Zusammenfassung Grundlagen der Differentialrechnung - Mathematik-Abitur 2026 Sachsen-Anhalt

© Khoa Ngoc Tran │ Dessau-Roßlau

Grundlagen der Infinitesimal- und Differentialrechnung
I. Wiederholung Funktionen
a) Definition
• eindeutige Zuordnung → jedem Argument (x) der Definitionsmenge wird genau ein
Funktionswert (y) der Wertemenge zugeordnet → f: x → y
b) Darstellungsmöglichkeiten
• Funktionsgleichung
• Wertetabelle
• Graph
c) Eigenschaften von Funktionen
• Definitionsbereich • Verhalten im Unendlichen
• Wertebereich → (mögliche) Asymptoten
• Extrempunkte (Hoch-, Tief- und
• Achsenschnittpunkte (Nullstelle, Sy)
Scheitelpunkt) oder Sattelpunkt
• Monotonie
• Graph
• Symmetrie im Koordinatensystem
d) Funktionsarten
• Trigonometrische Funktionen →
• Lineare Funktionen
Winkelfunktionen
• Quadratische Funktionen • Konstante Funktionen
• Potenzfunktionen • Betragsfunktionen
• Exponentialfunktionen • Wurzelfunktionen
• Logarithmusfunktionen • Preisfunktionen
II. Verhalten im Unendlichen
a) Begriffsbestimmung
• Grenzwert für x → ±∞ → Funktion strebt eine Zahl als Grenzwert an (∞ ist keine Zahl)
1
Bsp.: f1(x) = x–2 = 𝑥 2 → f1 strebt für x → ±∞ gegen 0 (0 ist Grenzwert)
Schreibweise: lim 𝑥 −2 = 0 (lat. „limes“ = Grenze)
x → ±∞

allgemein: lim f(x) = g g…Grenzwert (g ∈ ℝ)
x → ±∞
2
Bsp.: lim (1 + 𝑥) = 1
x → +∞ 2
lim (1 + ) = 1
2 x → ±∞ 𝑥
lim (1 + 𝑥) = 1
x → −∞




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b) Ermitteln von Grenzwerten für x → ±∞
𝑥+2
Bsp.: f (x) = (x ≠ 0)
𝑥

1. Testeinsetzungen
für x → +∞
x 10 100 1000 x → +∞
f(x) 1,2 1,02 1,002 f(x) → 1
𝑥+2
für x → –∞ lim =1
x → ±∞ 𝑥
x –10 –100 –1000 x → –∞
f(x) 0,8 0,98 0,998 f(x) → 1
2. Termumformungen
𝑥+2 𝑥 2 2
lim = lim (𝑥 + 𝑥) = lim (1 + 𝑥) = 1 + 0 = 1
x → ±∞ 𝑥 x → ±∞ x → ±∞

→ Streckung und Stauchung haben keinen Einfluss auf Verhalten im Unendlichen
→ Grenzwert konstanter Funktionen entspricht dem Funktionswert der Wertemenge
→ Bsp.: f (x) = 2 → lim 2 = 2
x → ±∞

c) Grenzwertsätze
2𝑥+𝑥 2
Bsp.: f (x) = → Schlussfolgerung: weder Zähler noch Nenner haben einen Grenzwert
𝑥2
→ Falsch!
2𝑥+𝑥 2 2𝑥 𝑥2 2 2
→ lim = lim + 𝑥 2 = lim (𝑥 + 1) = lim + lim 1 = 0 + 1 = 1
x → ±∞ 𝑥2 x → ±∞ 𝑥2 x → ±∞ x → ±∞ 𝑥 x → ±∞

→ immer Term umformen!

2𝑥−4𝑥 2 Grenzwertsatz
Bsp.: f (x) = 2𝑥 2 +2
2 2 1
2𝑥−4𝑥 2 𝑥 2 • (𝑥−4) −4 ( lim 2 • lim
x → ±∞ x → ±∞𝑥
)– lim 4
x → ±∞
→ lim = lim 2 = lim 𝑥
2 = 1
x → ±∞ 2𝑥 2 +2 x → ±∞ 𝑥 2 • (2+ ) x → ±∞ 2+𝑥2 lim 2 + ( lim 2 • lim 2 )
𝑥2 x → ±∞ x → ±∞ x → ±∞𝑥
2•0–4 0–4
= 2 + 2 • 0 = 2 + 0 = –2
→ normalerweise überspringt man den Grenzwertsatz
Schritt mit dem Grenzwertsatz, wenn die
Aufgabenstellung dies nicht fordert
→ Konvergenz = Funktion hat einen Grenzwert → hier: f (x) ist konvergent
→ Divergenz = Funktion hat keinen Grenzwert
→ Grenzwertsätze auch zum Ermitteln von Grenzwerten an einer Stelle x0 genutzt ( lim 𝑓(𝑥))
x → 𝑥0




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d) Ermitteln eines Grenzwertes an einer Stelle x0
→ lim 𝑓 (𝑥)
x → 𝑥0

Bsp.: f (x) = x+2 → lineare Funktion → an jeder Stelle x0 definiert
→ an jeder Stelle x0 existiert Grenzwert, der mit Funktionswert f (x0)
übereinstimmt
→ lim (𝑥 + 2) = f(x0) (x0 ∈ ℝ)
𝑥 → 𝑥0
𝑥 2 −1
Bsp.: f (x) = (DB: x ∈ ℝ; x ≠ –1) → x0 = –1
𝑥+1
𝑥 2 −1
→ lim
𝑥 → −1 𝑥+1

1. Testeinsetzungen
von „links“:
x –1,1 –1,01 –1,001 x → –1
f(x) –2,1 –2,01 –2,001 f(x) → –2
→ lim 𝑓 (𝑥) = –2
𝑥 → −1; 𝑥 < −1


untereinander
von „rechts“:
x –0,9 –0,99 –0,999 x → –1
f(x) –1,9 –1,99 –1,999 f(x) → –2
→ lim 𝑓 (𝑥) = –2
𝑥 → −1; 𝑥 > −1

→ von „beiden Seiten“ eine Annäherung gegen –2
→ bei zwei verschiedenen Werten besteht kein Grenzwert
𝑥 2 −1
→ lim = –2
𝑥 → −1 𝑥+1
→ geometrisch: Lücke im Punkt L (–1/–2)




2. Termumformungen
𝑥 2 −1 (𝑥+1) • (x−1)
lim = lim = lim (𝑥 − 1) = –1 – 1 = –2
𝑥 → −1 𝑥+1 𝑥 → −1 𝑥+1 𝑥 → −1

→ geometrisch: Lücke im Punkt L (–1/–2)
→ da x–1 an Stelle x0 = –1 definiert ist, darf man x = –1 einsetzen
𝑥 2 −1 𝑥 2 −1
→ ≠ x–1 nicht gleichwertig, da x ≠ –1 für gilt
𝑥+1 𝑥+1



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