Q1 – Geraden im Raum & Skalarprodukt
Vektorrechnung endlich anwendbar: Winkel, Orthogonalität und Schnitte sicher
berechnen
Inhaltsfeld G (Analytische Geometrie und Lineare Algebra) · Kernlehrplan NRW · gültig für Zentralabi-
tur 2027 · Unterrichtsvorhaben Q1-V „Geraden und Skalarprodukt“
Lernziele dieses Hefts
• Du stellst Geraden im Raum auf (Aufpunkt + Richtungsvektor) und liest ihre Parameter
sinnvoll.
• Du berechnest Skalarprodukte, Längen und Winkel zwischen Vektoren – inklusive Ortho-
gonalitätsnachweis.
• Du untersuchst systematisch, ob eine Gerade eine Ebene schneidet, parallel zu ihr verläuft
oder in ihr liegt.
• Du deutest Ergebnisse in Sachkontexten (Lichtstrahlen, Rampen, Würfelgeometrie).
1 Die Werkzeugkiste: vier Formeln regeln alles
Alles, was dieses Kapitel verlangt, basiert auf vier Rezepten. Wer sie nüchtern hintereinander abar-
beitet, verliert nie den Faden.
Die vier Kernformeln
(1) Gerade: g : ⃗x = p⃗ + t · ⃗u, t∈R
(2) Skalarprodukt: ⃗a ◦ ⃗b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
q
(3) Betrag: |⃗a| = a21 + a22 + a23
⃗a ◦ ⃗b
(4) Winkel: cos φ = , senkrecht ⇐⇒ ⃗a ◦ ⃗b = 0.
|⃗a| |⃗b|
In der Klausur/SMS-Schreibweise steht statt ◦ auch der Punktoperator “⃗a · ⃗b”; gemeint ist das-
selbe.
1.1 Punkt oder Vektor? Immer sauber trennen
Der Klassiker: Ortsvektor vs. Richtungsvektor
Ein Punkt P = (p1 | p2 | p3 ) beschreibt eine Position. Der Richtungsvektor ⃗u beschreibt eine Be-
wegung/Verschiebung. In der Geradengleichung ⃗x = p⃗ +t ⃗u steckt beides: Aufpunkt p⃗ (als Spalten
der Punktkoordinaten) plus fortlaufende Verschiebung. Beim Aufstellen aus zwei Punkten A, B:
−−→
Richtungsvektor ⃗u = AB = ⃗b − ⃗a, NICHT verdreht herum – sonst bleibt es formal korrekt, aber
die Sachdeutung (z. B. Fahrtrichtung) kippt.
1
, Mathematik Abitur 2027 (NRW) · Q1 · Heft 3: Geraden & Skalarprodukt
2 Winkel berechnen: vom Skalarprodukt zur Gradzahl
2.1 Referenzbeispiel 1: Kante gegen Raumdiagonale (Würfel)
Beispiel – Welchen Winkel bildet die Raumdiagonale eines Würfels mit einer Grundkante?
⃗ = (1, 0, 0), Raumdiagonale d⃗ = (1, 1, 1).
Modelliere mit Einheitswürfel: Kante w
Lösung (Schritt für Schritt)
Skalarprodukt:√d⃗ ◦ w
⃗ = 1 · 1 + 1 · 0 + 1 · 0 = 1.
⃗
Längen: |d| = 3, |w|⃗ = 1.
Einsetzen in Formel (4):
√
1 3
cos φ = √ = ≈ 0,57735 =⇒ φ ≈ 54,74◦ .
3·1 3
Solche Rundwerte kombinieren Prüfer gern mit einer Überprüfungsfrage (“Wieso kann der
Winkel nicht größer als 90°sein?”) − Antwort: beide Strecken zeigen in dieselbe Halbebene.
2.2 Orthogonalität: das schnellste Ja/Nein-Tool
Beispiel – Stehen ⃗a = (2, 3, −1) und ⃗c = (1, 1, 5) senkrecht aufeinander?
Lösung (Schritt für Schritt)
⃗a ◦ ⃗c = 2 · 1 + 3 · 1 + (−1) · 5 = 2 + 3 − 5 = 0.
Da das Skalarprodukt exakt null ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander
(Bedingung Orthogonalität). Kein Kosinus-Arcos-Marsch nötig – null prüft sich in einer
Zeile.
Stumpf, spitz, recht – Sofortklassifikation
Das Vorzeichen des Skalarprodukts verrät ohne Rechner:
⃗a ◦ ⃗b > 0 ⇒ spitze Winkel (< 90◦ )
⃗a ◦ ⃗b = 0 ⇒ rechter Winkel (= 90◦ , senkrecht)
⃗a ◦ ⃗b < 0 ⇒ stumpfe Winkel (> 90◦ )
3 Gerade trifft Ebene: das Einsetzen mit Ergebnisgarantie
Ebene in Koordinatenform E : n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = d (Normalenvektor ⃗n, Konstante d). Damit
prüfst bzw. schneidest du folgendermaßen:
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Vektorrechnung endlich anwendbar: Winkel, Orthogonalität und Schnitte sicher
berechnen
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tur 2027 · Unterrichtsvorhaben Q1-V „Geraden und Skalarprodukt“
Lernziele dieses Hefts
• Du stellst Geraden im Raum auf (Aufpunkt + Richtungsvektor) und liest ihre Parameter
sinnvoll.
• Du berechnest Skalarprodukte, Längen und Winkel zwischen Vektoren – inklusive Ortho-
gonalitätsnachweis.
• Du untersuchst systematisch, ob eine Gerade eine Ebene schneidet, parallel zu ihr verläuft
oder in ihr liegt.
• Du deutest Ergebnisse in Sachkontexten (Lichtstrahlen, Rampen, Würfelgeometrie).
1 Die Werkzeugkiste: vier Formeln regeln alles
Alles, was dieses Kapitel verlangt, basiert auf vier Rezepten. Wer sie nüchtern hintereinander abar-
beitet, verliert nie den Faden.
Die vier Kernformeln
(1) Gerade: g : ⃗x = p⃗ + t · ⃗u, t∈R
(2) Skalarprodukt: ⃗a ◦ ⃗b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
q
(3) Betrag: |⃗a| = a21 + a22 + a23
⃗a ◦ ⃗b
(4) Winkel: cos φ = , senkrecht ⇐⇒ ⃗a ◦ ⃗b = 0.
|⃗a| |⃗b|
In der Klausur/SMS-Schreibweise steht statt ◦ auch der Punktoperator “⃗a · ⃗b”; gemeint ist das-
selbe.
1.1 Punkt oder Vektor? Immer sauber trennen
Der Klassiker: Ortsvektor vs. Richtungsvektor
Ein Punkt P = (p1 | p2 | p3 ) beschreibt eine Position. Der Richtungsvektor ⃗u beschreibt eine Be-
wegung/Verschiebung. In der Geradengleichung ⃗x = p⃗ +t ⃗u steckt beides: Aufpunkt p⃗ (als Spalten
der Punktkoordinaten) plus fortlaufende Verschiebung. Beim Aufstellen aus zwei Punkten A, B:
−−→
Richtungsvektor ⃗u = AB = ⃗b − ⃗a, NICHT verdreht herum – sonst bleibt es formal korrekt, aber
die Sachdeutung (z. B. Fahrtrichtung) kippt.
1
, Mathematik Abitur 2027 (NRW) · Q1 · Heft 3: Geraden & Skalarprodukt
2 Winkel berechnen: vom Skalarprodukt zur Gradzahl
2.1 Referenzbeispiel 1: Kante gegen Raumdiagonale (Würfel)
Beispiel – Welchen Winkel bildet die Raumdiagonale eines Würfels mit einer Grundkante?
⃗ = (1, 0, 0), Raumdiagonale d⃗ = (1, 1, 1).
Modelliere mit Einheitswürfel: Kante w
Lösung (Schritt für Schritt)
Skalarprodukt:√d⃗ ◦ w
⃗ = 1 · 1 + 1 · 0 + 1 · 0 = 1.
⃗
Längen: |d| = 3, |w|⃗ = 1.
Einsetzen in Formel (4):
√
1 3
cos φ = √ = ≈ 0,57735 =⇒ φ ≈ 54,74◦ .
3·1 3
Solche Rundwerte kombinieren Prüfer gern mit einer Überprüfungsfrage (“Wieso kann der
Winkel nicht größer als 90°sein?”) − Antwort: beide Strecken zeigen in dieselbe Halbebene.
2.2 Orthogonalität: das schnellste Ja/Nein-Tool
Beispiel – Stehen ⃗a = (2, 3, −1) und ⃗c = (1, 1, 5) senkrecht aufeinander?
Lösung (Schritt für Schritt)
⃗a ◦ ⃗c = 2 · 1 + 3 · 1 + (−1) · 5 = 2 + 3 − 5 = 0.
Da das Skalarprodukt exakt null ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander
(Bedingung Orthogonalität). Kein Kosinus-Arcos-Marsch nötig – null prüft sich in einer
Zeile.
Stumpf, spitz, recht – Sofortklassifikation
Das Vorzeichen des Skalarprodukts verrät ohne Rechner:
⃗a ◦ ⃗b > 0 ⇒ spitze Winkel (< 90◦ )
⃗a ◦ ⃗b = 0 ⇒ rechter Winkel (= 90◦ , senkrecht)
⃗a ◦ ⃗b < 0 ⇒ stumpfe Winkel (> 90◦ )
3 Gerade trifft Ebene: das Einsetzen mit Ergebnisgarantie
Ebene in Koordinatenform E : n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = d (Normalenvektor ⃗n, Konstante d). Damit
prüfst bzw. schneidest du folgendermaßen:
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