Bewegingsanalyse 2
Hoofdstuk 1 Inleiding concepten
Kinematica
Veranderingen in positie, snelheid en versnelling als functie van de tijd
Coördinatenstelsels en ISB conventie
Vectoren in 2D en 3D
Definities
Een vector bestaat uit een grootte en een richting van een lijn segment
hiermee kan een vector de mate van verandering van een eenheid aangeven.
Om onderscheid te maken tussen een scalaire eenheid (één getal) en een vector
gebruiken we voor de notatie van een vector een pijl boven de naam, i.e. v⃗
deze vector ⃗v bestaat uit 3 ruimtelijke dimensies:
e⃗ x , e⃗ y , e⃗ z zijn de basisvectoren
Basisvectoren hebben een richting langs de X, Y of Z-as en een lengte van
1.
Zo loopt e⃗ x van de oorsprong (0,0,0) naar punt (1,0,0)
e⃗ y van de oorsprong naar punt (0,1,0)
En e⃗ z van de oorsprong naar punt (0,0,1) in een Cartesisch
coördinatenstelsel
Een alternatieve manier om een vector te noteren is met 〈 〉 haken in deze
notatie worden de basisvectoren niet expliciet weergegeven.
De grootte van de vector ⃗v is de lengte van de lijn van de vector, dit is een
scalaire en kan als volgt berekend worden:
Plaatsvectoren en vectoren tussen punten
Een plaatsvector is de vector tussen de oorsprong O = (0,0,0) en een punt P =
(px, py, pz) en wordt gedefinieerd met behulp van de coördinaten van P:
,Een vector die loopt tussen een willekeurig punt A = (a x, ay, az) en een ander
willekeurig punt B = (bx, by, bz) wordt als volgt bepaalt:
Een vector bestaat uit een grootte en een richting, maar dit zegt niks over het
aangrijpingspunt van de vector (zie figuur 1.1).
Rekenen met vectoren: som, verschil en vermenigvuldigen
De som van vector 𝑐⃗ = 〈𝑐x ,𝑐y ,𝑐z 〉 en d⃗ = 〈𝑑x ,𝑑y ,𝑑z 〉 wordt berekent door:
Deze berekening kan worden weergegeven met een parallellogramregel (zie
figuur 1.2 – links).
Het verschil tussen twee vectoren 𝑐⃗ = 〈𝑐x ,𝑐y ,𝑐z 〉 en d⃗ = 〈𝑑x ,𝑑y ,𝑑z 〉 wordt berekent
door:
En is weergegeven aan de rechterzijde van figuur 1.2
Bij een scalaire vermenigvuldiging wordt een vector 𝑝⃗ vermenigvuldigd met een
constant k de uitkomst hiervan is een vector:
Hiermee wordt de lengte van de vector verandert, maar niet de richting.
Rekenen met vectoren: inwendig product en kruisproduct
Het inwendig product (dot product of scalair product) is een vermenigvuldiging
tussen twee vectoren 𝑐⃗ = 〈𝑐𝑥 ,𝑐𝑦 ,𝑐𝑧 〉 en d⃗ = 〈𝑑𝑥 ,𝑑𝑦 ,𝑑𝑧 〉 en is een scalaire eenheid:
Het kruisproduct is ook een vermenigvuldiging tussen twee vectoren maar heeft
als uitkomst, in tegenstelling tot het inwendig product, een derde vector deze
vector staat loodrecht op het vlak dat gevormd wordt door de 1 e en 2e vector, de
richting kan met de rechterhandregel worden bepaald.
Het kruisproduct van twee vectoren wordt als volgt berekent:
(vergelijking 1.10)
De grootte van het kruisproduct (een scalair) kan berekend worden door:
,
Kruisproduct voorbeeld:
Gebruik vectoren: toepassingen
Binnen de bewegingswetenschappen worden vectoren o.a. gebruikt bij inverse
kinematica, dynamische berekeningen maar ook om bijvoorbeeld krachten te
analyseren.
Een specifiek voorbeeld uit de inverse dynamica is het bepalen van het globale
en lokale coördinatenstelsel hierbij worden vectoren gebruikt om het lokale
coördinatenstelsel van het bovenbeen te definiëren, door het bepalen van de
basisvectoren ^I tigh , ^J thigh en k^ thigh dit zijn basisvectoren die gebruikmaken van de
markers op het pelvis en het bovenbeen samen met de coördinaten van het
rotatiepunt van het heupgewricht (dit laatste markerpunt kan bepaald worden
met regressievergelijkingen).
Een lokaal coördinatenstelsel kan bijvoorbeeld gebruikt worden voor het
berekenen van hoeken tussen lichaamsegmenten.
Ten tweede kunnen vectoren gebruikt worden bij het noteren van een kracht ⃗
F in
een lokaal coördinatenstelsel van een krachtplaat.
De lengte van de krachtvector kan bepaald worden door de grote van de
kracht ‖⃗
F ‖.
De richting van de krachtvector zijn de driecomponenten van ⃗
F = 〈𝐹x,
𝐹y,𝐹z〉.
Als derde voorbeeld, kunnen vectoren gebruikt worden om de kracht en richting
van in scapula uit te drukken.
Voorbeeld vectoren
Krachtvector op krachtplaat (grondreactiekracht)
Grondreactiekracht in 3 dimensies wordt gebruikt in ganganalyse.
Coördinatenstelsels
Een coördinatenstelsel is een referentiekader waarin een positie of hoek kan
worden gedefinieerd.
Een coördinatenstelsel bestaat uit één of meerdere rechte lijnen (assen) die
elkaar snijden in de oorsprong.
Een punt in het coördinatenstelsel wordt beschreven door middel van
coördinaten die de afstand en hoeken vanaf de oorsprong aanduiden.
Hoofdstuk 1 Inleiding concepten
Kinematica
Veranderingen in positie, snelheid en versnelling als functie van de tijd
Coördinatenstelsels en ISB conventie
Vectoren in 2D en 3D
Definities
Een vector bestaat uit een grootte en een richting van een lijn segment
hiermee kan een vector de mate van verandering van een eenheid aangeven.
Om onderscheid te maken tussen een scalaire eenheid (één getal) en een vector
gebruiken we voor de notatie van een vector een pijl boven de naam, i.e. v⃗
deze vector ⃗v bestaat uit 3 ruimtelijke dimensies:
e⃗ x , e⃗ y , e⃗ z zijn de basisvectoren
Basisvectoren hebben een richting langs de X, Y of Z-as en een lengte van
1.
Zo loopt e⃗ x van de oorsprong (0,0,0) naar punt (1,0,0)
e⃗ y van de oorsprong naar punt (0,1,0)
En e⃗ z van de oorsprong naar punt (0,0,1) in een Cartesisch
coördinatenstelsel
Een alternatieve manier om een vector te noteren is met 〈 〉 haken in deze
notatie worden de basisvectoren niet expliciet weergegeven.
De grootte van de vector ⃗v is de lengte van de lijn van de vector, dit is een
scalaire en kan als volgt berekend worden:
Plaatsvectoren en vectoren tussen punten
Een plaatsvector is de vector tussen de oorsprong O = (0,0,0) en een punt P =
(px, py, pz) en wordt gedefinieerd met behulp van de coördinaten van P:
,Een vector die loopt tussen een willekeurig punt A = (a x, ay, az) en een ander
willekeurig punt B = (bx, by, bz) wordt als volgt bepaalt:
Een vector bestaat uit een grootte en een richting, maar dit zegt niks over het
aangrijpingspunt van de vector (zie figuur 1.1).
Rekenen met vectoren: som, verschil en vermenigvuldigen
De som van vector 𝑐⃗ = 〈𝑐x ,𝑐y ,𝑐z 〉 en d⃗ = 〈𝑑x ,𝑑y ,𝑑z 〉 wordt berekent door:
Deze berekening kan worden weergegeven met een parallellogramregel (zie
figuur 1.2 – links).
Het verschil tussen twee vectoren 𝑐⃗ = 〈𝑐x ,𝑐y ,𝑐z 〉 en d⃗ = 〈𝑑x ,𝑑y ,𝑑z 〉 wordt berekent
door:
En is weergegeven aan de rechterzijde van figuur 1.2
Bij een scalaire vermenigvuldiging wordt een vector 𝑝⃗ vermenigvuldigd met een
constant k de uitkomst hiervan is een vector:
Hiermee wordt de lengte van de vector verandert, maar niet de richting.
Rekenen met vectoren: inwendig product en kruisproduct
Het inwendig product (dot product of scalair product) is een vermenigvuldiging
tussen twee vectoren 𝑐⃗ = 〈𝑐𝑥 ,𝑐𝑦 ,𝑐𝑧 〉 en d⃗ = 〈𝑑𝑥 ,𝑑𝑦 ,𝑑𝑧 〉 en is een scalaire eenheid:
Het kruisproduct is ook een vermenigvuldiging tussen twee vectoren maar heeft
als uitkomst, in tegenstelling tot het inwendig product, een derde vector deze
vector staat loodrecht op het vlak dat gevormd wordt door de 1 e en 2e vector, de
richting kan met de rechterhandregel worden bepaald.
Het kruisproduct van twee vectoren wordt als volgt berekent:
(vergelijking 1.10)
De grootte van het kruisproduct (een scalair) kan berekend worden door:
,
Kruisproduct voorbeeld:
Gebruik vectoren: toepassingen
Binnen de bewegingswetenschappen worden vectoren o.a. gebruikt bij inverse
kinematica, dynamische berekeningen maar ook om bijvoorbeeld krachten te
analyseren.
Een specifiek voorbeeld uit de inverse dynamica is het bepalen van het globale
en lokale coördinatenstelsel hierbij worden vectoren gebruikt om het lokale
coördinatenstelsel van het bovenbeen te definiëren, door het bepalen van de
basisvectoren ^I tigh , ^J thigh en k^ thigh dit zijn basisvectoren die gebruikmaken van de
markers op het pelvis en het bovenbeen samen met de coördinaten van het
rotatiepunt van het heupgewricht (dit laatste markerpunt kan bepaald worden
met regressievergelijkingen).
Een lokaal coördinatenstelsel kan bijvoorbeeld gebruikt worden voor het
berekenen van hoeken tussen lichaamsegmenten.
Ten tweede kunnen vectoren gebruikt worden bij het noteren van een kracht ⃗
F in
een lokaal coördinatenstelsel van een krachtplaat.
De lengte van de krachtvector kan bepaald worden door de grote van de
kracht ‖⃗
F ‖.
De richting van de krachtvector zijn de driecomponenten van ⃗
F = 〈𝐹x,
𝐹y,𝐹z〉.
Als derde voorbeeld, kunnen vectoren gebruikt worden om de kracht en richting
van in scapula uit te drukken.
Voorbeeld vectoren
Krachtvector op krachtplaat (grondreactiekracht)
Grondreactiekracht in 3 dimensies wordt gebruikt in ganganalyse.
Coördinatenstelsels
Een coördinatenstelsel is een referentiekader waarin een positie of hoek kan
worden gedefinieerd.
Een coördinatenstelsel bestaat uit één of meerdere rechte lijnen (assen) die
elkaar snijden in de oorsprong.
Een punt in het coördinatenstelsel wordt beschreven door middel van
coördinaten die de afstand en hoeken vanaf de oorsprong aanduiden.
