REKENEN-WISKUNDE IN DE PRAKTIJK: KERNINZICHTEN – GEBROKEN GETALLEN
Samenvatting hoofdstuk 5 t/m 8
HOOFDSTUK 5 VERHOUDINGEN P. 129 T/M 152
Met betrekking tot het domein verhoudingen verwerven kinderen het inzicht dat…
- Een verhouding een vergelijking aangeeft van aantallen, die naar voren komen in
getalsmatige, meet- of meetkundige aspecten van een situatie (KERNINZICHT 15).
- Een verhouding een relatief begrip is en een eindeloze reeks van gelijkwaardige
getallenparen vertegenwoordigt (KERNINZICHT 16).
Deze kerninzichten sluiten aan bij de kerndoelen 23 t/m 26:
- 23: De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken.
- 24: De leerlingen leren praktische en formele reken-wiskundige problemen op te
lossen en redeneringen helder weer te geven.
- 25: De leerlingen leren aanpakken bij het oplossen van reken-wiskundige problemen
te onderbouwen en leren oplossingen te beoordelen.
- 26: De leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen,
kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en
er in praktische situaties mee te rekenen.
Verhoudingen gebruik je om grootheden te vergelijken. Er is sprake van een evenredig
verband. Dit is goed weer te geven met verhoudingsgetallen: 10 : 20 = 15 : 30 = 1 : 2.
In Madurodam zijn alle lengtematen 25 keer zo klein als in werkelijkheid. Een huis van 40 cm
hoog is in werkelijkheid 10 meter hoog: 40 cm : 10 m = 40 cm : 1000 cm = 1 : 25 (schaal).
Kerninzicht 15 vergelijken tussen grootheden:
Ervaringen van kinderen op het gebied van meten en meetkunde leggen de basis voor het
denken in verhoudingen. Door het redeneren over al of niet gelijke verhoudingen in een
situatie worden kinderen zich bewust van het 'naar verhouding' zien of denken.
Ook het leren verwoorden dat twee figuren al of niet gelijkvormig zijn, bijvoorbeeld omdat
de lengten niet allemaal met dezelfde vergrotingsfactor zijn vergroot of verkleind, is
belangrijk bij de bewustwording van verhoudingen.
De verhoudingstabel is een belangrijk hulpmiddel bij verhoudingen (als denkmodel of
rekenmodel). Ook de dubbele getallenlijn kan helpen. Anders dan bij de verhoudingstabel
zijn hier de onderlinge afstanden zichtbaar gemaakt.
Aantal appels 1 2 4 8 16
= verhoudingstabel
Prijs €2 €4 €8 €16 €32
0 4 8 16 km
= dubbele getallenlijn
0 15 30 60 min
, Voor het rekenen met percentages kan de strook een handig model zijn. De totale strook
stelt 100% voor en staat dus voor €160. De vraag is hoeveel proces bij €64 hoort:
10% 40% 100%
€16 €64 €160
Het gaat erom dat de kinderen zich realiseren dat een systematische manier van noteren van
de getallenparen kan helpen de opgave te begrijpen en op te lossen. Uiteindelijk kan het
probleem op formeel niveau worden opgelost met de zogenoemde regel van drieën: er zijn
drie getallen gegeven (hier 64, 160 en 100) en de vierde wordt bepaald met de formule:
64 ×100 64 × 10 64
= = ×10=4 ×10=40(= kruistabel).
160 16 16
Kerninzicht 16 gelijkwaardige getallenparen:
Het begrip 'verhouding' is op twee manieren relatief:
- Allereerst betekent 15 : 1 (15 km/uur) niet alleen dat er 15 km gefietst wordt in één
uur; de verhouding 15 : 1 vertegenwoordigt alle getallenparen die daaraan
gelijkwaardig zijn: 30 : 2 = 45 : 3 = 50 : 3,5 etc.
- Ten tweede betekent een gemiddelde van 15 km/uur niet dat je continu met
dezelfde snelheid van 15 km/uur fietst. Soms haal je meer kilometers in een uur,
soms minder, maar over de totale afstand en afgerond is het gemiddelde 15 km/uur.
Dit inzicht verwerven kinderen ook. Dat kun je hieraan zien:
- Als een leerling weet dat je alsmaar kunt doorgaan met het zoeken naar
gelijkwaardige getallenparen van een verhouding.
- Als een leerling weet en kan verwoorden dat je een evenredigheid (gelijkheid van
verhoudingen) op verschillende manieren kunt benoemen of schrijven (1 op 4 = 2 op
8 of 1 : 4 = 2 : 8 of 1/4 = 2/8).
- Als een leerling een relatienetwerk heeft opgebouwd van overeenkomstige
getalrelaties (1 op 10 hoort bij 1/10, bij 0,1 en bij 10%, etc.).
- 15 km/u staat voor een gemiddelde snelheid in oneindig veel situaties: 15 km/u kan
evengoed betekenen: 30 km in 2 uur, 5 km in 20 min, 300 km in 20 uur enzovoort.
- Als een leerling in staat is een verhoudingscontext te 'vertalen' naar een
verhoudingstabel of dubbele getallenlijn.
- Als een leerling kan uitleggen waarom je in een verhoudingstabel de getallen van een
getallenpaar niet mag vermeerderen of verminderen met hetzelfde getal.
- Als een leerling de verhoudingstabel op correcte wijze kan gebruiken als denkmodel
en als rekenmodel (kladblaadje).
- Als een leerling verhoudingsgewijs kan vergelijken door te redeneren aan de hand
van een model (twee pakken hagelslag met een verschillend gewicht en een
verschillende prijs: welke is voordeliger? Dit uitrekenen met verhoudingstabel).
- Als een leerling een probleem als het voorgaande formeel kan oplossen.
- Als een leerling de vierde evenredige kan toepassen met de regel van drieën
(ongeveer drie op de vijf Nederlanders draagt een bril of lenzen, dat zijn ongeveer
3/5 x 17 miljoen mensen).
- Als een leerling in staat is niet-evenredige verbanden toe te passen (inzoomen van
een foto: vergrotingsfactor lengte is twee, vergrotingsfactor oppervlakte fotopapier is
vier).
Samenvatting hoofdstuk 5 t/m 8
HOOFDSTUK 5 VERHOUDINGEN P. 129 T/M 152
Met betrekking tot het domein verhoudingen verwerven kinderen het inzicht dat…
- Een verhouding een vergelijking aangeeft van aantallen, die naar voren komen in
getalsmatige, meet- of meetkundige aspecten van een situatie (KERNINZICHT 15).
- Een verhouding een relatief begrip is en een eindeloze reeks van gelijkwaardige
getallenparen vertegenwoordigt (KERNINZICHT 16).
Deze kerninzichten sluiten aan bij de kerndoelen 23 t/m 26:
- 23: De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken.
- 24: De leerlingen leren praktische en formele reken-wiskundige problemen op te
lossen en redeneringen helder weer te geven.
- 25: De leerlingen leren aanpakken bij het oplossen van reken-wiskundige problemen
te onderbouwen en leren oplossingen te beoordelen.
- 26: De leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen,
kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en
er in praktische situaties mee te rekenen.
Verhoudingen gebruik je om grootheden te vergelijken. Er is sprake van een evenredig
verband. Dit is goed weer te geven met verhoudingsgetallen: 10 : 20 = 15 : 30 = 1 : 2.
In Madurodam zijn alle lengtematen 25 keer zo klein als in werkelijkheid. Een huis van 40 cm
hoog is in werkelijkheid 10 meter hoog: 40 cm : 10 m = 40 cm : 1000 cm = 1 : 25 (schaal).
Kerninzicht 15 vergelijken tussen grootheden:
Ervaringen van kinderen op het gebied van meten en meetkunde leggen de basis voor het
denken in verhoudingen. Door het redeneren over al of niet gelijke verhoudingen in een
situatie worden kinderen zich bewust van het 'naar verhouding' zien of denken.
Ook het leren verwoorden dat twee figuren al of niet gelijkvormig zijn, bijvoorbeeld omdat
de lengten niet allemaal met dezelfde vergrotingsfactor zijn vergroot of verkleind, is
belangrijk bij de bewustwording van verhoudingen.
De verhoudingstabel is een belangrijk hulpmiddel bij verhoudingen (als denkmodel of
rekenmodel). Ook de dubbele getallenlijn kan helpen. Anders dan bij de verhoudingstabel
zijn hier de onderlinge afstanden zichtbaar gemaakt.
Aantal appels 1 2 4 8 16
= verhoudingstabel
Prijs €2 €4 €8 €16 €32
0 4 8 16 km
= dubbele getallenlijn
0 15 30 60 min
, Voor het rekenen met percentages kan de strook een handig model zijn. De totale strook
stelt 100% voor en staat dus voor €160. De vraag is hoeveel proces bij €64 hoort:
10% 40% 100%
€16 €64 €160
Het gaat erom dat de kinderen zich realiseren dat een systematische manier van noteren van
de getallenparen kan helpen de opgave te begrijpen en op te lossen. Uiteindelijk kan het
probleem op formeel niveau worden opgelost met de zogenoemde regel van drieën: er zijn
drie getallen gegeven (hier 64, 160 en 100) en de vierde wordt bepaald met de formule:
64 ×100 64 × 10 64
= = ×10=4 ×10=40(= kruistabel).
160 16 16
Kerninzicht 16 gelijkwaardige getallenparen:
Het begrip 'verhouding' is op twee manieren relatief:
- Allereerst betekent 15 : 1 (15 km/uur) niet alleen dat er 15 km gefietst wordt in één
uur; de verhouding 15 : 1 vertegenwoordigt alle getallenparen die daaraan
gelijkwaardig zijn: 30 : 2 = 45 : 3 = 50 : 3,5 etc.
- Ten tweede betekent een gemiddelde van 15 km/uur niet dat je continu met
dezelfde snelheid van 15 km/uur fietst. Soms haal je meer kilometers in een uur,
soms minder, maar over de totale afstand en afgerond is het gemiddelde 15 km/uur.
Dit inzicht verwerven kinderen ook. Dat kun je hieraan zien:
- Als een leerling weet dat je alsmaar kunt doorgaan met het zoeken naar
gelijkwaardige getallenparen van een verhouding.
- Als een leerling weet en kan verwoorden dat je een evenredigheid (gelijkheid van
verhoudingen) op verschillende manieren kunt benoemen of schrijven (1 op 4 = 2 op
8 of 1 : 4 = 2 : 8 of 1/4 = 2/8).
- Als een leerling een relatienetwerk heeft opgebouwd van overeenkomstige
getalrelaties (1 op 10 hoort bij 1/10, bij 0,1 en bij 10%, etc.).
- 15 km/u staat voor een gemiddelde snelheid in oneindig veel situaties: 15 km/u kan
evengoed betekenen: 30 km in 2 uur, 5 km in 20 min, 300 km in 20 uur enzovoort.
- Als een leerling in staat is een verhoudingscontext te 'vertalen' naar een
verhoudingstabel of dubbele getallenlijn.
- Als een leerling kan uitleggen waarom je in een verhoudingstabel de getallen van een
getallenpaar niet mag vermeerderen of verminderen met hetzelfde getal.
- Als een leerling de verhoudingstabel op correcte wijze kan gebruiken als denkmodel
en als rekenmodel (kladblaadje).
- Als een leerling verhoudingsgewijs kan vergelijken door te redeneren aan de hand
van een model (twee pakken hagelslag met een verschillend gewicht en een
verschillende prijs: welke is voordeliger? Dit uitrekenen met verhoudingstabel).
- Als een leerling een probleem als het voorgaande formeel kan oplossen.
- Als een leerling de vierde evenredige kan toepassen met de regel van drieën
(ongeveer drie op de vijf Nederlanders draagt een bril of lenzen, dat zijn ongeveer
3/5 x 17 miljoen mensen).
- Als een leerling in staat is niet-evenredige verbanden toe te passen (inzoomen van
een foto: vergrotingsfactor lengte is twee, vergrotingsfactor oppervlakte fotopapier is
vier).
