-
ABLEITUNGEN -
1. SYMMETRIE
n
gerade n
ungerade
3+3×2
-
f- A) = ✗
symmetrisch
-
nur
gerade Exponenten →
achsen
^ B ^
7- DIFERRENZIERBARKEIT
•
1-
'
"' -3×2+6 ×
Steigung
= →
ungerade Exponenten punkt symmetrisch
→
+ • +• + es
nur
> >
eine differenzierbar
"
Funktion
linksseitige
→
-6×+6 ist
gerade Exponenten
t ">
Krümmung
•
& keine wenn der und
Symmetrie
= →
ungerade
→ ,
jeder
'"
f- ( ×> = -
o →
Krümmung>änderung rechtsseitige Grenzwert der
Steigung an Stelle identisch
fix) ist Also ; immer man die Funktion ohne Knick zeichnen
steigt we n n
> 0 → .
4. extremstellen
^
n
ka n n i st sie
differenzierbar
'
f- (✗3=0 →
keine
Steigung
+ es
"
,
NOTWENDIGE
an < 0 >
°
> BEDINGUNG
:
f- (x ) = 0
'
f-
(
( ✗ 3<0
fällt
→
0 für
as es
✗ EO
-
-
es
✗ = a ✗ = b
• •
°
^ < '
f (x ) = für ☐ < ✗ £1
links
"
0
f- ( x )
→
gekrümmt
>
2X für × > 1
HINREICHENDE
-
"
"
BEDINGUNG
:
f ( ) x # 0
f- (✗7=0 keine Krümmung
→
links rechts
f-
"
(x) < 0
gekrümmt
→
rechts
10 MATRIX y
-
KOORDINATE : x -
Werte i n f- (x ) einsetzen
him
¥10
'
f
'
.
✗ 1=0 f- A) = O (x) - 1
✗→ 0
¢ )
✗ ✗ ✗ ✗ fcx ) .
=
. . .
× × ×
f- ( ) ×
,
=
. .
him
¥71
.
' '
O O 1 a
✗ 2=1 f- A) = 1 f- (✗ 3=2
✗ → 1
→ eine Lösung
f. ) ⑦☒☒ YSI
✗ ✗ ✗ ✗ →
Funktion ist differenzierbar Werte sind
" """ " N
, we n n alle
gleich
✗ ✗ ×
O O O 1
NOTWENDIGE :
f- ( ×
) = 0
→ Ke i n e Lösung
BEDINGUNG
=>
Nix / 0 ) . Nzlx.IO)
× × × ×
9 ORTS KURVE
✗ ✗
= Kurve , au f der alle Extrema
liegen
O O O ° } '
fa A) =
× 3A ✗
Extrema berechnen
-
1. .
unendlich viele eine Funktion ist
stetig der
linksseitige
→ →
2. Extrema Konstante auflösen wenn und
% ist eine Konstante ,
7 nach ,
Lösung
Grenzwert der Stelle
STECKBRIEF deswegen wird sie nicht
3. in
Ausgangsfunktion einsetzen achtseitige Steigung an
jeder
aufgaben identisch ist Also ; wenn die Funktion eine Lücke
abgeleitet
.
K .
µ
hat ist sie nicht
→ die Kurvendiskussion i st dieselbe
Oder einen
Sprung ,
stetig .
Beschreibung Bedingung
(
1 für ✗ EO
f-(2)
-
berührt ✗ -
Achse an Stelle 2 = 0 Der Grad der Funktion ist
X für 0 < ✗E 1
f. ( × )
=
→ berührt ,
nicht schneidet ,
deswegen handelt
" "" " "
eine" "" " <
"
P"
für
'
✗
f (2)
☐ × ? ^
0 f
immer einen Kleiner
y.CN
=
, als die ,
E
Kleiner a l s ✗ ×
größer als ×
"
"
Sattelpunkt bei 51213) f- (2) =3 Anzahl der
gegebenen Bed .
links F- wert rechts
NOTWENDIGE "
# # # fx f-
'
bxbt
?
f (2) " :
(x ) 0
0
#h
=
= =>
f-A) =
+ dx +
BEDINGUNG
✗ 1=0 ein f-( X) = -1 f- (a) = -
y
him
f- (1) = 0
✗ → o ✗ → o
f- ( 23=0 die einsetzen
"
in
↳
Bedingungen Gleichung f- (X) ✗ e.
=
c × ,
= e
Wende 1- (x) : -4×+1 f- (3)
'
tangente
=
-4 ↳ Matrix ohne Variablen aufstellen HINREICHENDE '"
:
f- ( x) # 0
lim him
BEDINGUNG ✗ 2=1 f- ( ✗ 3=1 f- (1) =
1 FA) =p
" ✗ → , ✗ → ☐
Stelle 3 f ( 33=0 für Variablen info) einsetzen
Ergebnisse
an ↳
→
Wende tangente Wendepunkt
Tangente
:
am
,
wie Funktion
Tangente hat
gleiche Steigung
an der Stelle f- (3) = -
11
KOORDINATE : x Wer te in f- (x) einsetzen
→
Funktion i st
stetig we n n alle Wer te
gleich sind
y
,
- -
achsen
symmetrisch nur
gerade fcx . ) = . . .
Exponenten
f- ( ✗ 2) = . . .
?⃝
ABLEITUNGEN -
1. SYMMETRIE
n
gerade n
ungerade
3+3×2
-
f- A) = ✗
symmetrisch
-
nur
gerade Exponenten →
achsen
^ B ^
7- DIFERRENZIERBARKEIT
•
1-
'
"' -3×2+6 ×
Steigung
= →
ungerade Exponenten punkt symmetrisch
→
+ • +• + es
nur
> >
eine differenzierbar
"
Funktion
linksseitige
→
-6×+6 ist
gerade Exponenten
t ">
Krümmung
•
& keine wenn der und
Symmetrie
= →
ungerade
→ ,
jeder
'"
f- ( ×> = -
o →
Krümmung>änderung rechtsseitige Grenzwert der
Steigung an Stelle identisch
fix) ist Also ; immer man die Funktion ohne Knick zeichnen
steigt we n n
> 0 → .
4. extremstellen
^
n
ka n n i st sie
differenzierbar
'
f- (✗3=0 →
keine
Steigung
+ es
"
,
NOTWENDIGE
an < 0 >
°
> BEDINGUNG
:
f- (x ) = 0
'
f-
(
( ✗ 3<0
fällt
→
0 für
as es
✗ EO
-
-
es
✗ = a ✗ = b
• •
°
^ < '
f (x ) = für ☐ < ✗ £1
links
"
0
f- ( x )
→
gekrümmt
>
2X für × > 1
HINREICHENDE
-
"
"
BEDINGUNG
:
f ( ) x # 0
f- (✗7=0 keine Krümmung
→
links rechts
f-
"
(x) < 0
gekrümmt
→
rechts
10 MATRIX y
-
KOORDINATE : x -
Werte i n f- (x ) einsetzen
him
¥10
'
f
'
.
✗ 1=0 f- A) = O (x) - 1
✗→ 0
¢ )
✗ ✗ ✗ ✗ fcx ) .
=
. . .
× × ×
f- ( ) ×
,
=
. .
him
¥71
.
' '
O O 1 a
✗ 2=1 f- A) = 1 f- (✗ 3=2
✗ → 1
→ eine Lösung
f. ) ⑦☒☒ YSI
✗ ✗ ✗ ✗ →
Funktion ist differenzierbar Werte sind
" """ " N
, we n n alle
gleich
✗ ✗ ×
O O O 1
NOTWENDIGE :
f- ( ×
) = 0
→ Ke i n e Lösung
BEDINGUNG
=>
Nix / 0 ) . Nzlx.IO)
× × × ×
9 ORTS KURVE
✗ ✗
= Kurve , au f der alle Extrema
liegen
O O O ° } '
fa A) =
× 3A ✗
Extrema berechnen
-
1. .
unendlich viele eine Funktion ist
stetig der
linksseitige
→ →
2. Extrema Konstante auflösen wenn und
% ist eine Konstante ,
7 nach ,
Lösung
Grenzwert der Stelle
STECKBRIEF deswegen wird sie nicht
3. in
Ausgangsfunktion einsetzen achtseitige Steigung an
jeder
aufgaben identisch ist Also ; wenn die Funktion eine Lücke
abgeleitet
.
K .
µ
hat ist sie nicht
→ die Kurvendiskussion i st dieselbe
Oder einen
Sprung ,
stetig .
Beschreibung Bedingung
(
1 für ✗ EO
f-(2)
-
berührt ✗ -
Achse an Stelle 2 = 0 Der Grad der Funktion ist
X für 0 < ✗E 1
f. ( × )
=
→ berührt ,
nicht schneidet ,
deswegen handelt
" "" " "
eine" "" " <
"
P"
für
'
✗
f (2)
☐ × ? ^
0 f
immer einen Kleiner
y.CN
=
, als die ,
E
Kleiner a l s ✗ ×
größer als ×
"
"
Sattelpunkt bei 51213) f- (2) =3 Anzahl der
gegebenen Bed .
links F- wert rechts
NOTWENDIGE "
# # # fx f-
'
bxbt
?
f (2) " :
(x ) 0
0
#h
=
= =>
f-A) =
+ dx +
BEDINGUNG
✗ 1=0 ein f-( X) = -1 f- (a) = -
y
him
f- (1) = 0
✗ → o ✗ → o
f- ( 23=0 die einsetzen
"
in
↳
Bedingungen Gleichung f- (X) ✗ e.
=
c × ,
= e
Wende 1- (x) : -4×+1 f- (3)
'
tangente
=
-4 ↳ Matrix ohne Variablen aufstellen HINREICHENDE '"
:
f- ( x) # 0
lim him
BEDINGUNG ✗ 2=1 f- ( ✗ 3=1 f- (1) =
1 FA) =p
" ✗ → , ✗ → ☐
Stelle 3 f ( 33=0 für Variablen info) einsetzen
Ergebnisse
an ↳
→
Wende tangente Wendepunkt
Tangente
:
am
,
wie Funktion
Tangente hat
gleiche Steigung
an der Stelle f- (3) = -
11
KOORDINATE : x Wer te in f- (x) einsetzen
→
Funktion i st
stetig we n n alle Wer te
gleich sind
y
,
- -
achsen
symmetrisch nur
gerade fcx . ) = . . .
Exponenten
f- ( ✗ 2) = . . .
?⃝
