Stammfunktionen
Definition Stammfunktion
Sei f D IR eine Funktion Eine diffbare Funktion F D IR
heißt Stammfunktion von f wenn gilt
F KI fk Fx ED
Bemerkung Falls D I ein Intervall ist ist F bis auf
eine konstante eindeutig bestimmt
Denn wenn F und G beide Stammfkt von
f sind
dann
gilt f Gi Fi Gi f f
F G coast F Gt Coast
Definition unbestimmtes
Integral
Sei f I IR eine Funktion Dann heißtdieMenge aller Stammflet
von
f
unbestimmtes Integral und wird mit
Jfk dx FG C bezeichnet
Bsp 1
flut x hat die Stammfft Ei aber auch 2 412
Sx dx EI c
2
flutet feld exte
3 Isin x cost GeosG dx sin c
I Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung
Existenz einer Stammfkt Se IE IR ein Intervall a EF
f IR stetig
Dann
von f
ist F I IR FA
ff EHE eine Stammflet
, er
Berechnung des bestimmten
ktegrals Seif FIR stetig und
F eine Stamafkt von
f
Dann
gilt ff Hd FA FIS FG
Beweis
Erinnerung Mittelwertsatz der Integralrechnung
f IR stetig a b EI
zwischen a und b mit f G
Äffin
Dann
gibt es ein
acb und bea
giltfür
Fl ff f dt e z F A
fl
FEachder
oberenGrenze
F FA FÜHLE fügte
F A
E thy µ h
p Elfflfldftfladt ffladt
üää f stetig
F ist Stammfkt
f stetig von
f
und fällt dt ist Stammfat von f
FA fladt
für x a Flat
ff f dt c c FA
ffHatt Fla
für x b Fb Öfft dt Flat fflftet FIS Fla
Gfk d FAN FAT Fla
Definition Stammfunktion
Sei f D IR eine Funktion Eine diffbare Funktion F D IR
heißt Stammfunktion von f wenn gilt
F KI fk Fx ED
Bemerkung Falls D I ein Intervall ist ist F bis auf
eine konstante eindeutig bestimmt
Denn wenn F und G beide Stammfkt von
f sind
dann
gilt f Gi Fi Gi f f
F G coast F Gt Coast
Definition unbestimmtes
Integral
Sei f I IR eine Funktion Dann heißtdieMenge aller Stammflet
von
f
unbestimmtes Integral und wird mit
Jfk dx FG C bezeichnet
Bsp 1
flut x hat die Stammfft Ei aber auch 2 412
Sx dx EI c
2
flutet feld exte
3 Isin x cost GeosG dx sin c
I Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung
Existenz einer Stammfkt Se IE IR ein Intervall a EF
f IR stetig
Dann
von f
ist F I IR FA
ff EHE eine Stammflet
, er
Berechnung des bestimmten
ktegrals Seif FIR stetig und
F eine Stamafkt von
f
Dann
gilt ff Hd FA FIS FG
Beweis
Erinnerung Mittelwertsatz der Integralrechnung
f IR stetig a b EI
zwischen a und b mit f G
Äffin
Dann
gibt es ein
acb und bea
giltfür
Fl ff f dt e z F A
fl
FEachder
oberenGrenze
F FA FÜHLE fügte
F A
E thy µ h
p Elfflfldftfladt ffladt
üää f stetig
F ist Stammfkt
f stetig von
f
und fällt dt ist Stammfat von f
FA fladt
für x a Flat
ff f dt c c FA
ffHatt Fla
für x b Fb Öfft dt Flat fflftet FIS Fla
Gfk d FAN FAT Fla
