LÖSUNGEN DER PROBEKLAUSUR MATHEMATIK I
Lösung 1.
a) Gozintograph.
b) Teilbedarfsmatrizen
0 1 und Gesamtbedarfsmatrix
0 1 M: 0 1
4 0 6 1 2 10 26
MRZ = @5 3 0A und MZE = @1 1A ergibt M = @ 8 13A.
0 4 5 1 3 9 19
c) Es werden
0 410 Rosen,
1 250 Tulpen und 325 Gerbera benötigt.
13 36
d) Mneu = @11 23A .
12 29
Lösung 2. a) ökonomisch sinnvoller Definitionsbereich: 0 x 6
b) Umsatz: E(x) = x · p(x) = 30x 5x2
c) max. Umsatz für x = 3 mit Emax = E(3) = 45.
d) G(x) = E(x) K(x) = 7x2 + 35x 200
Durchschnittskostenfunktion: k(x) = K(x)x = 2x 5 + 200x
e) Durchschnittskosten sind minimal für x = 10, das ist allerdings nicht mehr im
ökonomisch sinnvoller Definitionsbereich.
Im ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich zwischen x = 0 und x = 6 ist die
Durchschnittskostenfunktion streng monoton fallend, mit Minimum bei x = 6.
Lösung 3.
a) 0 x 21.
b) E(x) = 84x 4x2 .
c) ✏E,x (x) = 84 8x
84 4x und ✏E,x (5) = 0, 6875. Erhöht sich die Absatzmenge x um
1%, so steigt der Erlös näherungsweise um 0,69 %. (bzw. Der Erlös reagiert
auf dem Absatzmengenniveau von 5 ME unelastisch auf Veränderungen der
Absatzmenge.)
d) ✏E,x (x) = 32 = 1, 5.
Lösung 4.
1 p
a) Kx (x, y) = x+2y + 15 y, Ky (x, y) = x+2y
2 1
+ 10 · pxy
b) Die Kosten sinken näherungsweise um 0,066 Einheiten.
Lösung 5. a) fx = 4x3 6, 65x y fy = x 4y
fxx = 12x2 6, 65 fyy = 4 fxy = 1
b) Es gibt drei stationäre Punkte: P1 mit x1 = p410 , y1 = p110 ,
P2 mit x2 = p410 , y2 = p110 und P3 mit x3 = 0, y3 = 0.
c) Im Punkt P3 mit x0 = 0, y0 = 0 liegt ein Maximum, P1 und P2 sind keine Ex-
tremalpunkte, sondern Sattelpunkte.
1
Lösung 1.
a) Gozintograph.
b) Teilbedarfsmatrizen
0 1 und Gesamtbedarfsmatrix
0 1 M: 0 1
4 0 6 1 2 10 26
MRZ = @5 3 0A und MZE = @1 1A ergibt M = @ 8 13A.
0 4 5 1 3 9 19
c) Es werden
0 410 Rosen,
1 250 Tulpen und 325 Gerbera benötigt.
13 36
d) Mneu = @11 23A .
12 29
Lösung 2. a) ökonomisch sinnvoller Definitionsbereich: 0 x 6
b) Umsatz: E(x) = x · p(x) = 30x 5x2
c) max. Umsatz für x = 3 mit Emax = E(3) = 45.
d) G(x) = E(x) K(x) = 7x2 + 35x 200
Durchschnittskostenfunktion: k(x) = K(x)x = 2x 5 + 200x
e) Durchschnittskosten sind minimal für x = 10, das ist allerdings nicht mehr im
ökonomisch sinnvoller Definitionsbereich.
Im ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich zwischen x = 0 und x = 6 ist die
Durchschnittskostenfunktion streng monoton fallend, mit Minimum bei x = 6.
Lösung 3.
a) 0 x 21.
b) E(x) = 84x 4x2 .
c) ✏E,x (x) = 84 8x
84 4x und ✏E,x (5) = 0, 6875. Erhöht sich die Absatzmenge x um
1%, so steigt der Erlös näherungsweise um 0,69 %. (bzw. Der Erlös reagiert
auf dem Absatzmengenniveau von 5 ME unelastisch auf Veränderungen der
Absatzmenge.)
d) ✏E,x (x) = 32 = 1, 5.
Lösung 4.
1 p
a) Kx (x, y) = x+2y + 15 y, Ky (x, y) = x+2y
2 1
+ 10 · pxy
b) Die Kosten sinken näherungsweise um 0,066 Einheiten.
Lösung 5. a) fx = 4x3 6, 65x y fy = x 4y
fxx = 12x2 6, 65 fyy = 4 fxy = 1
b) Es gibt drei stationäre Punkte: P1 mit x1 = p410 , y1 = p110 ,
P2 mit x2 = p410 , y2 = p110 und P3 mit x3 = 0, y3 = 0.
c) Im Punkt P3 mit x0 = 0, y0 = 0 liegt ein Maximum, P1 und P2 sind keine Ex-
tremalpunkte, sondern Sattelpunkte.
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