Mathematik Modellierung und Rekonstruktion von Funktionen - Mathe Abitur Lernzettel
Modellierung und Rekonstruktion von Ganzrationalen
- und e - Funktionen - Lineare Gleichungssysteme,
Grenzwerte, Modellierung, Prozesse bei e -
Funktionen, Rekonstruktion von Beständen
Allgemeine Informationen
Fach: Mathematik
Themengebiet: Modellierung und Rekonstruktion von Funktionen
Schulform: Gymnasium
Klassenstufe: Abitur (Oberstufe)
Inhalt: Kompaktes, prüfungsorientiertes Lernskript mit allen
relevanten Themen, Rechenwegen und Beispielaufgaben zur
Vorbereitung auf das Mathematikabitur.
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,Mathematik Modellierung und Rekonstruktion von Funktionen - Mathe Abitur Lernzettel
Inhaltsverzeichnis
1. Lineare Gleichungssysteme
1.1 Definition & Struktur
1.2 Lösungsverfahren: Gleichsetzungs-, Einsetzungs-, Additionsverfahren
1.3 Lösen von Textgleichungen
2. Grenzwerte
2.1 Definition & Bedeutung
2.2 Berechnung bei ganzrationalen und e-Funktionen
2.3 Verhalten im Unendlichen, rechts-/linksseitige Grenzwerte
3. Einfluss von Parametern
3.1 bei ganzrationalen Funktionen
3.2 bei e-Funktionen
3.3 Skizzieren von e-Funktionen
4. Modellierung von Funktionen
4.1 Aufbau von einer Modellierungsgleichung
4.2 Modellierung mit e-Funktionen
5. Prozesse bei e-Funktionen
5.1 Begriffe & Problemtypen (Wachstumsrate, Maximalbestand etc.)
5.2 Funktionsgleichung & Anwendung
6. Rekonstruktion von Beständen
6.1 bei ganzrationalen Funktionen (Integrationsanwendungen & Beispiele)
6.2 bei e-Funktionen (Integrationsanwendungen & Beispiele)
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1. Lineare Gleichungssysteme
1. Definition von linearen Gleichungssystemen:
Eine Gleichung, die sich auf ax + by = c bringen lässt, heißt lineare Gleichung. Löst man sie nach y auf,
erhält man eine lineare Funktionsgleichung y = mx + n. Zudem bestehen lineare Gleichungssysteme
aus mindestens zwei linearen Gleichungen und aus mindestens zwei unbekannten Variablen.
2. Lösungsverfahren von linearen Gleichungssystemen:
1. Gleichsetzungsverfahren:
1. Löse beide Gleichungen nach derselben Variable auf
2. Setze die beiden erhaltenden Terme gleich
3. Löse die Gleichung, die nur noch eine Variable enthält
4. Setze die Lösung in eine der Ausgangsgleichungen ein und berechne die andere Variable
5. Mache die Probe, indem du x und y in beide Ausgangsgleichungen einsetzt
2. Einsetzungsverfahren:
1. Löse eine der Gleichungen nach einer Variable auf
2. Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein
3. Löse die erhaltende Gleichung, die nur noch eine Variable enthält
4. Setze die Lösung in eine der Ausgangsgleichungen ein und berechne die andere Variable
5. Mache die Probe, indem du x und y in beide Ausgangsgleichungen einsetzt
3. Additionsverfahren:
1. Multipliziere die Gleichung mit einer Zahl, sodass bei der Addition beider Gleichungen eine
Variable wegfällt
2. Addiere die beiden Gleichungen
3. Setze die Lösung in eine der Ausgangsgleichungen ein und berechne die andere Variable
4. Mache die Probe, indem du x und y in beide Ausgangsgleichungen einsetzt
3. Lösen von Textgleichungen mit zwei Unbekannten:
1. Schritt: Festlegen der Variable x und y
2. Schritt: Gleichungen I und II aufstellen
3. Schritt: Gleichungssystem nach einem geeigneten Verfahren lösen
4. Schritt: Probe am Text
5. Schritt: Antwortsatz
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2. Grenzwerte
1. Grenzwerte von Funktionen:
Definition:
Der Grenzwert von Funktionen (auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik denjenigen
Wert, welchem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert ein
Grenzwert, so konvergiert die Funktion, anderenfalls divergiert sie.
Aufbau einer Grenzwert Formel:
Für den Grenzwert gilt: lim f (x) = c
x -> c
Beschreibung:
1. lim = Limes steht für den Grenzwert, was denjenigen Wert, bezeichnet welchem sich die Funktion
in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert, doch nie berührt.
2. c = Der Grenzwert, welchem sich x immer weiter annähert, aber nie erreicht.
3. x = Die variable, deren Wert sich immer weiter an c annähert.
4. f (x) = Funktion deren Grenzwert gesucht werden soll.
Die Arten von Grenzwerten:
-Besitzt eine Folge einen reellen Grenzwert, so heißt sie konvergent
-Besitzt eine Folge keinen reellen Grenzwert (z.B. lim = unendlich), so heißt sie divergent
Verhalten im Unendlichen:
Dabei kann der Graph:
-Steigen, dann hat er das Grenzverhalten +∞
-Sinken, dann hat er das Grenzverhalten −∞
-Konstant werden, dann hat er das konstante Grenzverhalten K
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Modellierung und Rekonstruktion von Ganzrationalen
- und e - Funktionen - Lineare Gleichungssysteme,
Grenzwerte, Modellierung, Prozesse bei e -
Funktionen, Rekonstruktion von Beständen
Allgemeine Informationen
Fach: Mathematik
Themengebiet: Modellierung und Rekonstruktion von Funktionen
Schulform: Gymnasium
Klassenstufe: Abitur (Oberstufe)
Inhalt: Kompaktes, prüfungsorientiertes Lernskript mit allen
relevanten Themen, Rechenwegen und Beispielaufgaben zur
Vorbereitung auf das Mathematikabitur.
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Inhaltsverzeichnis
1. Lineare Gleichungssysteme
1.1 Definition & Struktur
1.2 Lösungsverfahren: Gleichsetzungs-, Einsetzungs-, Additionsverfahren
1.3 Lösen von Textgleichungen
2. Grenzwerte
2.1 Definition & Bedeutung
2.2 Berechnung bei ganzrationalen und e-Funktionen
2.3 Verhalten im Unendlichen, rechts-/linksseitige Grenzwerte
3. Einfluss von Parametern
3.1 bei ganzrationalen Funktionen
3.2 bei e-Funktionen
3.3 Skizzieren von e-Funktionen
4. Modellierung von Funktionen
4.1 Aufbau von einer Modellierungsgleichung
4.2 Modellierung mit e-Funktionen
5. Prozesse bei e-Funktionen
5.1 Begriffe & Problemtypen (Wachstumsrate, Maximalbestand etc.)
5.2 Funktionsgleichung & Anwendung
6. Rekonstruktion von Beständen
6.1 bei ganzrationalen Funktionen (Integrationsanwendungen & Beispiele)
6.2 bei e-Funktionen (Integrationsanwendungen & Beispiele)
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1. Lineare Gleichungssysteme
1. Definition von linearen Gleichungssystemen:
Eine Gleichung, die sich auf ax + by = c bringen lässt, heißt lineare Gleichung. Löst man sie nach y auf,
erhält man eine lineare Funktionsgleichung y = mx + n. Zudem bestehen lineare Gleichungssysteme
aus mindestens zwei linearen Gleichungen und aus mindestens zwei unbekannten Variablen.
2. Lösungsverfahren von linearen Gleichungssystemen:
1. Gleichsetzungsverfahren:
1. Löse beide Gleichungen nach derselben Variable auf
2. Setze die beiden erhaltenden Terme gleich
3. Löse die Gleichung, die nur noch eine Variable enthält
4. Setze die Lösung in eine der Ausgangsgleichungen ein und berechne die andere Variable
5. Mache die Probe, indem du x und y in beide Ausgangsgleichungen einsetzt
2. Einsetzungsverfahren:
1. Löse eine der Gleichungen nach einer Variable auf
2. Setze den Term für diese Variable in die andere Gleichung ein
3. Löse die erhaltende Gleichung, die nur noch eine Variable enthält
4. Setze die Lösung in eine der Ausgangsgleichungen ein und berechne die andere Variable
5. Mache die Probe, indem du x und y in beide Ausgangsgleichungen einsetzt
3. Additionsverfahren:
1. Multipliziere die Gleichung mit einer Zahl, sodass bei der Addition beider Gleichungen eine
Variable wegfällt
2. Addiere die beiden Gleichungen
3. Setze die Lösung in eine der Ausgangsgleichungen ein und berechne die andere Variable
4. Mache die Probe, indem du x und y in beide Ausgangsgleichungen einsetzt
3. Lösen von Textgleichungen mit zwei Unbekannten:
1. Schritt: Festlegen der Variable x und y
2. Schritt: Gleichungen I und II aufstellen
3. Schritt: Gleichungssystem nach einem geeigneten Verfahren lösen
4. Schritt: Probe am Text
5. Schritt: Antwortsatz
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2. Grenzwerte
1. Grenzwerte von Funktionen:
Definition:
Der Grenzwert von Funktionen (auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik denjenigen
Wert, welchem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert ein
Grenzwert, so konvergiert die Funktion, anderenfalls divergiert sie.
Aufbau einer Grenzwert Formel:
Für den Grenzwert gilt: lim f (x) = c
x -> c
Beschreibung:
1. lim = Limes steht für den Grenzwert, was denjenigen Wert, bezeichnet welchem sich die Funktion
in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert, doch nie berührt.
2. c = Der Grenzwert, welchem sich x immer weiter annähert, aber nie erreicht.
3. x = Die variable, deren Wert sich immer weiter an c annähert.
4. f (x) = Funktion deren Grenzwert gesucht werden soll.
Die Arten von Grenzwerten:
-Besitzt eine Folge einen reellen Grenzwert, so heißt sie konvergent
-Besitzt eine Folge keinen reellen Grenzwert (z.B. lim = unendlich), so heißt sie divergent
Verhalten im Unendlichen:
Dabei kann der Graph:
-Steigen, dann hat er das Grenzverhalten +∞
-Sinken, dann hat er das Grenzverhalten −∞
-Konstant werden, dann hat er das konstante Grenzverhalten K
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