Wiskunde B
Examenvatting VWO
Vraag: Uitwerking:
Algebraïsch & Exact: Stap voor stap uitwerken zonder gebruik van de GR. Tussen en eindantwoorden
Geen GR noteren in een breuk of wortel (geen decimalen).
Aantonen: Redeneren dat een bepaling, berekening of stelling juist blijkt. Hierbij duidelijk
Geen GR stappen noteren. Gebruik van GR is niet toegestaan (mits anders aangegeven).
Onderzoeken: Redeneren of berekenen dat een berekening of stelling (on)juist is. Sluit altijd af
met het geven van een conclusie.
Bepalen: Het gevraagde vaststellen en/of uitrekenen.
Beredeneren: Zonder berekening het uitleggen van denkstappen.
Berekenen: Het gevraagde uitrekenen, hierbij is het gebruik van de GR toegestaan, let wel
op de juiste decimalen.
Schetsen: Geven van een, voor de situatie relevante, gra sche weergaven. Deze hoeft niet
nauwkeurig te zijn en hiervoor mag de GR worden gebruikt.
Tekenen: Geven van een nauwkeurige, voor de situatie relevante, gra sche weergaven.
Geen GR Hierbij moet het assenstelsel kloppen, en is gebruik van de GR niet toegestaan,
gebruik een tabel en schaalverdeling.
Toelichting:
• Dik gedrukt onderstreept, een belangrijk begrip dat de kandidaat moet kunnen uitleggen.
• Onderstreept, een belangrijke toelichting op een begrip of een belangrijke zin.
• ⚠ TIP: Noteer in het begin van het examen voor elke vraag waarbij de GR is toegestaan (GR).
Pagina 1 van 28 Versie 4
fi fi
, Inhoudsopgave
Algebraïsche vaardigheden 3
Variabele vrijmaken 4
Rekenregels voor machten en (natuurlijke) logaritme 4
Di erentiëren & Primitieveren 5
Raken en raaklijnen 6
Extreme waarden en buigpunten 7
Integraal 8
Oppervlakten begrenst door een gra ek 8
Inhoud bij wentelen om de x-as 8
Inhoud bij wentelen om de y-as 9
Functies in het algemeen 10
Transformaties, inverse en symmetrie 11
Parameter vergelijkingen 12
Optimaliseringsproblemen 12
Lineaire functies 13
Kwadratische functies 14
Machtsfuncties 15
Wortelfuncties 16
Gebroken functies 16
Exponentiële functies 18
Logaritmische functies 18
Periodieke functies 19
Goniometrische formules 20
Cirkelbewegingen en harmonische trillingen 20
Plaats, snelheid en versnelling 21
Meetkunde 22
Driehoeken 23
Bijzondere lijnen in driehoeken 24
Vierhoeken, oppervlakte en inhoud 25
Cirkels 25
Vectoren 26
Hoeken tussen lijnen 27
Afstand tussen lijnen, punten en cirkels 28
Pagina 2 van 28 Versie 4
ff fi
,Algebraïsche vaardigheden
Herleiden:
Werk altijd eerst binnen de haakjes weg en daarna er buiten. Altijd in de volgorde:
1. Machtsverhe en/worteltrekken.
2. Vermenigvuldigen/delen.
3. Optellen/aftrekken.
Breuken Vergelijking Toelichting
Optellen/aftrekken I A C A D + BC teller
+ =
B D BD noemer
Optellen/aftrekken II A A + BC 0 10
+C = Geeft = 0 en = Geen oplos.
B B 10 0
Vermenigvuldigen I B A∙B A
A∙ = = ∙B
C C C
Vermenigvuldigen II A C A∙C
∙ =
B D B∙D
Delen I A C A∙C ⚠ Delen door een breuk is
= A∙ = ^C ≠0
( )
B B B vermenigvuldigen met het omgekeerde!
C
(B)
Delen II A
A
=
C BC
2
Delen III 3− 3x − 2
x
Vermenigvuldig zowel teller als noemer
f (x) = = met x zodat de breuk in de teller vervalt.
x +4 (x + 4)x
Merkwaardig product Vergelijking Toelichting
(A + B)2 (A + B)2 = A 2 + 2A B + B 2 2A B dubbel product, lezen als 2 ∙ A ∙ B
(A − B)2 (A + B)2 = A 2 − 2A B + B 2
(A + B)3 (A + B)3 = (A + B)(A + B)2 = (A + B)(A 2 + 2A B + B 2 )
(A + B) ∙ (A − B) (A + B)(A − B) = A 2 − B 2 -AB + AB wordt nul en valt weg.
Wortels Vergelijking Toelichting
A∙B A∙B = A∙ B Mits A ≥ 0 en B ≥ 0
A A
=
A
=
A
∙
B
=
AB
=
AB Mits A ≥ 0 en B > 0
B B B B B2 B
B
5 3 5 3 5+ 3 5 15 + 15 1 1
= ∙ = =7 +2 15
5− 3 5− 3 5+ 3 5−3 2 2
Vermenigvuldig noemer en teller met de noemer, als er een - of + in de noemer staat dan deze omdraaien.
A 2 met A ≥ 0 A2 = A
A 2 met A < 0 A2 = − A
Pagina 3 van 28 Versie 4
ff
, xn = p - n oneven —> x = n p (⚠ Dit kan ook een negatief getal zijn).
Tweedemachtswortel
(n = 2), Hogermachts- - n even (p>0) —> x = n p V x = − n p
wortel (n= 3,4,5, etc..) - n even (p<0) —> x heeft geen oplossingen.
Modulus Vergelijking Toelichting
1. | A | = B met B ≥ 0 1. A = B V A = -B |3x-1| = 4 —> 3x-1 = 4 V 3x-1 = -4
2. |A| = |B| 2. A = B V A = -B
|A| = − B De absolute waarde functie in
Geen oplossing de vorm y = |x| kent een gra ek
met een knik punt voor x = 0.
GR: OPTN-NUM-ABS Op het knik punt klapt de
gra ek om van x<0 naar x>0.
Variabele vrijmaken
Een bepaalde variabel vrijmaken / schrijven als (ook in formules) gaat in de volgende stappen,
1. Werk gebroken-functies (breuken) en wortels weg.
2. Als je opzoek bent naar B schrijf je alle termen met B links van het = teken
3. Haal hier B buiten haakjes dus BA-3B wordt B(A-3).
4. Zorg dat de gezochte variabele alleen staat. Rechts van het = teken komt boven breukstreep
(teller) alles in de haakjes achter de gezochte waarden komt onder de breukstreep (noemer).
B als A uitdrukken dan willen ze dus de vorm B = want B is hier de eerst genoemde variabele.
Wortelfunctie vrijmaken:
Maak t vrij uit N = 3 − 2 3 + t.
N−3
1. Herleid eerst tot de vorm 3+t =
−2
( −2 )
2
N−3
2. Kwadrateren geeft, 3 + t =
( −2 )
2
N−3
3. En dat herleiden geeft, t = −3
Rekenregels voor machten en (natuurlijke) logaritme
Normale machten Toelichting
a 0 = 1 en a 1 = a (Mits a ≠ 0)
Vermenigvuldigen: a p ∙ a q = a p+q
ap p−q
Delen: q = a
a
p q
Haakjes: (a ) = a p∙q en (a ∙ b) p = a p ∙ b p
1 p q 1 q 1 2
Exponenten: a −n = en a q = ap Hierbij geldt dus dat a q = a en a 2 = a1 = a.
an
Logaritme: a = 10 log(a) en a = e ln(a)
Pagina 4 van 28 Versie 4
fi fi
, ⚠ Herleiden: x p =c
1
• p = oneven geeft —> x = cp
1 1
• p = even geeft —> x = c p V x = − c p
⚠ g A = g B en e A = e B geeft A = B
Logaritmen Toelichting
g
log(x) = b geeft x = g b Dus: a log(1) = 0 en a log(a) = 1
e x = a geeft x = ln(a)
−ln(2) = ln(2−1)
log(c) =10 log(c) en ln(c) =e log(c) 10 en e zijn grondgetallen voor log en ln.
P
log(a) ln(a)
Herschrijven: glog(a) = =
P log(g) ln(g)
Machten: g log(a p ) = p ∙ g log(a) En dus ln(c n ) = n ∙ ln(c)
Optellen: g log(a) + g log(b) =g log(a ∙ b) En dus ln(a) + ln(b) = ln(a ∙ b)
(b) (b)
a a
Aftrekken: g log(a) −g log(b) =g log(a ÷ b) =g log En dus ln(a) − ln(b) = ln
Getal -> Logaritme: a =g log(g a )
Getal -> Ln: a = ln(e a )
1
Exponenten: g log(a) = −g log(a)
Machten: ln2(A) = (ln(A))2
⚠ Herleiden: g log(A) =g log(B) geeft A = B Dus ln(A) = ln(B) geeft A = B
Di erentiëren & Primitieveren
De functie f(x) is te di erentiëren tot f’(x) en te primitieveren tot F(x). c = Integratieconstante.
Functie: Di erentiatie: Primitieven:
f (x) = a f′(x) = 0 F(x) = a x + c
f (x) = a x n f′(x) = a n ∙ x n−1 a
F(x) = ∙ x n+1 + c en n≠-1
n +1
f (x) = g x f′(x) = ln(g) ∙ g x gx
F(x) = +c
ln(g)
f (x) = e x f′(x) = e x F(x) = e x + c
[e a x+b]′ = a e a x+b [e 2 x ] = ½e 2 x + c
f (x) = ln(x a ) a F(x) = x ln(x) − x + c
f′(x) =
x
Pagina 5 van 28 Versie 4
 
ff
ff ff
Examenvatting VWO
Vraag: Uitwerking:
Algebraïsch & Exact: Stap voor stap uitwerken zonder gebruik van de GR. Tussen en eindantwoorden
Geen GR noteren in een breuk of wortel (geen decimalen).
Aantonen: Redeneren dat een bepaling, berekening of stelling juist blijkt. Hierbij duidelijk
Geen GR stappen noteren. Gebruik van GR is niet toegestaan (mits anders aangegeven).
Onderzoeken: Redeneren of berekenen dat een berekening of stelling (on)juist is. Sluit altijd af
met het geven van een conclusie.
Bepalen: Het gevraagde vaststellen en/of uitrekenen.
Beredeneren: Zonder berekening het uitleggen van denkstappen.
Berekenen: Het gevraagde uitrekenen, hierbij is het gebruik van de GR toegestaan, let wel
op de juiste decimalen.
Schetsen: Geven van een, voor de situatie relevante, gra sche weergaven. Deze hoeft niet
nauwkeurig te zijn en hiervoor mag de GR worden gebruikt.
Tekenen: Geven van een nauwkeurige, voor de situatie relevante, gra sche weergaven.
Geen GR Hierbij moet het assenstelsel kloppen, en is gebruik van de GR niet toegestaan,
gebruik een tabel en schaalverdeling.
Toelichting:
• Dik gedrukt onderstreept, een belangrijk begrip dat de kandidaat moet kunnen uitleggen.
• Onderstreept, een belangrijke toelichting op een begrip of een belangrijke zin.
• ⚠ TIP: Noteer in het begin van het examen voor elke vraag waarbij de GR is toegestaan (GR).
Pagina 1 van 28 Versie 4
fi fi
, Inhoudsopgave
Algebraïsche vaardigheden 3
Variabele vrijmaken 4
Rekenregels voor machten en (natuurlijke) logaritme 4
Di erentiëren & Primitieveren 5
Raken en raaklijnen 6
Extreme waarden en buigpunten 7
Integraal 8
Oppervlakten begrenst door een gra ek 8
Inhoud bij wentelen om de x-as 8
Inhoud bij wentelen om de y-as 9
Functies in het algemeen 10
Transformaties, inverse en symmetrie 11
Parameter vergelijkingen 12
Optimaliseringsproblemen 12
Lineaire functies 13
Kwadratische functies 14
Machtsfuncties 15
Wortelfuncties 16
Gebroken functies 16
Exponentiële functies 18
Logaritmische functies 18
Periodieke functies 19
Goniometrische formules 20
Cirkelbewegingen en harmonische trillingen 20
Plaats, snelheid en versnelling 21
Meetkunde 22
Driehoeken 23
Bijzondere lijnen in driehoeken 24
Vierhoeken, oppervlakte en inhoud 25
Cirkels 25
Vectoren 26
Hoeken tussen lijnen 27
Afstand tussen lijnen, punten en cirkels 28
Pagina 2 van 28 Versie 4
ff fi
,Algebraïsche vaardigheden
Herleiden:
Werk altijd eerst binnen de haakjes weg en daarna er buiten. Altijd in de volgorde:
1. Machtsverhe en/worteltrekken.
2. Vermenigvuldigen/delen.
3. Optellen/aftrekken.
Breuken Vergelijking Toelichting
Optellen/aftrekken I A C A D + BC teller
+ =
B D BD noemer
Optellen/aftrekken II A A + BC 0 10
+C = Geeft = 0 en = Geen oplos.
B B 10 0
Vermenigvuldigen I B A∙B A
A∙ = = ∙B
C C C
Vermenigvuldigen II A C A∙C
∙ =
B D B∙D
Delen I A C A∙C ⚠ Delen door een breuk is
= A∙ = ^C ≠0
( )
B B B vermenigvuldigen met het omgekeerde!
C
(B)
Delen II A
A
=
C BC
2
Delen III 3− 3x − 2
x
Vermenigvuldig zowel teller als noemer
f (x) = = met x zodat de breuk in de teller vervalt.
x +4 (x + 4)x
Merkwaardig product Vergelijking Toelichting
(A + B)2 (A + B)2 = A 2 + 2A B + B 2 2A B dubbel product, lezen als 2 ∙ A ∙ B
(A − B)2 (A + B)2 = A 2 − 2A B + B 2
(A + B)3 (A + B)3 = (A + B)(A + B)2 = (A + B)(A 2 + 2A B + B 2 )
(A + B) ∙ (A − B) (A + B)(A − B) = A 2 − B 2 -AB + AB wordt nul en valt weg.
Wortels Vergelijking Toelichting
A∙B A∙B = A∙ B Mits A ≥ 0 en B ≥ 0
A A
=
A
=
A
∙
B
=
AB
=
AB Mits A ≥ 0 en B > 0
B B B B B2 B
B
5 3 5 3 5+ 3 5 15 + 15 1 1
= ∙ = =7 +2 15
5− 3 5− 3 5+ 3 5−3 2 2
Vermenigvuldig noemer en teller met de noemer, als er een - of + in de noemer staat dan deze omdraaien.
A 2 met A ≥ 0 A2 = A
A 2 met A < 0 A2 = − A
Pagina 3 van 28 Versie 4
ff
, xn = p - n oneven —> x = n p (⚠ Dit kan ook een negatief getal zijn).
Tweedemachtswortel
(n = 2), Hogermachts- - n even (p>0) —> x = n p V x = − n p
wortel (n= 3,4,5, etc..) - n even (p<0) —> x heeft geen oplossingen.
Modulus Vergelijking Toelichting
1. | A | = B met B ≥ 0 1. A = B V A = -B |3x-1| = 4 —> 3x-1 = 4 V 3x-1 = -4
2. |A| = |B| 2. A = B V A = -B
|A| = − B De absolute waarde functie in
Geen oplossing de vorm y = |x| kent een gra ek
met een knik punt voor x = 0.
GR: OPTN-NUM-ABS Op het knik punt klapt de
gra ek om van x<0 naar x>0.
Variabele vrijmaken
Een bepaalde variabel vrijmaken / schrijven als (ook in formules) gaat in de volgende stappen,
1. Werk gebroken-functies (breuken) en wortels weg.
2. Als je opzoek bent naar B schrijf je alle termen met B links van het = teken
3. Haal hier B buiten haakjes dus BA-3B wordt B(A-3).
4. Zorg dat de gezochte variabele alleen staat. Rechts van het = teken komt boven breukstreep
(teller) alles in de haakjes achter de gezochte waarden komt onder de breukstreep (noemer).
B als A uitdrukken dan willen ze dus de vorm B = want B is hier de eerst genoemde variabele.
Wortelfunctie vrijmaken:
Maak t vrij uit N = 3 − 2 3 + t.
N−3
1. Herleid eerst tot de vorm 3+t =
−2
( −2 )
2
N−3
2. Kwadrateren geeft, 3 + t =
( −2 )
2
N−3
3. En dat herleiden geeft, t = −3
Rekenregels voor machten en (natuurlijke) logaritme
Normale machten Toelichting
a 0 = 1 en a 1 = a (Mits a ≠ 0)
Vermenigvuldigen: a p ∙ a q = a p+q
ap p−q
Delen: q = a
a
p q
Haakjes: (a ) = a p∙q en (a ∙ b) p = a p ∙ b p
1 p q 1 q 1 2
Exponenten: a −n = en a q = ap Hierbij geldt dus dat a q = a en a 2 = a1 = a.
an
Logaritme: a = 10 log(a) en a = e ln(a)
Pagina 4 van 28 Versie 4
fi fi
, ⚠ Herleiden: x p =c
1
• p = oneven geeft —> x = cp
1 1
• p = even geeft —> x = c p V x = − c p
⚠ g A = g B en e A = e B geeft A = B
Logaritmen Toelichting
g
log(x) = b geeft x = g b Dus: a log(1) = 0 en a log(a) = 1
e x = a geeft x = ln(a)
−ln(2) = ln(2−1)
log(c) =10 log(c) en ln(c) =e log(c) 10 en e zijn grondgetallen voor log en ln.
P
log(a) ln(a)
Herschrijven: glog(a) = =
P log(g) ln(g)
Machten: g log(a p ) = p ∙ g log(a) En dus ln(c n ) = n ∙ ln(c)
Optellen: g log(a) + g log(b) =g log(a ∙ b) En dus ln(a) + ln(b) = ln(a ∙ b)
(b) (b)
a a
Aftrekken: g log(a) −g log(b) =g log(a ÷ b) =g log En dus ln(a) − ln(b) = ln
Getal -> Logaritme: a =g log(g a )
Getal -> Ln: a = ln(e a )
1
Exponenten: g log(a) = −g log(a)
Machten: ln2(A) = (ln(A))2
⚠ Herleiden: g log(A) =g log(B) geeft A = B Dus ln(A) = ln(B) geeft A = B
Di erentiëren & Primitieveren
De functie f(x) is te di erentiëren tot f’(x) en te primitieveren tot F(x). c = Integratieconstante.
Functie: Di erentiatie: Primitieven:
f (x) = a f′(x) = 0 F(x) = a x + c
f (x) = a x n f′(x) = a n ∙ x n−1 a
F(x) = ∙ x n+1 + c en n≠-1
n +1
f (x) = g x f′(x) = ln(g) ∙ g x gx
F(x) = +c
ln(g)
f (x) = e x f′(x) = e x F(x) = e x + c
[e a x+b]′ = a e a x+b [e 2 x ] = ½e 2 x + c
f (x) = ln(x a ) a F(x) = x ln(x) − x + c
f′(x) =
x
Pagina 5 van 28 Versie 4
 
ff
ff ff
