Mathematik für Physiker 1 Zusammenfassung

2 .
Die Kor
per Axiom



I .
Axiome der Addition


CAD Fier alle IR
Assoziativgesetz : x,y, z E
gilt

( X t
y) t 2 =
X t Cy t 2)


(A. 2) kommutativgesetz : Fir alle x , y E IR gilt

X t
y y t x
=




(A -
3) Existence der Null : Es
gibt eine Zahl O E IR , so dass



X t O = x Air alle X EIR


CA .
4) Existent des Negatives : Zu
jedem X EIR existiert eine Zahl -

X E IR ,
so dass



X t C
-
x ) =
O




II. Axiome der Multiplication


( M 1) .




Assoziativgesetz : Fitr alle x
, y, z E IR
gilt

(Xy) 2 =
X (yz)


(M .
2) Kommutativgesetz : Fier alle x
, y E IR
gilt

xy
=
y x




( M 3) Existent E ins Es ein Element I EIR l F O
-
der :
gibt , ,
so class


X I . =
x fir alle X E IR


(M 4) Existence des Inverses Zu jedem EIR
- '
E IR
: X Mit x to
gibt es ein x so dass
.



,




I
XX I
-


=




Ill .




Distributingesetz
(D) Fiir alle x
, y ,
2 E IR
gilt Xcyt 2) =
xytxz

, 3.
Anordnwngs Axiome
-




Anordnungs -
Axiome : In IR sind gewisse Element Als positiv Ausgleich net (x > o), so class folgende Axiom erhiutsind


(O D -
Triano tomie : Fir
je
des x
gilt genome eine der drei Beziehungen


X > 0 X =
O -
X > O
, ,




( O 2) Addition
.




Abgeschwssenheit gegeniiber

x > O und y > o x t
y > o




( O 3)
-




Abgeschwssenheit gegen iiber Multiplication

X > O und > O > 0
y xy




Definition :( Groper -

and Kleiner -

Relational) Fir reel le Zahler x , y detiniert man



x >
y x y > O
: -




X C
y > o
:
x
y
-




X 3 x > coder y
y y x
: =




x E
y
: x s
y oder x =
Y




Peano Axiom
-




(P D .
X * y V Cx) t v Cy) , d. h . Zwei verschiedene Element von N haben Auch verschiedene Nach folger



(P 2) O E V) H hat
.
v
,
d h - .
Kein Element von O als NaOh
folger

(P -
3) Inductions Axiom -

Sei M CH eine Teil
menge mit folgender Eigen Schatten

i) O E M


it) M vcx) M Dann M N
X E E
gilt
=




Satz l Der Absolut Betray IR hat folgender
:
in
Eigenschatten
-




a) Es ist 1×130 fir alle X E IR und


1×1 = 0 ⇐ x =
O




b) Multiple Kali Vita't
'




Ix yl =
txt .



ly I fir alle X , y EIR


c) Dreiedcs Ungleichung -




Ix t
yl E 1×1 t ly I fiir alle x, y EIR




Archi Medi sche Axiom :( Arch) Zu zwei reellen Zahler > O existent eine natiirliche Zahl mit
je x, y n nx > y
-




Satz 2 : ( Bernoulli scene
Unguichung) Sei x 3 I damn gilt
-




,




(I -

XY 3 It nx fir alle n E IN