LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA TENTAMENSSKRIVNING
MATEMATIK ENDIMENSIONELL ANALYS A2
2013-12-21 kl. 8-13
INGA HJALPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentiga motiveringar.
1. Beräkna nedanstâende gränsvärden. Endast svar krävs i denna uppgift. (0.2p/styck)
4 2 +3In r b) lim n(1+ 3z) In(1+3a)
a) im
r5-27t T0 sin 2.r ) im sin27
e lim-- 3t +2
cos 2t
d) lim:
To In(l +3c)
2. Rita grafen till funktionen
f(c) 2x+1 tf-1/2.
Ange speciellt eventuella lokala extrempunkter och asymptoter. Ange även värde
mängdentill f.
3. a) Bestäm alla komplexa rötter till ekvationen z° = -64. Rötterna skall ges på
formena +bi. (0.7)
b) Faktoriserapolynomet 5 + 64 så längt som möjligti reella faktorer. (0.3)
4. a) Lat f vara en funktion definierad i en omgivning av en punkt a. Ge den matema-
tiska definitionen av derivatan f(a). (0.2)
b) Härled derivatan av funktionen f(z) = sin t genom att utgă från derivatans defi-
nition. (Du fär lov att direkt använda gränsvärdet lim =0.) (0.3)
h
c)För vilka värden på c är serien
2*
k=2
konvergent? För vilka värden på c blir seriens summa lika med 2? (0.5)
5. a) Bestäm gränsvärdet
2.ce"- Sin27
lim
0 «(1 -cosa)
med hjälp av Maclaurinutveckling. (0.5)
b) Visa att
|Iin(1-*)+ +}a'| s 0
för alla a som uppfyller lel s (0.5)
VAR GOD VAND!
, 6. Lat A, B, C, D och E beteckna reella tal. Polynomfunktionen
plr) = Ar* + Br3 +Ca+ Dt + E,
definierad på hela R, uppfyller samtliga nedanstăende villkor:
punktenr =0är en lokal extrempunkt till p(r) ochmotsvarandelokalaextremvärde
är -1
pl) ärenjämnfunktion
A=1
plr) har detstörstavärdet 3
Bestäm funktionen p(r), dvs. bestäm alla möjliga uppsättningar av talen A, B, C, D
och E.
GOD JUL OCH GOTT NYTT ĀR!
MATEMATIK ENDIMENSIONELL ANALYS A2
2013-12-21 kl. 8-13
INGA HJALPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentiga motiveringar.
1. Beräkna nedanstâende gränsvärden. Endast svar krävs i denna uppgift. (0.2p/styck)
4 2 +3In r b) lim n(1+ 3z) In(1+3a)
a) im
r5-27t T0 sin 2.r ) im sin27
e lim-- 3t +2
cos 2t
d) lim:
To In(l +3c)
2. Rita grafen till funktionen
f(c) 2x+1 tf-1/2.
Ange speciellt eventuella lokala extrempunkter och asymptoter. Ange även värde
mängdentill f.
3. a) Bestäm alla komplexa rötter till ekvationen z° = -64. Rötterna skall ges på
formena +bi. (0.7)
b) Faktoriserapolynomet 5 + 64 så längt som möjligti reella faktorer. (0.3)
4. a) Lat f vara en funktion definierad i en omgivning av en punkt a. Ge den matema-
tiska definitionen av derivatan f(a). (0.2)
b) Härled derivatan av funktionen f(z) = sin t genom att utgă från derivatans defi-
nition. (Du fär lov att direkt använda gränsvärdet lim =0.) (0.3)
h
c)För vilka värden på c är serien
2*
k=2
konvergent? För vilka värden på c blir seriens summa lika med 2? (0.5)
5. a) Bestäm gränsvärdet
2.ce"- Sin27
lim
0 «(1 -cosa)
med hjälp av Maclaurinutveckling. (0.5)
b) Visa att
|Iin(1-*)+ +}a'| s 0
för alla a som uppfyller lel s (0.5)
VAR GOD VAND!
, 6. Lat A, B, C, D och E beteckna reella tal. Polynomfunktionen
plr) = Ar* + Br3 +Ca+ Dt + E,
definierad på hela R, uppfyller samtliga nedanstăende villkor:
punktenr =0är en lokal extrempunkt till p(r) ochmotsvarandelokalaextremvärde
är -1
pl) ärenjämnfunktion
A=1
plr) har detstörstavärdet 3
Bestäm funktionen p(r), dvs. bestäm alla möjliga uppsättningar av talen A, B, C, D
och E.
GOD JUL OCH GOTT NYTT ĀR!
