Mathe Leistungskurs
Kurvendiskussion
Nullstellen: f(x)= 0
2t2+ 7t+12=0 p-Formel, wenn zweimal dieselbe
Variable
16x-8x2+ 3x=0 Variable ausklammern
Schnittstelle der y-Achse/ Funktionswert; f(0)=…
Für jedes x/ jede Variable
Extrema
Notwendige Bedingung: f `(x)=0
Nach x auflösen
Hinreichende Bedingung: f ´´(x) ungleich 0
X in die zweite Ableitung einsetzen
Zahl>0 Tiefpunkt
Zahl<0 Hochpunkt
Zahl=0 möglicherweise Sattelpunkt VZW-Kriterium
neben der Funktion prüfen (x=1, dann 0 und 2)
von + zu – Hochpunkt (pos. Steigung, Graph
steigt, neg. Steigung, Graph fällt)
Von – zu + Tiefpunkt (neg. Steigung, Graph
fällt, pos. Steigung, Graph steigt)
Von –/+ zu -/+ Sattelpunkt (=Punkt,
an dem die Steigung 0 ist))
Wendestellen
Notwendige Bedingung: f `(x)=0
Nach x auflösen
Hinreichende Bedingung: f ´´(x) ungleich 0
X in die zweite Ableitung einsetzen
Zahl größer als 0= R-L-Wendestelle
Zahl kleiner als 0= L-R-Wendestelle
Grenzverhalten
Enegativer Exponent =0
Epositiver Exponent = + unendlich
E Funktionen dominieren immer! lim x +unendlich x2* e-x = 0
, Mathe Leistungskurs
Symmetrie überprüfen
Achsensymmetrisch zur y-Achse f(x)= f(-x) alle x-Werte werden
negativ
Punktsymmetrisch zum Ursprung f(-x) = - f(x) Vorzeichen in
der Funktion ändern
sich
Beispiel
F(x)= e0,5x-ex
F(-x)= e-0,5x-e-x weder punkt-noch
achsensymmetrisch
-f(x)= -e0,5x+ex
Tangenten-Gleichung aufstellen
T(x) = m*x + b P(x|y)
Mt= f`(x) gegebenen x-Wert in die erste Ableitung einsetzen
Ausgerechnete Steigung in t(x)= m*x+ b einsetzen, anschließend den
Punkt (x|y) einsetzen nach b auflösen und Gleichung aufstellen
Normalen-Gleichung aufstellen
N(x) = m*x + b P (x|y)
Mn= -1/f`(x) oder -1/mt
Ausgerechnete Steigung in n(x)= m*x+ b einsetzen, anschließend den
Punkt (x|y) einsetzen nach b auflösen und Gleichung aufstellen
Extremalprobleme
F(x)
1. Hauptbedingung meistens z.B. Flächeninhaltsformel A= a*b
2. Nebenbedingung A= a*b= x*y (für den y-Wert f(x)
einsetzen)
3. Ableitung der Formel bilden Extrema berechnen
Kurvendiskussion
Nullstellen: f(x)= 0
2t2+ 7t+12=0 p-Formel, wenn zweimal dieselbe
Variable
16x-8x2+ 3x=0 Variable ausklammern
Schnittstelle der y-Achse/ Funktionswert; f(0)=…
Für jedes x/ jede Variable
Extrema
Notwendige Bedingung: f `(x)=0
Nach x auflösen
Hinreichende Bedingung: f ´´(x) ungleich 0
X in die zweite Ableitung einsetzen
Zahl>0 Tiefpunkt
Zahl<0 Hochpunkt
Zahl=0 möglicherweise Sattelpunkt VZW-Kriterium
neben der Funktion prüfen (x=1, dann 0 und 2)
von + zu – Hochpunkt (pos. Steigung, Graph
steigt, neg. Steigung, Graph fällt)
Von – zu + Tiefpunkt (neg. Steigung, Graph
fällt, pos. Steigung, Graph steigt)
Von –/+ zu -/+ Sattelpunkt (=Punkt,
an dem die Steigung 0 ist))
Wendestellen
Notwendige Bedingung: f `(x)=0
Nach x auflösen
Hinreichende Bedingung: f ´´(x) ungleich 0
X in die zweite Ableitung einsetzen
Zahl größer als 0= R-L-Wendestelle
Zahl kleiner als 0= L-R-Wendestelle
Grenzverhalten
Enegativer Exponent =0
Epositiver Exponent = + unendlich
E Funktionen dominieren immer! lim x +unendlich x2* e-x = 0
, Mathe Leistungskurs
Symmetrie überprüfen
Achsensymmetrisch zur y-Achse f(x)= f(-x) alle x-Werte werden
negativ
Punktsymmetrisch zum Ursprung f(-x) = - f(x) Vorzeichen in
der Funktion ändern
sich
Beispiel
F(x)= e0,5x-ex
F(-x)= e-0,5x-e-x weder punkt-noch
achsensymmetrisch
-f(x)= -e0,5x+ex
Tangenten-Gleichung aufstellen
T(x) = m*x + b P(x|y)
Mt= f`(x) gegebenen x-Wert in die erste Ableitung einsetzen
Ausgerechnete Steigung in t(x)= m*x+ b einsetzen, anschließend den
Punkt (x|y) einsetzen nach b auflösen und Gleichung aufstellen
Normalen-Gleichung aufstellen
N(x) = m*x + b P (x|y)
Mn= -1/f`(x) oder -1/mt
Ausgerechnete Steigung in n(x)= m*x+ b einsetzen, anschließend den
Punkt (x|y) einsetzen nach b auflösen und Gleichung aufstellen
Extremalprobleme
F(x)
1. Hauptbedingung meistens z.B. Flächeninhaltsformel A= a*b
2. Nebenbedingung A= a*b= x*y (für den y-Wert f(x)
einsetzen)
3. Ableitung der Formel bilden Extrema berechnen
