Universidad Nacional de Luján
Análisis Matemático I (Código 10022)
Derivadas: Proposiciones y Teoremas
Estudio de Funciones y otros temas vinculados a Derivadas
Algunos enunciados de interés
Algunos resultados (Proposiciones y Teoremas) que serán de utilidad a lo largo del Trabajo Práctico 10
(alguna de las propiedades enunciadas deberán ser demostradas como ejercicio)
En todas los enunciados en los que se mencionen criterios vinculados a los extremos de una función,
éstos serán extremos relativos. Es importante destacar que todo extremo absoluto es también un
extremo relativo, aunque no vale la afirmación recíproca (los extremos relativos no siempre se
constituyen en extremos absolutos).
Teorema (Fermat)
Si f es una función definida en el intervalo abierto (a, b), que en x0 ∈ (a, b) alcanza un extremo (máximo o
mínimo) y es derivable en x0, entonces f ′(x0) = 0.
Teorema (de Rolle)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), que además
verifica f (a) = f (b), entonces, existe c ∈ (a, b) para el cual vale f ′(c) = 0.
y
f
f ′(c) = 0
f (a) = f (b) Recta tangente horizontal en c
x
a c
b
Teorema (de Lagrange o del Valor Medio)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces,
existe c ∈ (a, b) para el cual vale .
y
f
L Recta tangente en c paralela a la recta L
f (b)
por (a; f (a)) y (b; f (b)), con pendiente
f (a) x
c
a b
1
Análisis Matemático I (Código 10022)
Derivadas: Proposiciones y Teoremas
Estudio de Funciones y otros temas vinculados a Derivadas
Algunos enunciados de interés
Algunos resultados (Proposiciones y Teoremas) que serán de utilidad a lo largo del Trabajo Práctico 10
(alguna de las propiedades enunciadas deberán ser demostradas como ejercicio)
En todas los enunciados en los que se mencionen criterios vinculados a los extremos de una función,
éstos serán extremos relativos. Es importante destacar que todo extremo absoluto es también un
extremo relativo, aunque no vale la afirmación recíproca (los extremos relativos no siempre se
constituyen en extremos absolutos).
Teorema (Fermat)
Si f es una función definida en el intervalo abierto (a, b), que en x0 ∈ (a, b) alcanza un extremo (máximo o
mínimo) y es derivable en x0, entonces f ′(x0) = 0.
Teorema (de Rolle)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), que además
verifica f (a) = f (b), entonces, existe c ∈ (a, b) para el cual vale f ′(c) = 0.
y
f
f ′(c) = 0
f (a) = f (b) Recta tangente horizontal en c
x
a c
b
Teorema (de Lagrange o del Valor Medio)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces,
existe c ∈ (a, b) para el cual vale .
y
f
L Recta tangente en c paralela a la recta L
f (b)
por (a; f (a)) y (b; f (b)), con pendiente
f (a) x
c
a b
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