S1
Statistiek 2
ACADEMIEJAAR 2025-2026 AP HOGE SCHOOOL
,Inhoud
1) Inductieve statistiek in onderzoek ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.1 Wat is de bedoeling van statistiek? ...................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.2 De empirische cyclus ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.3 Het probleem van de inductieve statistiek ........................................................................................................................................................................................................................................................................... 5
1.4 Statistische significantie....................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5
1.5 Kansberekening ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5
1.6 Toetsen ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
1.7 Misbruik van statistiek ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
2) Kansverdeling en kansberekening ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7
2.1 Kansverdelingen .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 7
2.1.1 Gemiddelde van de kansverdeling: verwachte waarde ............................................................................................................................................................................................................................................. 8
2.1.2 Variantie van de kansverdeling ................................................................................................................................................................................................................................................................................ 8
2.2 De kansverdeling van het steekproefgemiddelde ................................................................................................................................................................................................................................................................. 9
2.2.1 Hoe kunnen we E(𝑋) schatten? .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 10
2.2.2 Hoe goed is onze schatting van E(𝑋)? ..................................................................................................................................................................................................................................................................... 10
2.2.3 De vorm van de steekproevenverdeling van het gemiddelde .................................................................................................................................................................................................................................. 10
2.2.4 Hoe groot is een steekproef die groot genoeg is..................................................................................................................................................................................................................................................... 11
2.3 Kansen berekenen in de steekproevenverdeling van het gemiddelde ................................................................................................................................................................................................................................. 11
3) Hypothesetoetsing en betrouwbaarheidsintervallen..................................................................................................................................................................................................................................................... 12
3.1 Betrouwbaarheidsintervallen ............................................................................................................................................................................................................................................................................................ 12
3.1.1 Wat is een betrouwbaarheidsinterval?................................................................................................................................................................................................................................................................... 12
3.1.2 Een betrouwbaarheidsinterval berekenen.............................................................................................................................................................................................................................................................. 13
3.2 Hypothesetoetsing ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 13
3.2.1 Hypotheses formuleren ......................................................................................................................................................................................................................................................................................... 13
3.2.3 Hypothesetoetsing in cijfers................................................................................................................................................................................................................................................................................... 14
3.2.4 Eenzijdig en tweezijdig toetsen .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 14
3.2.5 Kiezen tussen eenzijdig en tweezijdig..................................................................................................................................................................................................................................................................... 15
3.2.6 Toetsen met kritieke waarden................................................................................................................................................................................................................................................................................ 15
3.2.7 Onzekerheden bij hypothesetoetsing ..................................................................................................................................................................................................................................................................... 15
3.2.8 Effectgrootte ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 16
3.3 Parametrisch versus nonparametrisch toetsen................................................................................................................................................................................................................................................................... 16
3.4 Stappenplan in toetsen...................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 17
4) Toetsen voor één populatie ........................................................................................................................................................................................................................................................................................... 17
4.1 T-toets voor het gemiddelde – parametrisch ...................................................................................................................................................................................................................................................................... 17
4.1.1 Stap 1: toetsingssituatie – situatie voor gebruik t-toets .......................................................................................................................................................................................................................................... 18
4.1.2 Stap 2: Voorwaarden – voorwaarden voor gebruik t-toets ...................................................................................................................................................................................................................................... 18
4.1.3 Stap 3: Hypotheses - formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 18
4.1.4 Stap 4: toetsingsgrootheid – principe van de t-toets voor het gemiddelde .............................................................................................................................................................................................................. 19
4.1.5 Stap 5: beslissingsregels – beslissen of we H0 kunnen verwerpen ........................................................................................................................................................................................................................... 19
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 19
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 20
c. Kansen op type 1 en 2 fouten bij t-toets voor het gemiddelde .................................................................................................................................................................................................................. 20
4.1.6 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte van de t-toets ................................................................................................................................................................................................................................................ 21
4.1.7 Rapporteren over de t-toets voor het gemiddelde ................................................................................................................................................................................................................................................. 21
4.2 X²-toets voor frequenties – non-parametrisch.................................................................................................................................................................................................................................................................... 21
4.2.1 Stap 1: toetsingssituatie – situatie voor gebruik x²-toets ........................................................................................................................................................................................................................................ 21
4.2.2 Stap 2: voorwaarden – voorwaarden voor gebruik X²-toets .................................................................................................................................................................................................................................... 22
4.2.3 Stap 3: hypothesen – formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 22
4.2.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe van de X²-toets voor frequenties .................................................................................................................................................................................................................. 22
4.2.5 Stap 5: beslissingsregels – beslissen of we H0 kunnen verwerpen ........................................................................................................................................................................................................................... 22
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 23
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 23
4.2.6 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte van de X²-toets voor frequenties.................................................................................................................................................................................................................... 23
4.2.7 Stap 7: rapportage – rapporteren over de X²-toets voor frequenties....................................................................................................................................................................................................................... 23
5) Toetsen voor twee onafhankelijke populaties ............................................................................................................................................................................................................................................................... 24
5.1 T-toets voor twee onafhankelijke steekproeven – parametrisch ......................................................................................................................................................................................................................................... 24
5.1.1 Stap 1: toetsingssituatie – situatie voor gebruik t-toets voor twee onafh. steekproeven ......................................................................................................................................................................................... 24
5.1.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik T-toets voor 2 onafh. steekproeven .......................................................................................................................................................................................................... 24
5.1.3 Stap 3: hypothesen – formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 25
5.1.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe van de t-toets voor twee onafh. Steekproeven ............................................................................................................................................................................................. 25
a. T-waarde bij gelijke varianties ................................................................................................................................................................................................................................................................. 25
b. T-waarde bij ongelijke varianties ............................................................................................................................................................................................................................................................. 26
5.1.5 Bepalen van gelijke of ongelijke varianties ............................................................................................................................................................................................................................................................. 26
1
, a. Stap 3: hypotheses.................................................................................................................................................................................................................................................................................. 26
b. Stap 4: toetsingsgrootheid ...................................................................................................................................................................................................................................................................... 26
c. Stap 5: beslissingsregels ......................................................................................................................................................................................................................................................................... 27
5.1.6 Stap 5: beslissingsregels – beslissen of we H0 kunnen verwerpen............................................................................................................................................................................................................................ 27
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 27
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 27
5.1.7 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte van de t-toets voor twee onafh. steekproeven ............................................................................................................................................................................................... 28
5.1.8 Stap 7: rapportage – rappoteren over t-toets voor twee onafh. steekproeven ........................................................................................................................................................................................................ 28
5.1.9 Interpretatie SPSS.................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 29
5.2 Wilcoxon rank-sum toets – non-parametrisch .................................................................................................................................................................................................................................................................... 29
5.2.1 Stap 1: toetsingssituatie – situatie voor gebruik Wilcoxon rank-sum toets .............................................................................................................................................................................................................. 29
5.2.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik Wilcoxon rank-sum toets .......................................................................................................................................................................................................................... 29
5.2.3 Stap 3: hypothesen – formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 29
5.2.4 Stap 4: toetsingsgrootheid – principe van de Wilcoxon rank-sum toets................................................................................................................................................................................................................... 30
5.2.5 Stap 5: beslissingsregels – beslissen of we H0 kunnen verwerpen ........................................................................................................................................................................................................................... 30
5.2.6 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte van de Wilcoxon rank-sum toets .................................................................................................................................................................................................................... 31
5.2.7 Stap 7: rapportage – rapporteren over de Wilcoxon rank-sum toets ....................................................................................................................................................................................................................... 31
6) Toetsen voor twee afhankelijke populaties ................................................................................................................................................................................................................................................................... 32
6.1 T-toets voor twee afhankelijke steekproeven - parametrisch .............................................................................................................................................................................................................................................. 32
6.1.1 Stap 1: toetsingssituatie – situatie voor gebruik T-toets voor 2 afh. steekproeven................................................................................................................................................................................................... 32
6.1.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik T-toets voor 2 afh. steekproeven .............................................................................................................................................................................................................. 32
6.1.3 Stap 3: Hypotheses – formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 32
6.1.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe van de T-toets voor 2 afh. steekproeven ....................................................................................................................................................................................................... 32
6.1.5 Stap 5: Beslissingsregels – beslissen of we H0 kunnen verwerpen ........................................................................................................................................................................................................................... 33
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 33
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 33
6.1.6 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte van de t-toets voor 2 afh. steekproeven ......................................................................................................................................................................................................... 33
6.1.7 Stap 7: Rapportage – rapporteren over 2 afh. steekproeven ................................................................................................................................................................................................................................... 34
6.1.8 Interpretatie SPSS.................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 34
6.2 Wilcoxon signed-rank toets – non-parametrisch................................................................................................................................................................................................................................................................. 34
7) Toetsen voor meer dan twee populaties – variantieanalyses ........................................................................................................................................................................................................................................ 35
7.1 Eenwegs variantieanalyse .................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 35
7.1.1 Stap 1: Toetsingssituatie – situatie voor gebruik eenwegs variantieanalyse ............................................................................................................................................................................................................. 35
7.1.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik one-way ANOVA....................................................................................................................................................................................................................................... 35
7.1.3 Stap 3: Hypotheses – formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 35
7.1.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe v/d eenwegs variantieanalyse/ANOVA.......................................................................................................................................................................................................... 36
a. De between groups-variantie .................................................................................................................................................................................................................................................................. 37
b. De within groups-variantie...................................................................................................................................................................................................................................................................... 37
7.1.5 Stap 5: Beslissingsregels – beslissen of we H0 verwerpen........................................................................................................................................................................................................................................ 38
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 38
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 38
7.1.7 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte bij de one-way ANOVA................................................................................................................................................................................................................................... 38
7.1.6 Welke groepen verschillen nu van elkaar?.............................................................................................................................................................................................................................................................. 39
7.1.8 Stap 7: Rapportage – rapporteren over one-way ANOVA ........................................................................................................................................................................................................................................ 39
8) Toetsen voor het verband tussen twee variabelen ........................................................................................................................................................................................................................................................ 39
8.1 Pearson correlatietoets ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 40
8.1.1 Stap 1: toetsingssituatie – gebruik voor Pearson correlatietoets ............................................................................................................................................................................................................................. 40
8.1.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik pearson correlatietoets ............................................................................................................................................................................................................................ 40
8.1.3 Stap 3: Hypotheses – formuleren v/d hypotheses .................................................................................................................................................................................................................................................. 40
8.1.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe v/d Pearson correlatietoets .......................................................................................................................................................................................................................... 40
8.1.5 Stap 5: Beslissingsregels – Beslissen of we H0 kunnen verwerpen .......................................................................................................................................................................................................................... 41
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 41
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 41
8.1.6 Interpretatie van het verband ................................................................................................................................................................................................................................................................................ 41
8.1.7 Partiële correlatie ................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 42
8.1.8 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte bij de Pearson correlatie ................................................................................................................................................................................................................................ 42
8.1.9 Stap 7: Rapportage – rapporteren over de Pearson correlatie................................................................................................................................................................................................................................. 42
8.2 Rangcorrelatie van Spearman ............................................................................................................................................................................................................................................................................................ 42
8.2.1 Stap 1: toetsingssituatie – gebruik voor rangcorrelatie van Spearmann .................................................................................................................................................................................................................. 42
8.2.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik rangcorrelatie van Spearmann.................................................................................................................................................................................................................. 42
8.2.3 Stap 3: Hypotheses – formuleren v/d hypotheses .................................................................................................................................................................................................................................................. 42
8.2.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe v/d rangcorrelatie van Spearmann ............................................................................................................................................................................................................... 43
8.2.5 Stap 5: Beslissingsregels – Beslissen of we H0 kunnen verwerpen .......................................................................................................................................................................................................................... 43
c. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 43
d. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 43
8.2.6 Stap 6: Effectgrootte – effectgrootte bij de correlatietoets...................................................................................................................................................................................................................................... 44
2
, 8.2.7 Stap 7: Rapportage ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 44
8.3 𝜒2-toets voor kruistabellen .............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 44
8.3.1 Stap 1: toetsingssituatie – gebruik voor 𝜒2-toets voor kruistabellen....................................................................................................................................................................................................................... 44
8.3.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor 𝜒2-toets voor kruistabellen .................................................................................................................................................................................................................................. 44
8.3.3 Stap 3: Hypotheses – formuleren v/d hypotheses .................................................................................................................................................................................................................................................. 45
8.3.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe v/d 𝜒2-toets voor kruistabellen.................................................................................................................................................................................................................... 45
8.3.5 Stap 5: Beslissingsregels – Beslissen of we H0 kunnen verwerpen .......................................................................................................................................................................................................................... 45
e. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 45
f. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 45
8.3.6 Stap 6: Effectgrootte – effectgrootte bij de 𝜒2-toets voor kruistabellen .................................................................................................................................................................................................................. 46
8.3.7 Stap 7: Rapportage ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 46
9) Hoe kies je de juiste toets.............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 47
10) Basisprincipes kwalitatieve data-analyse ...................................................................................................................................................................................................................................................................... 48
10.1 Kwalitatief onderzoek ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 48
10.2 Vergelijking kwalitatieve versus kwantitatieve data-analyse ............................................................................................................................................................................................................................................. 48
10.3 Steekproef selecteren...................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 48
10.4 Kwalitatieve onderzoeksmethoden .................................................................................................................................................................................................................................................................................. 49
10.4.1 Observeren ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 49
10.4.2 Kwalitatieve survey .............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 49
10.5 Kwalitatieve data analyseren ........................................................................................................................................................................................................................................................................................... 49
10.5.1 In het bezit zijn van data ...................................................................................................................................................................................................................................................................................... 50
10.5.2 Wanneer de data geanalyseerd is ........................................................................................................................................................................................................................................................................ 51
10.6 Verhogen van de betrouwbaarheid van kwalitatieve data-analyse.................................................................................................................................................................................................................................... 51
10.7 Generalisatie van kwalitatieve onderzoeksresultaten ....................................................................................................................................................................................................................................................... 51
3
,Zie samenvatting statistiek 1!!!!!!!
1) Inductieve statistiek in onderzoek
1.1 Wat is de bedoeling van statistiek?
Statistiek => hulpmiddel bij empirisch onderzoek
Doel = alg. geldende uitspraken te doen over wetmatigheden i/d realiteit
1.2 De empirische cyclus
Vraagstelling/
probleemstelling
Conclusies Operationaliseren
trekken
Inductieve
steekproef
analyse
Beschrijvende
Gegevens
analyse
(statistiek 1) verzamelen
Vraagstelling/probleemstelling
= basis van onderzoek wil hier e. antwoord op geven
Operationaliseren
= variabelen meetbaar maken
Steekproef
Een steekproef trekken
Kan select en aselect zijn
Aselect: Alle leden = even grote kans om i/d steekproef terecht te komen.
Gegevens verzamelen
Doen zoals voorgeschreven tijdens operationalisering
Beschrijvende analyse
Kunnen al meerdere dingen berekenen = beperkt in:
Info over verbanden tss variabelen
Info over verschillen tss groepen
Inductieve analyse
4
,Nagaan of verschillen en verbanden uit onze data betekenisvol genoeg zijn => voor veronderstelling bredere
populatie op zelfde manier voordoen
Conclusies trekken
Maken obv de analyses
1.3 Het probleem van de inductieve statistiek
Inductieve statistiek: Betekenis v/d resultaten (beschrijvende statistiek) in verhouding met de populatie
Nooit 100% zekerheid over conclusies getrokken uit steekproeven!!
Belangrijk = weten hoe groot de onzekerheid is
Hoe groot de kans is dat de conclusies fout zijn
Mogelijke fouten in statistiek:
• Gebaseerd op steekproven
• Steekproef ≠ perfecte afspiegeling v/d populatie
• Mogelijkheid v. foutieve variatie
• Mogelijkheid v. toevallige meetfouten
1.4 Statistische significantie
Beslissen of verschil statistisch significant = obv hypothesetoetsing
Verschillen = zo groot ≠ meer kunnen wijten aan meetfouten of aan toeval
Variabiliteit: spreiding v/d verzamelde gegevens.
1.5 Kansberekening
= hulpmiddel bij hypothesetoetsing
Vertrekpunt kan nulhypothese zijn (=> er is geen verschil..)
Vb.: Katten tonen geen voorkeur te hebben voor voedsel.
Vraag: Hoe groot de kans is om vastgestelde verschillen tss beide groepen te observeren?
Kans = groot => geen uitz. Observatie gedaan -> vaststelling spreken de veronderstelling die werden
gemaakt ≠ tegen
Kans = klein => eerder wss om de eerder gevonden verschillen te observeren -> vaststellingen spreken
de veronderstellingen tegen!
5
,1.6 Toetsen
Mogelijkheid v. versch. toetsingssituaties
Vragen ook telkens versch. methoden om onderzoeksvraag op te lossen
1.7 Misbruik van statistiek
Mogelijke manieren van misbruik maken:
Onduidelijke steekproef
Gebrek aan context
Vb.: batterijen tot 5 keer langer meegaan. dan welke batterijen
Gebrekkige vragenlijstonderzoek
Vb.: vindt u dat de speeltuin properder moet? -ja => conclusie mensen willen hier meer
belastingen voor betalen klopt ≠!
Interne validiteit => laat het onderzoek toe om causale conclusies te trekken???
Interne validiteit: mate waarin we met e. onderzoeksontwerp causale conclusies kunnen trekken
over effect van OV op AV.
Vw interne validiteit:
o Effect v. OV op AV in voorspelde richting
o Oorzaak moet in tijd voorafgaan aan gevolg
o ≠ andere verklaringen voor gevonden verband
Alternatieve verklaringen uitsluiten = experimenteel onderzoek
Externe validiteit: Mate waarin resultaten v/h onderzoek gegeneraliseerd kunnen worden.
Kan over:
▪ Situaties => genoeg op dagelijkse situatie
▪ Methoden => zelfde resultaat met andere methode?
▪ Tijd => zelfde resultaat in andere periode
▪ Populaties => zelfde resultaat in andere populatie?
Randvw die belangrijk zijn bij statistisch onderzoek:
• Juiste methodologie
• Correcte onderzoeksopzet
• Correcte formulering in rapport
• Correcte vermelding variabelen
• …
6
,2) Kansverdeling en kansberekening
2.1 Kansverdelingen
Kans: de wss-heid om e. bep. gebeurtenis te observeren, uitgedrukt met e. getal tss 0 en 1
Kansverdeling = vorm v. frequentieverdeling is een soort nrm-verdeling
Soorten kansen berekenen:
• Hypothesetoetsing => puntschatting v. iets je wil een getal bekomen
≠ 100% zekerheid
• Betrouwbaarheidsintervallen => interval v. betrouwbare waarden rond de puntschatting
= grotere zekerheid dan puntschatting
Soorten uitkomsten:
o Uitkomst: 1 enkelvoudig resultaat
Vb.: de kans dat iemand e. IQ v. 110 heeft
o Uitkomstenruimte: verzameling v. alle mogelijke enkelvoudige uitkomsten
Vb.: mogelijke uitkomsten bij gooien v/e dobbelsteen
Kansverdeling: combo v. uitkomstenruimte met respectievelijke kansen, e. overzicht v. mogelijke waarden v/e
variabele (vb.: #ogen v/e dobbelsteen) en bijhorende kansen.
Vb.: 1 dobbelsteen
Verschil kans- & frequentieverdeling:
Frequentieverdeling Kansverdeling
Geobserveerde realiteit Hypothetische realiteit
Geeft de frequentie weer v. alle De kans op het voorkomen
geobserveerde waarden v/e Hoogte grafiek = grootte v/d kans
variabele
Hoogte grafiek = # observaties Beroep doen op theoretische
veronderstellingen
++ observaties = meer lijken op
theoretische kansverdeling
7
,Beschrijven v/d kansverdeling door:
Gemiddelde = verwachte waarde
Variantie
2.1.1 Gemiddelde van de kansverdeling: verwachte waarde
̅ 𝐤𝐚𝐧𝐬𝐛𝐞𝐫𝐞𝐤𝐞𝐧𝐢𝐧𝐠 = 𝐯𝐞𝐫𝐰𝐚𝐜𝐡𝐭𝐞 𝐰𝐚𝐚𝐫𝐝𝐞 = 𝐄(𝐱) = µ𝐱
𝐗
Gaat over hypothetische verdeling v. oneindige observaties gebruiken v. verwachte waarde
Berekenen verwachte waarde – alg. formule:
𝐤
𝐄(𝐱) = µ𝐱 = ∑ 𝐏(𝐗 = 𝐱 𝐢 ) = x1 . P(X = x1 ) + x2 . P(X = x2 ) + ⋯ + xk . P(X = xk )
𝐢=𝟏
k = # waarden waarvoor je de kans berekend # mogelijke uitkomsten van x
x1 = mogelijke waarden van x
P = bijhorende kans voor de waarde x1
Vb. de verwachte waarde bij het gooien van een dobbelsteen. (gemiddelde waarde)
1 1 1 1 1 1
E(X) = µx = ( . 1) + ( . 2) + ( . 3) + ( . 4) + ( . 5) + ( . 6) = 3,5
6 6 6 6 6 6
2.1.2 Variantie van de kansverdeling
Variantie en standaarddeviatie van die kansverdeling = gelijkaardig als bij frequentieverdeling
Variantie:
De theoretische, klassieke berekening:
𝐤
𝛔𝟐𝐱 = ∑ 𝐏(𝐗 = 𝐱 𝐢 ). (𝐱 𝐢 − µ𝐱 )𝟐
𝐢=𝟏
xi = een mogelijke waarde van X
µx = verwachte waarde
P(X=xi) = de kans dat X die waarde aanneemt
Op basis van data uit de steekproef:
𝐤
(𝐱 𝐢 − µ𝐱 )²
𝛔𝟐𝐱 = ∑
𝐍
𝐢=𝟏
N = totaal # waarnemingen/populatie
Standaarddeviatie:
𝜎𝑥 = √𝛔𝟐𝐱
8
, 2.2 De kansverdeling van het steekproefgemiddelde
Bepaalde soort kansverdeling = kansverdeling van het steekproefgemiddelde ≈ steekproevenverdeling van het
gemiddelde
= e. steekproef verdeeld in oneindig ∞ andere steekproeven en daar gemiddelden van genomen.
Steekproevenverdeling v/h gemiddelde wat afleiden:
Extreme gemiddelden komen niet vaak voor => heeft minder extreme waarden dan de originele verdeling
Hoe groot de kans is om e. gem. binnen e. bep. range te observeren bij trekken v/e steekproef
Eigenschappen v/deze verdeling:
❖ Wnr oorspronkelijk verdeling v. variabele ≠ nrm verdeeld is, zal de verdeling v/d steekproefgemiddelden
bij benadering nrm verdeeld zijn.
Onder vw dat: veel steekproeven nemen en elke steekproef = groot genoeg (N ≥ 30)
Vb.:
9
Statistiek 2
ACADEMIEJAAR 2025-2026 AP HOGE SCHOOOL
,Inhoud
1) Inductieve statistiek in onderzoek ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.1 Wat is de bedoeling van statistiek? ...................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.2 De empirische cyclus ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 4
1.3 Het probleem van de inductieve statistiek ........................................................................................................................................................................................................................................................................... 5
1.4 Statistische significantie....................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5
1.5 Kansberekening ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 5
1.6 Toetsen ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
1.7 Misbruik van statistiek ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 6
2) Kansverdeling en kansberekening ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 7
2.1 Kansverdelingen .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 7
2.1.1 Gemiddelde van de kansverdeling: verwachte waarde ............................................................................................................................................................................................................................................. 8
2.1.2 Variantie van de kansverdeling ................................................................................................................................................................................................................................................................................ 8
2.2 De kansverdeling van het steekproefgemiddelde ................................................................................................................................................................................................................................................................. 9
2.2.1 Hoe kunnen we E(𝑋) schatten? .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 10
2.2.2 Hoe goed is onze schatting van E(𝑋)? ..................................................................................................................................................................................................................................................................... 10
2.2.3 De vorm van de steekproevenverdeling van het gemiddelde .................................................................................................................................................................................................................................. 10
2.2.4 Hoe groot is een steekproef die groot genoeg is..................................................................................................................................................................................................................................................... 11
2.3 Kansen berekenen in de steekproevenverdeling van het gemiddelde ................................................................................................................................................................................................................................. 11
3) Hypothesetoetsing en betrouwbaarheidsintervallen..................................................................................................................................................................................................................................................... 12
3.1 Betrouwbaarheidsintervallen ............................................................................................................................................................................................................................................................................................ 12
3.1.1 Wat is een betrouwbaarheidsinterval?................................................................................................................................................................................................................................................................... 12
3.1.2 Een betrouwbaarheidsinterval berekenen.............................................................................................................................................................................................................................................................. 13
3.2 Hypothesetoetsing ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 13
3.2.1 Hypotheses formuleren ......................................................................................................................................................................................................................................................................................... 13
3.2.3 Hypothesetoetsing in cijfers................................................................................................................................................................................................................................................................................... 14
3.2.4 Eenzijdig en tweezijdig toetsen .............................................................................................................................................................................................................................................................................. 14
3.2.5 Kiezen tussen eenzijdig en tweezijdig..................................................................................................................................................................................................................................................................... 15
3.2.6 Toetsen met kritieke waarden................................................................................................................................................................................................................................................................................ 15
3.2.7 Onzekerheden bij hypothesetoetsing ..................................................................................................................................................................................................................................................................... 15
3.2.8 Effectgrootte ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 16
3.3 Parametrisch versus nonparametrisch toetsen................................................................................................................................................................................................................................................................... 16
3.4 Stappenplan in toetsen...................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 17
4) Toetsen voor één populatie ........................................................................................................................................................................................................................................................................................... 17
4.1 T-toets voor het gemiddelde – parametrisch ...................................................................................................................................................................................................................................................................... 17
4.1.1 Stap 1: toetsingssituatie – situatie voor gebruik t-toets .......................................................................................................................................................................................................................................... 18
4.1.2 Stap 2: Voorwaarden – voorwaarden voor gebruik t-toets ...................................................................................................................................................................................................................................... 18
4.1.3 Stap 3: Hypotheses - formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 18
4.1.4 Stap 4: toetsingsgrootheid – principe van de t-toets voor het gemiddelde .............................................................................................................................................................................................................. 19
4.1.5 Stap 5: beslissingsregels – beslissen of we H0 kunnen verwerpen ........................................................................................................................................................................................................................... 19
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 19
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 20
c. Kansen op type 1 en 2 fouten bij t-toets voor het gemiddelde .................................................................................................................................................................................................................. 20
4.1.6 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte van de t-toets ................................................................................................................................................................................................................................................ 21
4.1.7 Rapporteren over de t-toets voor het gemiddelde ................................................................................................................................................................................................................................................. 21
4.2 X²-toets voor frequenties – non-parametrisch.................................................................................................................................................................................................................................................................... 21
4.2.1 Stap 1: toetsingssituatie – situatie voor gebruik x²-toets ........................................................................................................................................................................................................................................ 21
4.2.2 Stap 2: voorwaarden – voorwaarden voor gebruik X²-toets .................................................................................................................................................................................................................................... 22
4.2.3 Stap 3: hypothesen – formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 22
4.2.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe van de X²-toets voor frequenties .................................................................................................................................................................................................................. 22
4.2.5 Stap 5: beslissingsregels – beslissen of we H0 kunnen verwerpen ........................................................................................................................................................................................................................... 22
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 23
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 23
4.2.6 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte van de X²-toets voor frequenties.................................................................................................................................................................................................................... 23
4.2.7 Stap 7: rapportage – rapporteren over de X²-toets voor frequenties....................................................................................................................................................................................................................... 23
5) Toetsen voor twee onafhankelijke populaties ............................................................................................................................................................................................................................................................... 24
5.1 T-toets voor twee onafhankelijke steekproeven – parametrisch ......................................................................................................................................................................................................................................... 24
5.1.1 Stap 1: toetsingssituatie – situatie voor gebruik t-toets voor twee onafh. steekproeven ......................................................................................................................................................................................... 24
5.1.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik T-toets voor 2 onafh. steekproeven .......................................................................................................................................................................................................... 24
5.1.3 Stap 3: hypothesen – formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 25
5.1.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe van de t-toets voor twee onafh. Steekproeven ............................................................................................................................................................................................. 25
a. T-waarde bij gelijke varianties ................................................................................................................................................................................................................................................................. 25
b. T-waarde bij ongelijke varianties ............................................................................................................................................................................................................................................................. 26
5.1.5 Bepalen van gelijke of ongelijke varianties ............................................................................................................................................................................................................................................................. 26
1
, a. Stap 3: hypotheses.................................................................................................................................................................................................................................................................................. 26
b. Stap 4: toetsingsgrootheid ...................................................................................................................................................................................................................................................................... 26
c. Stap 5: beslissingsregels ......................................................................................................................................................................................................................................................................... 27
5.1.6 Stap 5: beslissingsregels – beslissen of we H0 kunnen verwerpen............................................................................................................................................................................................................................ 27
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 27
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 27
5.1.7 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte van de t-toets voor twee onafh. steekproeven ............................................................................................................................................................................................... 28
5.1.8 Stap 7: rapportage – rappoteren over t-toets voor twee onafh. steekproeven ........................................................................................................................................................................................................ 28
5.1.9 Interpretatie SPSS.................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 29
5.2 Wilcoxon rank-sum toets – non-parametrisch .................................................................................................................................................................................................................................................................... 29
5.2.1 Stap 1: toetsingssituatie – situatie voor gebruik Wilcoxon rank-sum toets .............................................................................................................................................................................................................. 29
5.2.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik Wilcoxon rank-sum toets .......................................................................................................................................................................................................................... 29
5.2.3 Stap 3: hypothesen – formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 29
5.2.4 Stap 4: toetsingsgrootheid – principe van de Wilcoxon rank-sum toets................................................................................................................................................................................................................... 30
5.2.5 Stap 5: beslissingsregels – beslissen of we H0 kunnen verwerpen ........................................................................................................................................................................................................................... 30
5.2.6 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte van de Wilcoxon rank-sum toets .................................................................................................................................................................................................................... 31
5.2.7 Stap 7: rapportage – rapporteren over de Wilcoxon rank-sum toets ....................................................................................................................................................................................................................... 31
6) Toetsen voor twee afhankelijke populaties ................................................................................................................................................................................................................................................................... 32
6.1 T-toets voor twee afhankelijke steekproeven - parametrisch .............................................................................................................................................................................................................................................. 32
6.1.1 Stap 1: toetsingssituatie – situatie voor gebruik T-toets voor 2 afh. steekproeven................................................................................................................................................................................................... 32
6.1.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik T-toets voor 2 afh. steekproeven .............................................................................................................................................................................................................. 32
6.1.3 Stap 3: Hypotheses – formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 32
6.1.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe van de T-toets voor 2 afh. steekproeven ....................................................................................................................................................................................................... 32
6.1.5 Stap 5: Beslissingsregels – beslissen of we H0 kunnen verwerpen ........................................................................................................................................................................................................................... 33
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 33
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 33
6.1.6 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte van de t-toets voor 2 afh. steekproeven ......................................................................................................................................................................................................... 33
6.1.7 Stap 7: Rapportage – rapporteren over 2 afh. steekproeven ................................................................................................................................................................................................................................... 34
6.1.8 Interpretatie SPSS.................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 34
6.2 Wilcoxon signed-rank toets – non-parametrisch................................................................................................................................................................................................................................................................. 34
7) Toetsen voor meer dan twee populaties – variantieanalyses ........................................................................................................................................................................................................................................ 35
7.1 Eenwegs variantieanalyse .................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 35
7.1.1 Stap 1: Toetsingssituatie – situatie voor gebruik eenwegs variantieanalyse ............................................................................................................................................................................................................. 35
7.1.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik one-way ANOVA....................................................................................................................................................................................................................................... 35
7.1.3 Stap 3: Hypotheses – formuleren van de hypotheses ............................................................................................................................................................................................................................................. 35
7.1.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe v/d eenwegs variantieanalyse/ANOVA.......................................................................................................................................................................................................... 36
a. De between groups-variantie .................................................................................................................................................................................................................................................................. 37
b. De within groups-variantie...................................................................................................................................................................................................................................................................... 37
7.1.5 Stap 5: Beslissingsregels – beslissen of we H0 verwerpen........................................................................................................................................................................................................................................ 38
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 38
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 38
7.1.7 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte bij de one-way ANOVA................................................................................................................................................................................................................................... 38
7.1.6 Welke groepen verschillen nu van elkaar?.............................................................................................................................................................................................................................................................. 39
7.1.8 Stap 7: Rapportage – rapporteren over one-way ANOVA ........................................................................................................................................................................................................................................ 39
8) Toetsen voor het verband tussen twee variabelen ........................................................................................................................................................................................................................................................ 39
8.1 Pearson correlatietoets ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 40
8.1.1 Stap 1: toetsingssituatie – gebruik voor Pearson correlatietoets ............................................................................................................................................................................................................................. 40
8.1.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik pearson correlatietoets ............................................................................................................................................................................................................................ 40
8.1.3 Stap 3: Hypotheses – formuleren v/d hypotheses .................................................................................................................................................................................................................................................. 40
8.1.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe v/d Pearson correlatietoets .......................................................................................................................................................................................................................... 40
8.1.5 Stap 5: Beslissingsregels – Beslissen of we H0 kunnen verwerpen .......................................................................................................................................................................................................................... 41
a. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 41
b. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 41
8.1.6 Interpretatie van het verband ................................................................................................................................................................................................................................................................................ 41
8.1.7 Partiële correlatie ................................................................................................................................................................................................................................................................................................. 42
8.1.8 Stap 6: effectgrootte – effectgrootte bij de Pearson correlatie ................................................................................................................................................................................................................................ 42
8.1.9 Stap 7: Rapportage – rapporteren over de Pearson correlatie................................................................................................................................................................................................................................. 42
8.2 Rangcorrelatie van Spearman ............................................................................................................................................................................................................................................................................................ 42
8.2.1 Stap 1: toetsingssituatie – gebruik voor rangcorrelatie van Spearmann .................................................................................................................................................................................................................. 42
8.2.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor gebruik rangcorrelatie van Spearmann.................................................................................................................................................................................................................. 42
8.2.3 Stap 3: Hypotheses – formuleren v/d hypotheses .................................................................................................................................................................................................................................................. 42
8.2.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe v/d rangcorrelatie van Spearmann ............................................................................................................................................................................................................... 43
8.2.5 Stap 5: Beslissingsregels – Beslissen of we H0 kunnen verwerpen .......................................................................................................................................................................................................................... 43
c. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 43
d. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 43
8.2.6 Stap 6: Effectgrootte – effectgrootte bij de correlatietoets...................................................................................................................................................................................................................................... 44
2
, 8.2.7 Stap 7: Rapportage ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 44
8.3 𝜒2-toets voor kruistabellen .............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 44
8.3.1 Stap 1: toetsingssituatie – gebruik voor 𝜒2-toets voor kruistabellen....................................................................................................................................................................................................................... 44
8.3.2 Stap 2: Voorwaarden – vw voor 𝜒2-toets voor kruistabellen .................................................................................................................................................................................................................................. 44
8.3.3 Stap 3: Hypotheses – formuleren v/d hypotheses .................................................................................................................................................................................................................................................. 45
8.3.4 Stap 4: Toetsingsgrootheid – principe v/d 𝜒2-toets voor kruistabellen.................................................................................................................................................................................................................... 45
8.3.5 Stap 5: Beslissingsregels – Beslissen of we H0 kunnen verwerpen .......................................................................................................................................................................................................................... 45
e. Overschrijdingskansen ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 45
f. Kritieke waarden .................................................................................................................................................................................................................................................................................... 45
8.3.6 Stap 6: Effectgrootte – effectgrootte bij de 𝜒2-toets voor kruistabellen .................................................................................................................................................................................................................. 46
8.3.7 Stap 7: Rapportage ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 46
9) Hoe kies je de juiste toets.............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 47
10) Basisprincipes kwalitatieve data-analyse ...................................................................................................................................................................................................................................................................... 48
10.1 Kwalitatief onderzoek ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 48
10.2 Vergelijking kwalitatieve versus kwantitatieve data-analyse ............................................................................................................................................................................................................................................. 48
10.3 Steekproef selecteren...................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 48
10.4 Kwalitatieve onderzoeksmethoden .................................................................................................................................................................................................................................................................................. 49
10.4.1 Observeren ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 49
10.4.2 Kwalitatieve survey .............................................................................................................................................................................................................................................................................................. 49
10.5 Kwalitatieve data analyseren ........................................................................................................................................................................................................................................................................................... 49
10.5.1 In het bezit zijn van data ...................................................................................................................................................................................................................................................................................... 50
10.5.2 Wanneer de data geanalyseerd is ........................................................................................................................................................................................................................................................................ 51
10.6 Verhogen van de betrouwbaarheid van kwalitatieve data-analyse.................................................................................................................................................................................................................................... 51
10.7 Generalisatie van kwalitatieve onderzoeksresultaten ....................................................................................................................................................................................................................................................... 51
3
,Zie samenvatting statistiek 1!!!!!!!
1) Inductieve statistiek in onderzoek
1.1 Wat is de bedoeling van statistiek?
Statistiek => hulpmiddel bij empirisch onderzoek
Doel = alg. geldende uitspraken te doen over wetmatigheden i/d realiteit
1.2 De empirische cyclus
Vraagstelling/
probleemstelling
Conclusies Operationaliseren
trekken
Inductieve
steekproef
analyse
Beschrijvende
Gegevens
analyse
(statistiek 1) verzamelen
Vraagstelling/probleemstelling
= basis van onderzoek wil hier e. antwoord op geven
Operationaliseren
= variabelen meetbaar maken
Steekproef
Een steekproef trekken
Kan select en aselect zijn
Aselect: Alle leden = even grote kans om i/d steekproef terecht te komen.
Gegevens verzamelen
Doen zoals voorgeschreven tijdens operationalisering
Beschrijvende analyse
Kunnen al meerdere dingen berekenen = beperkt in:
Info over verbanden tss variabelen
Info over verschillen tss groepen
Inductieve analyse
4
,Nagaan of verschillen en verbanden uit onze data betekenisvol genoeg zijn => voor veronderstelling bredere
populatie op zelfde manier voordoen
Conclusies trekken
Maken obv de analyses
1.3 Het probleem van de inductieve statistiek
Inductieve statistiek: Betekenis v/d resultaten (beschrijvende statistiek) in verhouding met de populatie
Nooit 100% zekerheid over conclusies getrokken uit steekproeven!!
Belangrijk = weten hoe groot de onzekerheid is
Hoe groot de kans is dat de conclusies fout zijn
Mogelijke fouten in statistiek:
• Gebaseerd op steekproven
• Steekproef ≠ perfecte afspiegeling v/d populatie
• Mogelijkheid v. foutieve variatie
• Mogelijkheid v. toevallige meetfouten
1.4 Statistische significantie
Beslissen of verschil statistisch significant = obv hypothesetoetsing
Verschillen = zo groot ≠ meer kunnen wijten aan meetfouten of aan toeval
Variabiliteit: spreiding v/d verzamelde gegevens.
1.5 Kansberekening
= hulpmiddel bij hypothesetoetsing
Vertrekpunt kan nulhypothese zijn (=> er is geen verschil..)
Vb.: Katten tonen geen voorkeur te hebben voor voedsel.
Vraag: Hoe groot de kans is om vastgestelde verschillen tss beide groepen te observeren?
Kans = groot => geen uitz. Observatie gedaan -> vaststelling spreken de veronderstelling die werden
gemaakt ≠ tegen
Kans = klein => eerder wss om de eerder gevonden verschillen te observeren -> vaststellingen spreken
de veronderstellingen tegen!
5
,1.6 Toetsen
Mogelijkheid v. versch. toetsingssituaties
Vragen ook telkens versch. methoden om onderzoeksvraag op te lossen
1.7 Misbruik van statistiek
Mogelijke manieren van misbruik maken:
Onduidelijke steekproef
Gebrek aan context
Vb.: batterijen tot 5 keer langer meegaan. dan welke batterijen
Gebrekkige vragenlijstonderzoek
Vb.: vindt u dat de speeltuin properder moet? -ja => conclusie mensen willen hier meer
belastingen voor betalen klopt ≠!
Interne validiteit => laat het onderzoek toe om causale conclusies te trekken???
Interne validiteit: mate waarin we met e. onderzoeksontwerp causale conclusies kunnen trekken
over effect van OV op AV.
Vw interne validiteit:
o Effect v. OV op AV in voorspelde richting
o Oorzaak moet in tijd voorafgaan aan gevolg
o ≠ andere verklaringen voor gevonden verband
Alternatieve verklaringen uitsluiten = experimenteel onderzoek
Externe validiteit: Mate waarin resultaten v/h onderzoek gegeneraliseerd kunnen worden.
Kan over:
▪ Situaties => genoeg op dagelijkse situatie
▪ Methoden => zelfde resultaat met andere methode?
▪ Tijd => zelfde resultaat in andere periode
▪ Populaties => zelfde resultaat in andere populatie?
Randvw die belangrijk zijn bij statistisch onderzoek:
• Juiste methodologie
• Correcte onderzoeksopzet
• Correcte formulering in rapport
• Correcte vermelding variabelen
• …
6
,2) Kansverdeling en kansberekening
2.1 Kansverdelingen
Kans: de wss-heid om e. bep. gebeurtenis te observeren, uitgedrukt met e. getal tss 0 en 1
Kansverdeling = vorm v. frequentieverdeling is een soort nrm-verdeling
Soorten kansen berekenen:
• Hypothesetoetsing => puntschatting v. iets je wil een getal bekomen
≠ 100% zekerheid
• Betrouwbaarheidsintervallen => interval v. betrouwbare waarden rond de puntschatting
= grotere zekerheid dan puntschatting
Soorten uitkomsten:
o Uitkomst: 1 enkelvoudig resultaat
Vb.: de kans dat iemand e. IQ v. 110 heeft
o Uitkomstenruimte: verzameling v. alle mogelijke enkelvoudige uitkomsten
Vb.: mogelijke uitkomsten bij gooien v/e dobbelsteen
Kansverdeling: combo v. uitkomstenruimte met respectievelijke kansen, e. overzicht v. mogelijke waarden v/e
variabele (vb.: #ogen v/e dobbelsteen) en bijhorende kansen.
Vb.: 1 dobbelsteen
Verschil kans- & frequentieverdeling:
Frequentieverdeling Kansverdeling
Geobserveerde realiteit Hypothetische realiteit
Geeft de frequentie weer v. alle De kans op het voorkomen
geobserveerde waarden v/e Hoogte grafiek = grootte v/d kans
variabele
Hoogte grafiek = # observaties Beroep doen op theoretische
veronderstellingen
++ observaties = meer lijken op
theoretische kansverdeling
7
,Beschrijven v/d kansverdeling door:
Gemiddelde = verwachte waarde
Variantie
2.1.1 Gemiddelde van de kansverdeling: verwachte waarde
̅ 𝐤𝐚𝐧𝐬𝐛𝐞𝐫𝐞𝐤𝐞𝐧𝐢𝐧𝐠 = 𝐯𝐞𝐫𝐰𝐚𝐜𝐡𝐭𝐞 𝐰𝐚𝐚𝐫𝐝𝐞 = 𝐄(𝐱) = µ𝐱
𝐗
Gaat over hypothetische verdeling v. oneindige observaties gebruiken v. verwachte waarde
Berekenen verwachte waarde – alg. formule:
𝐤
𝐄(𝐱) = µ𝐱 = ∑ 𝐏(𝐗 = 𝐱 𝐢 ) = x1 . P(X = x1 ) + x2 . P(X = x2 ) + ⋯ + xk . P(X = xk )
𝐢=𝟏
k = # waarden waarvoor je de kans berekend # mogelijke uitkomsten van x
x1 = mogelijke waarden van x
P = bijhorende kans voor de waarde x1
Vb. de verwachte waarde bij het gooien van een dobbelsteen. (gemiddelde waarde)
1 1 1 1 1 1
E(X) = µx = ( . 1) + ( . 2) + ( . 3) + ( . 4) + ( . 5) + ( . 6) = 3,5
6 6 6 6 6 6
2.1.2 Variantie van de kansverdeling
Variantie en standaarddeviatie van die kansverdeling = gelijkaardig als bij frequentieverdeling
Variantie:
De theoretische, klassieke berekening:
𝐤
𝛔𝟐𝐱 = ∑ 𝐏(𝐗 = 𝐱 𝐢 ). (𝐱 𝐢 − µ𝐱 )𝟐
𝐢=𝟏
xi = een mogelijke waarde van X
µx = verwachte waarde
P(X=xi) = de kans dat X die waarde aanneemt
Op basis van data uit de steekproef:
𝐤
(𝐱 𝐢 − µ𝐱 )²
𝛔𝟐𝐱 = ∑
𝐍
𝐢=𝟏
N = totaal # waarnemingen/populatie
Standaarddeviatie:
𝜎𝑥 = √𝛔𝟐𝐱
8
, 2.2 De kansverdeling van het steekproefgemiddelde
Bepaalde soort kansverdeling = kansverdeling van het steekproefgemiddelde ≈ steekproevenverdeling van het
gemiddelde
= e. steekproef verdeeld in oneindig ∞ andere steekproeven en daar gemiddelden van genomen.
Steekproevenverdeling v/h gemiddelde wat afleiden:
Extreme gemiddelden komen niet vaak voor => heeft minder extreme waarden dan de originele verdeling
Hoe groot de kans is om e. gem. binnen e. bep. range te observeren bij trekken v/e steekproef
Eigenschappen v/deze verdeling:
❖ Wnr oorspronkelijk verdeling v. variabele ≠ nrm verdeeld is, zal de verdeling v/d steekproefgemiddelden
bij benadering nrm verdeeld zijn.
Onder vw dat: veel steekproeven nemen en elke steekproef = groot genoeg (N ≥ 30)
Vb.:
9
