Zusammenfassung Hesse‘sche Normalenform

Menschengemachten_ .




Eine Ebenen
gleichung der Form E :
(F -



Ä) -
= 0 mit dem Normalen einheitsvektor

heißt Hesse '
sehe Normalenform .




Satz : Für den Abstand d eines Punktes R ( r
,
/ r
,
/ r
}
) von der Ebene E
gilt :




d =/ IT F ) ü -
-




.




Ist a. × , azx + b eine Koordinaten
gleichung der Ebene E so
gilt
:
+
asx
=

,
} ,




b Ann b
91h +
azr , -19 r +
azr , -19 r -
-




, } , }

D= Oder : D=
< <

a.
z
/ ,
a. +
a. +




Bsp .
:




1. Bestimmen sie den Abstand d. Punktes R / 11612 ) von der Ebene E. :
Ü -




| ! ) f- § )
'
=
0



und Ez
:
×, -



2×2+4×3=1

Es :
1. Normalen einheitsvektor bestimmen :




=
(E) ;
in / =
FF =3



i. =

} -




E) =


( ;) ÷

Normalen einheitsvektor mit
2. + Punkt in Ebenen
gleichung Betrag einsetzen :




I KH ! ) -




E;) / =D



I I !) I ! ) -




.EE/t--fE).fE)l--l-z .




} + 4.
f) + z .




3) 1=9

Ez :
1 .
Alles auf eine Seite
bringen
:




Ez
:
1×1 -



2×2+4 ×
}
-
1 =
0


2.
Betrag des Normalen Vektors ausrechnen .




/ /
'
42
'
=
1 + ( 2) -
+
=
21


3. Punkt in Ebenen
gleichung einsetzen und durch tnt teilen ( mit Betrag )
:




1. 1- 2 .

6+4 '

2- 1
D= = 0,873
21