Analytische Geometrie Mathe LK Abitur – Zusammenfassung, 30 Aufgaben mit Lösungen & Formelblatt

M AT H E L K · A B I T U R -V O R B E R E I T U N G




Analytische
Geometrie
kompakt
Alle Formeln, Rechenwege und typischen Fehler. Mit 30 Aufgaben bis
Abitur-LK-Niveau und ausführlichen Lösungen.


24 Themen 30 Aufgaben Abitur-LK-Niveau


Schritt-für-Schritt-Lösungen 1-Seiten-Formelblatt




Inhalt

Teil 1 · Theorie: 24 Themen auf einen Blick ab S. 2

Teil 2 · Rechenschemata, Operatoren, Selbstkontrollen S. 8

Teil 3 · Aufgaben (Grundlagen, Anwendung, Abitur-LK) ab S. 10

Teil 4 · Lösungen ab S. 17

Teil 5 · Formelblatt für die letzte Wiederholung S. 24




So nutzt du das Heft: Erst Teil 1 lesen, dann die Aufgaben auf Papier rechnen und erst danach die Lösungen ansehen. Alle
Ergebnisse sind nachgerechnet. Inhalte und Schwierigkeit orientieren sich am Mathematik-Leistungskurs der gymnasialen
Oberstufe. Alle Aufgaben sind eigene Aufgaben.




Analytische Geometrie kompakt · Mathe LK

,Teil 1 · Theorie
Jedes Thema mit Formel, Merksätzen, einem Mini-Beispiel und dem häufigsten Fehler.



1 Punkte & Vektoren 3 Addition & Mittelpunkt

1
AB = b − a OM = 2
​ (a + b)

Punkt P (x1 ∣x2 ∣x3 ) hat den Ortsvektor p =
​ ​ ​ ​
Addieren und Subtrahieren immer
OP . koordinatenweise.
Verbindungsvektor: „Spitze minus Fuß“. Parallelogramm ABCD : AD = BC , also
OD = a + BC .
BEIS PIEL A(3∣ − 2∣1), B(−1∣4∣5) ⇒ AB =
−4 BEIS PIEL A(−2∣5∣1), B(4∣ − 1∣7) ⇒ M (1∣2∣4)
6
​ ​ ​




4
TYPIS CHER FEHLER Beim Parallelogramm die
Eckenreihenfolge ignoriert: ABCD heißt, die
TYPIS CHER FEHLER Reihenfolge vertauscht: a −
Ecken liegen der Reihe nach herum.
b liefert BA , also den Gegenvektor.




4 Vielfache
2 Betrag & Abstand

a=r⋅b
∣v ∣ = v12 + v22 + v32
​ ​ ​ ​




Vielfaches ⇔ alle Koordinaten liefern
Abstand zweier Punkte = ∣AB ∣. denselben Faktor r.
1
Einheitsvektor: v0 = ​



∣v ∣
​ v. Ein einziger abweichender Faktor reicht als
Gegenbeweis.
2
BEIS PIEL ​ ​4 ​ ​ ​ = 4 + 16 + 16 = 6 ​

3 −1
−4 BEIS PIEL −6
​ ​ ​
= −3 ⋅ ​2 ​ ​




9 −3
TYPIS CHER FEHLER Negative Koordinaten ohne
Klammer quadriert: −4 2 = −16 statt (−4)2 = 16 . TYPIS CHER FEHLER Nur zwei Koordinaten
geprüft und die dritte vergessen.




Analytische Geometrie kompakt · Mathe LK

, 5 Lineare Abhängigkeit 7 Skalarprodukt & Orthogonalität
2 Vektoren linear abhängig ⇔ kollinear
a ⋅ b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
(parallel).
​ ​ ​ ​ ​ ​




3 Vektoren linear abhängig ⇔ komplanar
Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor.
(liegen in einer Ebene).
a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0.
4 Vektoren im R3 sind immer linear
abhängig. 2 4
BEIS PIEL −3
​ ​ ​ ⋅ ​2 ​ ​ =8−6−2 =0→
−6 2 1 −2
BEIS PIEL ​3 ​ ​ = −3 ⋅ −1
​ ​ ​ → kollinear orthogonal
−12 4
TYPIS CHER FEHLER Skalarprodukt mit dem
TYPIS CHER FEHLER „Abhängig“ und Kreuzprodukt verwechselt.
„unabhängig“ verwechselt: Nur die triviale
Lösung heißt unabhängig.


8 Geradengleichung
6 LGS & Gauß-Verfahren
g : x=p+r⋅u

ra+ sb + tc = 0
p = Stützvektor, u = Richtungsvektor.
​




Nur r = s = t = 0 → linear unabhängig. Durch zwei Punkte: p = a, u = AB . ​




Nullzeile 0 = 0 → unendlich viele Lösungen 2 3
→ abhängig. BEIS PIEL g: x= ​1 ​ ​
+r⋅ 2
​ ​ ​




−1 2
Widerspruch wie 0 = 5 → keine Lösung.
Immer Probe in allen Gleichungen. TYPIS CHER FEHLER Den Ortsvektor b als
Richtungsvektor genommen statt AB .
BEIS PIEL Stufenform herstellen: mit Gleichung I
das x aus II und III eliminieren, dann rückwärts
einsetzen.

TYPIS CHER FEHLERProbe nur in zwei 9 Punktprobe
Gleichungen gemacht. Die dritte entscheidet oft
Punkt gleich Geradengleichung setzen, jede
alles.
Zeile nach r auflösen.
Überall gleiches r → Punkt liegt auf g .
Widerspruch → liegt nicht auf g .
Bei Ebenen in Koordinatenform: Punkt
einsetzen und prüfen, ob d herauskommt.

BEIS PIEL P (8∣5∣3): in allen drei Zeilen r = 2 →
P ∈g

TYPIS CHER FEHLER Nach der ersten Zeile
aufgehört.




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