Toegepaste mechanica en dynamica
Inleiding
Er zijn drie onderdelen die vallen binnen dit vak:
Mechanica: leer die zich bezighoudt met de rusttoestand/beweging van lichamen
die blootgesteld zijn aan krachten
Dynamica: versnelde beweging van een voorwerp
o Kinematica: behandelt de geometrische aspecten van de beweging
Positie, snelheid, versnelling
o Kinetica: analyse van de krachten die de beweging veroorzaken
Relatie tussen krachten en versnelling, snelheid
Statica: evenwicht van een voorwerp dat in rust is of met een constante snelheid
beweegt
Les 1: definities – translatie – rotatie om een vaste as
Vlakke beweging van een star lichaam
Enkele definities:
Puntdeeltje: een puntdeeltje heeft een massa, maar geen afmetingen of vorm
Star lichaam: een lichaam heeft massa, en ook afmetingen en een vorm. De
deeltjes van een star lichaam kunnen niet bewegen t.o.v. elkaar
Vlakke beweging: alle puntmassa’s van een lichaam volgen een baan die zich op
een zelfde afstand t.o.v. een vlak bevindt tijdens de hele beweging. We noemen
dit vlak het XY-vlak. De rotatie-as staat hier loodrecht op. Deze beweging kan
opgedeeld worden in drie soorten
o Translatie: rechtlijnig of kromlijnig
o Rotatie om een vaste as: wanneer een star lichaam roteert om een vaste
as, beschrijven alle deeltjes van het lichaam – behalve die die op de
rotatie-as liggen – een cirkelvormige baan. Het middelpunt van de cirkel
bevind zich op de rotatie-as
o Algemene vlakke beweging
Translatie
De positie wordt weergegeven als: ⃗
r B=⃗
r A +⃗
r B / A . Verder worden snelheid en versnelling
weergegeven als: ⃗ v B=⃗
v A en ⃗
a B=⃗
aA
Belangrijk is dat hierbij A en B tot hetzelfde lichaam behoren.
Rotatie om een vaste as
We gaan nu enkele bewegingen en begrippen definiëren voor de rotatie om
een vaste as.
Puntmassa versus star lichaam:
Een puntmassa heeft een massa, maar geen afmetingen. Een star lichaam
,heeft massa én afmetingen. Hierdoor kan het lichaam een hoekverdraaiing ondergaan –
een puntmassa niet.
Hoekstand, hoekverplaatsing:
θ is de hoek tussen een vaste referentielijn en de voerstraal r, en definieert de hoekstand
van r. dθ is de hoekverplaatsing, dat is de verandering van de hoekstand.
(rechterhandregel)
Hoeksnelheid:
De hoeksnelheid is de tijdsafgeleide van de hoekstand: ω=dθ / dt
Hoekversnelling:
De hoekversnelling is de tijdsafgeleide van de hoeksnelheid: α =dω / dt=d 2 θ / dt
Constante hoekversnelling:
Wanneer er een constante hoekversnelling is zijn volgende formules geldig:
1
ω=ω 0 +α c tθ=θ0 +ω 0 t + α c t 2ω 2=ω 20+ 2 α ( θ−θ 0 )
2
Beweging van een punt op het lichaam:
elk punt P op het roterende lichaam voert een cirkelbeweging
uit met het middelpunt O en straal r =OP
v=rω
a t=αra n=ω ² r Verder definiëren we de vectornotatie snelheid:
De snelheid van punt P kan bepaald worden d.m.v. het
vectorproduct. r⃗P loopt vanuit een willekeurig punt op de rotatie-as naar punt P
⃗v =⃗
ω×⃗
r P De normale en tangentiële componenten van de versnelling van P kunnen
bepaald worden d.m.v. volgende vectornotatie:
2
a⃗ =⃗
a t +⃗
an =⃗
α × ⃗r −ω r⃗
Tot slot bekijken we nog de contactpunten van twee
roterende lichamen:
- De snelheden
zijn gelijk
- De tangentiële
componenten van de versnelling zijn gelijk
- De normaalcomponenten van de
versnellingen zijn niet gelijk.
Les 2 – Relatieve beweging: snelheid
Analyse van de relatieve beweging: snelheid
Verband tussen de snelheden van twee punten op hetzelfde starre lichaam:
⃗
v B=⃗
v A +ω
⃗ × ⃗r B / A =⃗
v A + ⃗v B / A
Het verschil met de relatieve beweging van twee puntmassa’s via translerende assen:
positie: :⃗
r B=⃗
r A +⃗r B / A
, snelheid: ⃗
v B=⃗
v A + ⃗v B / A
versnelling: : ⃗
a B=⃗
a A + ⃗aB / A
Les 3 – Absolute beweging en ogenblikkelijk rotatiecentrum
Absolute beweging
Op een bepaald ogenblik heeft de cilinder met straal r een hoeksnelheid ω en een
hoekversnelling α . De snelheid en versnelling kunnen nu gegeven worden door:
vG =rωa G=rα
Ogenblikkelijk rotatiecentrum (OR)
Een ogenblikkelijk rotatiecentrum is handig doordat:
- alle andere punten van het voorwerp voeren ogenblikkelijk een cirkelbeweging uit rond
dit OR
- de snelheid van een willekeurig punt A van het voorwerp kan gevonden worden met de
formule voor cirkelbeweging, de richting van de snelheid staat loodrecht op r⃗ A /∨¿ ¿
OR vinden:
bij een star lichaam dat een vlakke beweging uitvoert, verschillend van zuivere translatie
kunnen we steeds een OR vinden. Je maakt een lijn loodrecht op de snelheidsvectoren
van twee punten, waar deze snijden bevindt zich het OR. Wanneer deze evenwijdig staan
is het OR het snijpunt van voorgaande lijn en de lijn die de eindes van de
snelheidsvectoren verbinden.
De poolbaan:
de verzameling van punten die OR zijn tijdens de beweging van een voorwerp, dus elk
punt van de poolvaan is even OR van het voorwerp
Belangrijke opmerkingen:
1. Het punt dat bepaald is als het OR van een voorwerp kan enkel gebruikt worden
voor dat ogenblik omdat het voorwerp een volgend ogenblik alweer een nieuwe
positie heeft
2. Alhoewel het OR goed kan gebruikt worden om de snelheid van een willekeurig
punt van het lichaam te bepalen, heeft het OR meestal een versnelling
verschillend van nul, en kan het daarom niet gebruikt worden om de versnelling
van de punten van het lichaam te bepalen
Les 4 – relatieve beweging: versnelling
Analyse van de relatieve beweging: versnelling
We vinden hier twee formules voor:
⃗ a A + (⃗
a B=⃗ aB / A ) t + (⃗
a B / A )n⃗
a B =⃗
aA+ ⃗
2
α × r⃗ B / A −ω r⃗ B / A
Belangrijke opmerking:
Alhoewel het OR goed kan gebruikt worden om de snelheid van een willekeurig punt van
het lichaam te bepalen, heeft het OR meestal een versnelling verschillend van nul, en kan
Inleiding
Er zijn drie onderdelen die vallen binnen dit vak:
Mechanica: leer die zich bezighoudt met de rusttoestand/beweging van lichamen
die blootgesteld zijn aan krachten
Dynamica: versnelde beweging van een voorwerp
o Kinematica: behandelt de geometrische aspecten van de beweging
Positie, snelheid, versnelling
o Kinetica: analyse van de krachten die de beweging veroorzaken
Relatie tussen krachten en versnelling, snelheid
Statica: evenwicht van een voorwerp dat in rust is of met een constante snelheid
beweegt
Les 1: definities – translatie – rotatie om een vaste as
Vlakke beweging van een star lichaam
Enkele definities:
Puntdeeltje: een puntdeeltje heeft een massa, maar geen afmetingen of vorm
Star lichaam: een lichaam heeft massa, en ook afmetingen en een vorm. De
deeltjes van een star lichaam kunnen niet bewegen t.o.v. elkaar
Vlakke beweging: alle puntmassa’s van een lichaam volgen een baan die zich op
een zelfde afstand t.o.v. een vlak bevindt tijdens de hele beweging. We noemen
dit vlak het XY-vlak. De rotatie-as staat hier loodrecht op. Deze beweging kan
opgedeeld worden in drie soorten
o Translatie: rechtlijnig of kromlijnig
o Rotatie om een vaste as: wanneer een star lichaam roteert om een vaste
as, beschrijven alle deeltjes van het lichaam – behalve die die op de
rotatie-as liggen – een cirkelvormige baan. Het middelpunt van de cirkel
bevind zich op de rotatie-as
o Algemene vlakke beweging
Translatie
De positie wordt weergegeven als: ⃗
r B=⃗
r A +⃗
r B / A . Verder worden snelheid en versnelling
weergegeven als: ⃗ v B=⃗
v A en ⃗
a B=⃗
aA
Belangrijk is dat hierbij A en B tot hetzelfde lichaam behoren.
Rotatie om een vaste as
We gaan nu enkele bewegingen en begrippen definiëren voor de rotatie om
een vaste as.
Puntmassa versus star lichaam:
Een puntmassa heeft een massa, maar geen afmetingen. Een star lichaam
,heeft massa én afmetingen. Hierdoor kan het lichaam een hoekverdraaiing ondergaan –
een puntmassa niet.
Hoekstand, hoekverplaatsing:
θ is de hoek tussen een vaste referentielijn en de voerstraal r, en definieert de hoekstand
van r. dθ is de hoekverplaatsing, dat is de verandering van de hoekstand.
(rechterhandregel)
Hoeksnelheid:
De hoeksnelheid is de tijdsafgeleide van de hoekstand: ω=dθ / dt
Hoekversnelling:
De hoekversnelling is de tijdsafgeleide van de hoeksnelheid: α =dω / dt=d 2 θ / dt
Constante hoekversnelling:
Wanneer er een constante hoekversnelling is zijn volgende formules geldig:
1
ω=ω 0 +α c tθ=θ0 +ω 0 t + α c t 2ω 2=ω 20+ 2 α ( θ−θ 0 )
2
Beweging van een punt op het lichaam:
elk punt P op het roterende lichaam voert een cirkelbeweging
uit met het middelpunt O en straal r =OP
v=rω
a t=αra n=ω ² r Verder definiëren we de vectornotatie snelheid:
De snelheid van punt P kan bepaald worden d.m.v. het
vectorproduct. r⃗P loopt vanuit een willekeurig punt op de rotatie-as naar punt P
⃗v =⃗
ω×⃗
r P De normale en tangentiële componenten van de versnelling van P kunnen
bepaald worden d.m.v. volgende vectornotatie:
2
a⃗ =⃗
a t +⃗
an =⃗
α × ⃗r −ω r⃗
Tot slot bekijken we nog de contactpunten van twee
roterende lichamen:
- De snelheden
zijn gelijk
- De tangentiële
componenten van de versnelling zijn gelijk
- De normaalcomponenten van de
versnellingen zijn niet gelijk.
Les 2 – Relatieve beweging: snelheid
Analyse van de relatieve beweging: snelheid
Verband tussen de snelheden van twee punten op hetzelfde starre lichaam:
⃗
v B=⃗
v A +ω
⃗ × ⃗r B / A =⃗
v A + ⃗v B / A
Het verschil met de relatieve beweging van twee puntmassa’s via translerende assen:
positie: :⃗
r B=⃗
r A +⃗r B / A
, snelheid: ⃗
v B=⃗
v A + ⃗v B / A
versnelling: : ⃗
a B=⃗
a A + ⃗aB / A
Les 3 – Absolute beweging en ogenblikkelijk rotatiecentrum
Absolute beweging
Op een bepaald ogenblik heeft de cilinder met straal r een hoeksnelheid ω en een
hoekversnelling α . De snelheid en versnelling kunnen nu gegeven worden door:
vG =rωa G=rα
Ogenblikkelijk rotatiecentrum (OR)
Een ogenblikkelijk rotatiecentrum is handig doordat:
- alle andere punten van het voorwerp voeren ogenblikkelijk een cirkelbeweging uit rond
dit OR
- de snelheid van een willekeurig punt A van het voorwerp kan gevonden worden met de
formule voor cirkelbeweging, de richting van de snelheid staat loodrecht op r⃗ A /∨¿ ¿
OR vinden:
bij een star lichaam dat een vlakke beweging uitvoert, verschillend van zuivere translatie
kunnen we steeds een OR vinden. Je maakt een lijn loodrecht op de snelheidsvectoren
van twee punten, waar deze snijden bevindt zich het OR. Wanneer deze evenwijdig staan
is het OR het snijpunt van voorgaande lijn en de lijn die de eindes van de
snelheidsvectoren verbinden.
De poolbaan:
de verzameling van punten die OR zijn tijdens de beweging van een voorwerp, dus elk
punt van de poolvaan is even OR van het voorwerp
Belangrijke opmerkingen:
1. Het punt dat bepaald is als het OR van een voorwerp kan enkel gebruikt worden
voor dat ogenblik omdat het voorwerp een volgend ogenblik alweer een nieuwe
positie heeft
2. Alhoewel het OR goed kan gebruikt worden om de snelheid van een willekeurig
punt van het lichaam te bepalen, heeft het OR meestal een versnelling
verschillend van nul, en kan het daarom niet gebruikt worden om de versnelling
van de punten van het lichaam te bepalen
Les 4 – relatieve beweging: versnelling
Analyse van de relatieve beweging: versnelling
We vinden hier twee formules voor:
⃗ a A + (⃗
a B=⃗ aB / A ) t + (⃗
a B / A )n⃗
a B =⃗
aA+ ⃗
2
α × r⃗ B / A −ω r⃗ B / A
Belangrijke opmerking:
Alhoewel het OR goed kan gebruikt worden om de snelheid van een willekeurig punt van
het lichaam te bepalen, heeft het OR meestal een versnelling verschillend van nul, en kan
