplexe Partialbruchzerlegung
 Reelle Partialbruchzerlegung
 Zerlegung rationaler Funktionen
 Anwendungen der PBZ




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,10. Matrizen ................................................................................... 61

 Grundlagen und Aufbau von Matrizen
 Matrixarten
 Addition und Subtraktion
 Skalarmultiplikation
 Matrix-Vektor-Multiplikation
 Matrixmultiplikation
 Inverse Matrizen
 Transponierte Matrizen
 Rechenregeln für Matrizen

11. Lineare Gleichungssysteme .................................................... 67

 Allgemeine Form eines LGS
 Matrixschreibweise
 Homogene und inhomogene Systeme
 Lösungsverfahren
 Gauß-Algorithmus
 Zeilenstufenform
 Normierte Zeilenstufenform
 11.9 Lösungsmenge und freie Variablen

12. Anwendungen des Gauß-Algorithmus ..................................... 76

 Rang einer Matrix
 Lineare Abhängigkeit
 Lösbarkeitskriterien von LGS
 Partikuläre Lösungen
 Homogene Lösungssysteme

13. Zahlenfolgen ............................................................................ 78

 Definition von Folgen
 Konvergente und divergente Folgen
 Beschränktheit
 Monotonie
 Grenzwerte von Folgen

14. Stetigkeit ................................................................................. 86

 Definition der Stetigkeit
 Stetige und unstetige Funktionen
 Arten von Unstetigkeiten


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,15. Sätze über Stetigkeit ............................................................... 93

 Zwischenwertsatz
 Satz über abgeschlossene Intervalle
 Extremwertsatz
 Eigenschaften stetiger Funktionen
 Anwendungen der Stetigkeitssätze

16. Regel von Bernoulli/de l’Hospital .......................................... 100

 Allgemeine Form der Bernoulli-Ungleichung
 Voraussetzungen und Eigenschaften
 Anwendungen der Bernoulli-Ungleichung
 Beispielaufgaben zur Bernoulli-Ungleichung

17. Taylor Approximation ............................................................ 102

 Taylorpolynome
 Taylorreihen
 Entwicklung um einen Punkt
 Restglied der Taylorreihe
 Anwendungen der Taylorapproximation

18. Das Integral............................................................................ 106

 Stammfunktionen
 Unbestimmte Integrale
 Bestimmte Integrale
 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
 Integrationsregeln
 Substitution
 Partielle Integration

19. Determinanten ....................................................................... 116

 Definition von Determinanten
 Berechnung von Determinanten
 Entwicklungssatz von Laplace
 Eigenschaften von Determinanten
 Determinanten und Invertierbarkeit
 Anwendungen von Determinanten




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,20. Eigenwerte und Eigenvektoren ............................................. 123

 Definition von Eigenwerten
 Definition von Eigenvektoren
 Berechnung von Eigenwerten
 Berechnung von Eigenvektoren
 Eigenräume
 Diagonalisierung von Matrizen
 Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren

21. Vektorräume mit Skalarprodukt ........................................... 128

 Definition des Skalarprodukts
 Eigenschaften des Skalarprodukts
 Orthogonalität von Vektoren
 Normen und Längen von Vektoren
 Winkel zwischen Vektoren
 Orthonormalbasen




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, Mengen, Termumformung und Aussagen



1. Mengen

1. Allgemeine Informationen zu Mengen:

Definition:

Eine Menge ist eine Zusammenfassung von verschiedenen Objekten (Elementen) zu einem
Ganzen. Die Objekte, die zu einer Menge gehören, nennt man die Elemente der Menge.

Beispiele:

M = {1,2,3,4} → Die Menge M besteht aus den Elementen 1, 2, 3 und 4.



Darstellung:

1. Als Aufzählung:

A = {1,2,3,4}

Das bedeutet: 1 ∈ A (1 ist Element von A), 5 ∉ A (5 ist nicht Element von A).



2. Als Eigenschaftsdefinition / Bedingung:

B = {x ∈ N∣ x < 5}

Das bedeutet: B ist die Menge aller natürlichen Zahlen x, für die gilt: x kleiner als 5.



3. Als graphische Darstellung (Venn-Diagramm):

Mengen können als Kreise dargestellt werden, die sich überschneiden oder trennen.

-Schnittmenge (A ∩ B): Elemente, die in beiden Mengen vorkommen.

-Vereinigung (A ∪ B): Alle Elemente, die in mindestens einer der Mengen vorkommen.

-Differenz (A \ B): Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind.




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,Wichtige Mengensymbole:

1. Teilmenge:

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B
ist.

A ⊆ B bedeutet: Jede Menge von A ist auch in der Menge von B.

Beispiel:

A = {1,2}, B = {1,2,3,4} => A ⊆ B

Sonderfälle:

Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst: A ⊆ A

Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge: ∅ ⊆ A



2. Gleichheit von Mengen:

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

A = B ⇔ (A ⊆ B) und (B ⊆ A)

Beispiel:

A = {1,2,3}, B = {3,1,2} => A = B (Menge von A ist die Meng von B), da die Reihenfolge der
Elemente keine Rolle spielt.



3. Vereinigungsmenge:

Die Vereinigungsmenge A ∪ B besteht aus allen Elementen, die in A oder in B oder in beiden
Mengen enthalten sind.

A ∪ B = {x ∣ x ∈ A oder x ∈ B}

Beispiel:

A = {1,2,3}, B = {3,4,5} => A ∪ B = {1,2,3,4,5}




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,4. Schnittmenge:

A ∩ B enthält alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

A ∩ B = {x ∣ x ∈ A und x ∈ B}

Beispiel:

A = {1,2,3}, B = {2,3,4}

=> A∩B = {2,3}



5. Differenzmenge:

Die Differenzmenge A∖B (auch „A ohne B“) enthält alle Elemente, die in A, aber nicht in B
enthalten sind.

A ∖ B = {x ∣ x∈A und x∈/B}

Beispiel:

A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5}

=> A∖B = {1,2}




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, 3. Intervalle in R:

Ein Intervall ist eine Teilmenge der reellen Zahlenmenge ℝ, die alle Zahlen zwischen zwei
Grenzen a und b enthält. Je nach Art des Intervalls werden die Grenzen einbezogen oder
ausgeschlossen.

1. Offenes Intervall:

Ein offenes Intervall enthält alle Zahlen zwischen a und b, ohne die Randpunkte a und b.

Option 1: (a, b)

Option 2:] a, b [ = {x ∈ R ∣ a < x < b}

Beispiel:

(2,5) oder] 2, 5 [ = {x∣2<x<5} → 2 und 5 gehören nicht dazu.



2. Abgeschlossenes Intervall:

Ein abgeschlossenes Intervall enthält alle Zahlen zwischen a und b, einschließlich der
Randpunkte a und b.

[a,b] = {x ∈ R ∣ a ≤ x ≤ b}

Beispiel:

[2,5] = {x∣2≤x≤5} → 2 und 5 gehören dazu.



3. Halboffenes / Halbgeschlossenes Intervall:

Ein halboffenes Intervall enthält nur einen der beiden Randpunkte.

links offen, rechts geschlossen:

(a, b]

] a, b] = {x∈R∣a<x≤b}

links geschlossen, rechts offen:

[a, b)

[a, b [ = {x∈R∣a≤x<b}

Beispiele:

[2,5) = {x∣2≤x<5} → 2 ist enthalten, 5 nicht



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