Zusammenfassung - Mathematik

, Analysis
.
1 Funktionale Zusammenhänger
Nullstellen f(x) =- /ET a Polynomdivision
=
· : = 0 => X1 2 ,
-

->
↳ Ausklammern
Bsp .: f(x) 2x" 3x = -


Bsp .: f(x) = X 10x -

+ 17x + 28

↳ X(2x 3)
=
-
·
durch probieren :
x1 = -1
X1 =
2 (x -
18x + 17x +
28) (x 1) : + = x -
11x + 28
, 2, 3


x4 = 1, 5 -
(x3 +
x4)
↳ substitution 11x3
4 4
-
+ 17x x
2
=
7 x3 =




f(x) 2x" 6x2 ( 11x 11x)
Bsp 3, 5
-

.:
- -
= - -




x2 28x IS
y +
=




48
2y" by .5
3 (28x +
28)
-
-
= -




zEX
7
...
&
=yz
=

yn
=




↳ X1
=
- xz =
x 72 =n .
1 a




·



Symmetrie y-Achser und
zur Ursprung zum
·


Schnittpunkte zweier Funktionen f(x) : =

g(x)
↳
Symmetrie y-Achsa f(x) f( x) : = -




=>
Symmetrie bei geradzahligen Exponenten : ix ...
·

Aufstellen Funktionsgleichungen
↳
Symmetrie Ursprung f(x) : - =
f( x) -
1
.
Möglichkeit :

y
=
m x
. + m


=>
Symmetrie bei
ungeradlinigen Exponenten :
xx3 ... -m =
=> kein Konstantes Glied :
3: 1 ...
↳ n durch Punkt einsetzen
.
2
Möglichkeit :
Lineares
Gleichungssystem
I
, ...
·
Verhalten im Unendlichen :
f(x) anx" = +
an - x
1
... #
T ...




↳ Summand mit
größten Exponent betrachten Quadratische Normalform f(x) : = ax + 6x + 2

n
gerade N
ungerade
limf(x) = + c lim f(x) = + c

X1 + C
An >e XH + A

limf(x) lim f(x) = -
c


Funktion
= + c

X1 -
C XH - C
Grenzwert
·
einer an einer Stelle Xo
limf(x) limf(x)
Annäherung
co c



Sprungstelle
-
= =
-




XH + C
X 1 + C
an eine
An& limf(x) = - 0
limf(x) = + c
1

[0
0 ,5x
X1 c +
x1
f(x)
-
,
X1 -
C -
=

, 5x + 2 , x - 1
O


Grenzwert
Annäherung bestimmten Wert k für &
·
:
an &




Bsp g(x) .: = *
"
limf(x) k



-
=


Xi + c bzw .




↳ konvergent ↳
rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert stimmen

=> Grenzwert a =
↳ f(x) ohne Grenzwert divergent nicht überein bei xo = 1 = Sprungstelle (nicht stetig)
↳
g(x) kenvergent
=




Annäherung an eine Lücke

M




Annäherung an Falsteller fz(x) =
O
↳ & nicht definiert

-
Xo =
7


↳ kein Grenzwert da ,
bei xo = e


& gegen unendlich
↳ nur Nenner
gleich nu
To = a ↳ f(x) ist für xo
=
definiert Snicht stetig)
1 nicht
und Funktionswert (y) nicht existiert ↳ da Nenner und Zähler für xo 1 gleich & =




=> Polstelle => hebbare Definitionslücke
↳ Grenzwert = Z

, Bsp Kombination
.
aus hebbare Definitionslücke und Polstelle stetigkeit
·
Funktionen von
~




stetig
X = 2


M
↳
Bedingungen
= ↳ -
g(x) z ① Dt ermitteln (1) f/xd existiert
Nenner betrachten x2-x-z
lim f(x) existiert
&
·
= 8 jX 17 X &
O



F 1 (3) limt(x fx
=
X1 =
2xz = -




&

②Linearfakstorzerlegung
X z (x z)(x 1)
optional
-
x -
= - +

=>




=g
& Arten der Definitionslücken
·
n = Z ist Polsteller da nur ,


Nullstelle vom Nenner ⑤ Vollstelle das Zählers :
·

xz = -1 ist hebbare Definitions -
Xz = -
A

lücker da Nullstelle , von Nenner

und Zähler



2 .


Differenzialrechnung
Änderungsrate Umkehrfunktionen
Mittlere
Änderungsrate lokale
· ·
·




Espif(x) 3x + 2 (nach x auflösen
.fl
=
1
1
f
salante Tangenter 4 X =
y- (x und y tanschen)
of
· m+ =
f'(x) f (x)
-
5x 5
y =
-
=


E

DX
& 7



·


Ableitungsfunktion ·


Ableitungsregeln 1
f f + f(x) xn ↳
Kettenregel f(x) g(h(x)
-




NEW 4 f(x) =
x =
n . : =




NEW f ↑



f 4f(x) =
n => f(x) = 0 ↳ f(x)
g'(h(x)) 4 (x)
=
.




&
4 f(x) =
g(x) 4(x) + = f(x)
g(x) h'(x) = +
Bsp f(x) (x4 5)2
.: = +




4 f(x) =
a -




g(x) = f'(x) a.g'(x) =
g(x) =
x
=
=
g(x) =
2x


4 f(x) * = 1
f(x)
1 1
h(x) xY h(x) 4x3
- -



1x
-


= x = = -
= + 5 >
- =




·
f = - streng monator fallend -x
=
- 2
= - 4 f(x) =
2(x4 5) + .
4x3

1 = xz E
> 7 streng monotor steigend 4 f(x) f(x) 2x 8x3/x4 + 5)
-



·
= =
= = =




·
f' = 0 =
Extrempunkt =
4 f(x) =
g(x) -
h(x) = f(x) =
g'(x) .

h(x) + g(x) h(x)4f(x) .
= e
*
= f(x) = ex

f(x) In(e) = f(x) =
↳ =




↳ f(x) sin(x) = f(x) cas(x)
·


Tangentengleichung :
+(x) = m .
x +m ·



Normalengleichung :
n(x) = m x +m .




1
= =



(1) m =
f' (Xs) (1) ma.m+
= -
1 ->
ma =
-




m =
4 f(x) cas(x) = f' (x)
= sin(x) =
-




(2)+(xs) =
f(xs) (2) n(xs) f(xs) =




Bsp .: f(x) x + 2 P( 1(1) Bsp .: f(x) abx 2 Xo 1
= -
-
= - =




1) ↳ f(x) = =
2x = f(( -
1) =
m= 2 (1) f(x) 1, 2 = f (1) m== =
, x = 1, 2


(2) + ( 1) - = f( 1) -

mn = -2
=
-
-
2 +n = -

( 1) 2
- +
(2)n(1) =
f(1)
-5
=> n = 3 f(x)
=> = 2x +3 5 -
1+ n = 0. 6 12 -
-
z


4 n =
-

5 = n(x) =
-

- x -
3

·

Anwendungen der Ableitung a) Berührtangenter
Al Steigungswinkel 3)Schnittwinkel >
-




Bedingungen
↳ f(x) =
m = tan(x) (1) Schnittstelle :

g(x) = f(x) (1) g(xy) =
f(XB)
4x = tan
- "

(f(x) (2) Steigungswinkel berechnen :
a= tan (f(x) (2) g(x) f(xi) =




R = tan"
(g(x) ↳
Berechnung der Tangente durch
(3) Schnittwinkely y (a -b) 900
: = = 0 -
y = selche 2
Gleichungen
↳
wenn
y
= 900 , sonst y = 1800
y (1) +(x(z) =
f(xi)(2) + (xi) f(x z) =
,