WISKUNDE B – 6V – HOOFDSTUK 1 EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
Voorkennis
𝑔
Er geldt als 𝑔𝑡 = 𝑏, dan is: 𝑡 = log(𝑏), en omgekeerd.
𝑔 𝑔 𝑔 𝑔 𝑔
Overige regels zijn: log(𝑎) + log(𝑏) = log(𝑎 ∙ 𝑏) 𝑘 ∙ log(𝑎) = log(𝑎𝑘 )
𝑝
𝑔 𝑔 𝑔 𝑎 𝑔 log(𝑎)
log(𝑎) − log(𝑏) = log (𝑏 ) log(𝑎) = 𝑝
log(𝑔)
§1-1 Een ander grondtal
Je kunt een exponentiële functie als volgt met een ander grondtal schrijven:
𝑔
log(𝑏)
𝑓(𝑡) = 𝑏 𝑡 wordt: 𝑓(𝑡) = 𝑔
§1-2 Een ander grondtal
Voor de afgeleide van een exponentiële functie 𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑥 geldt 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑔 𝑥 , met constante 𝑐.
Het grondtal van de exponentiële functie waarvoor de 𝑐𝑔 gelijk is aan 1 wordt e genoemd, en heet
het getal van Euler. Er geldt dus bij 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥
§1-3 Natuurlijk logaritme
De inverse van de functie 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 is 𝑓(𝑥) = ln(𝑥). Het wordt het natuurlijk logaritme genoemd.
1
De afgeleide van 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) is 𝑓′(𝑥) = 𝑥.
𝑔 ln(𝑥)
Aan de hand van de logaritme-regels kun je stellen: 𝑓(𝑥) = log(𝑥) =
ln(𝑔)
§1-4 Afgeleide functies
Verdere afgeleide functies zijn:
𝑔 1
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 ∙ ln(𝑔)
𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = ln(𝑔) ∙ 𝑔 𝑥
§1-5 Primitieven
Ook kun je primitieven opstellen van logaritmische functies:
1 1
𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑥 >>>>> 𝐹(𝑥) = ln(𝑔) ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝐶 𝑓(𝑥) = 𝑥 >>>> 𝐹(𝑥) = ln(|𝑥|) + 𝐶
Overzicht
F(x) f(x) f’(x)
1 𝑒 𝑎𝑥
𝑎 ⋅ 𝑒 𝑎𝑥
∙ 𝑒 𝑎𝑥 + 𝐶
𝑎
- ln(𝑎𝑥) 1
𝑎 ∙
𝑎𝑥
1 1 𝑔𝑎𝑥 𝑎 ∙ ln(𝑔) ⋅ 𝑔𝑎𝑥
∙ ⋅ 𝑔𝑎𝑥
𝑎 ln(𝑔)
𝑔 1
- 𝑙𝑜𝑔(𝑥)
𝑥 ∙ ln(𝑔)
ln(|𝑥|) + 𝐶 1 1
−
𝑥 𝑥²
, Voorkennis
f(x) F(x) f(x) F(x)
𝑎 ∙ 𝑥 𝑛 1 sin(𝑥) − cos(𝑥) + 𝐶
⋅ 𝑎 ⋅ 𝑥 𝑛+1 + 𝐶
𝑛+1
𝑒 𝑎𝑥 1 cos(𝑥) sin(𝑥) + 𝐶
∙ 𝑒 𝑎𝑥 + 𝐶
𝑎
𝑔𝑎𝑥 1 1 1 ln(|𝑥|) + 𝐶
∙ ⋅ 𝑔𝑎𝑥
𝑎 ln(𝑔) 𝑥
§2-1 Integraal en oppervlakte
Je kunt de oppervlakte van een bepaald gebied van 𝑥 = 𝑎 tot 𝑥 = 𝑏, tussen 𝑓(𝑥) en 𝑔(𝑥) berekenen
𝑏
met de integraal: ∫𝑎 (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)).
Soms moet je ook verschillende integralen gebruiken om de oppervlakte te berekenen.
§2-2 Omwentelingslichamen
Als je een gebied ingesloten door de grafiek van functie 𝑓, de 𝑥-as en de lijnen 𝑥 = 𝑎 en 𝑥 = 𝑏 om de
𝑥-as wentelt, ontstaat een omwentelingslichaam. Je berekent de inhoud van dit lichaam met de
𝑏
integraal: 𝜋 ∫𝑎 (𝑓(𝑥))²𝑑𝑥
Als er een gebied, dat het geheel boven de x-as ligt, kun je het lichaam dat ontstaat door het gebied
𝑏 2
om de x-as te wentelen berekenen met: 𝜋 ∫𝑎 ((𝑓(𝑥)) − (𝑔(𝑥))²) 𝑑𝑥 , waarbij de grafiek
van f boven de grafiek van g ligt.
§2-3 Wentelen om de y-as
Bij wentelen om de y-as moet je een andere methode gebruiken:
1. Schrijf de functie om naar de vorm: 𝑥 = … . 𝑦
2. Bereken de snijpunten gezien in het geval dat je de grafiek 90° draait (vanaf de y-as)
3. Stel de integraal op, ook gezien vanaf de y-as.
§2-4 Variabele grenzen
Als de grenzen geen getal zijn maar variabelen, dan kun je de integraal schrijven als een functie van
die grens. Bijvoorbeeld:
𝑝
∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑝) − 𝐹(1) >>>>>> 𝑔(𝑝) = 𝐹(𝑝) − 𝐹(1)
Voorkennis
𝑔
Er geldt als 𝑔𝑡 = 𝑏, dan is: 𝑡 = log(𝑏), en omgekeerd.
𝑔 𝑔 𝑔 𝑔 𝑔
Overige regels zijn: log(𝑎) + log(𝑏) = log(𝑎 ∙ 𝑏) 𝑘 ∙ log(𝑎) = log(𝑎𝑘 )
𝑝
𝑔 𝑔 𝑔 𝑎 𝑔 log(𝑎)
log(𝑎) − log(𝑏) = log (𝑏 ) log(𝑎) = 𝑝
log(𝑔)
§1-1 Een ander grondtal
Je kunt een exponentiële functie als volgt met een ander grondtal schrijven:
𝑔
log(𝑏)
𝑓(𝑡) = 𝑏 𝑡 wordt: 𝑓(𝑡) = 𝑔
§1-2 Een ander grondtal
Voor de afgeleide van een exponentiële functie 𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑥 geldt 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑐 ∙ 𝑔 𝑥 , met constante 𝑐.
Het grondtal van de exponentiële functie waarvoor de 𝑐𝑔 gelijk is aan 1 wordt e genoemd, en heet
het getal van Euler. Er geldt dus bij 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥
§1-3 Natuurlijk logaritme
De inverse van de functie 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 is 𝑓(𝑥) = ln(𝑥). Het wordt het natuurlijk logaritme genoemd.
1
De afgeleide van 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) is 𝑓′(𝑥) = 𝑥.
𝑔 ln(𝑥)
Aan de hand van de logaritme-regels kun je stellen: 𝑓(𝑥) = log(𝑥) =
ln(𝑔)
§1-4 Afgeleide functies
Verdere afgeleide functies zijn:
𝑔 1
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 ∙ ln(𝑔)
𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = ln(𝑔) ∙ 𝑔 𝑥
§1-5 Primitieven
Ook kun je primitieven opstellen van logaritmische functies:
1 1
𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑥 >>>>> 𝐹(𝑥) = ln(𝑔) ⋅ 𝑔 𝑥 + 𝐶 𝑓(𝑥) = 𝑥 >>>> 𝐹(𝑥) = ln(|𝑥|) + 𝐶
Overzicht
F(x) f(x) f’(x)
1 𝑒 𝑎𝑥
𝑎 ⋅ 𝑒 𝑎𝑥
∙ 𝑒 𝑎𝑥 + 𝐶
𝑎
- ln(𝑎𝑥) 1
𝑎 ∙
𝑎𝑥
1 1 𝑔𝑎𝑥 𝑎 ∙ ln(𝑔) ⋅ 𝑔𝑎𝑥
∙ ⋅ 𝑔𝑎𝑥
𝑎 ln(𝑔)
𝑔 1
- 𝑙𝑜𝑔(𝑥)
𝑥 ∙ ln(𝑔)
ln(|𝑥|) + 𝐶 1 1
−
𝑥 𝑥²
, Voorkennis
f(x) F(x) f(x) F(x)
𝑎 ∙ 𝑥 𝑛 1 sin(𝑥) − cos(𝑥) + 𝐶
⋅ 𝑎 ⋅ 𝑥 𝑛+1 + 𝐶
𝑛+1
𝑒 𝑎𝑥 1 cos(𝑥) sin(𝑥) + 𝐶
∙ 𝑒 𝑎𝑥 + 𝐶
𝑎
𝑔𝑎𝑥 1 1 1 ln(|𝑥|) + 𝐶
∙ ⋅ 𝑔𝑎𝑥
𝑎 ln(𝑔) 𝑥
§2-1 Integraal en oppervlakte
Je kunt de oppervlakte van een bepaald gebied van 𝑥 = 𝑎 tot 𝑥 = 𝑏, tussen 𝑓(𝑥) en 𝑔(𝑥) berekenen
𝑏
met de integraal: ∫𝑎 (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)).
Soms moet je ook verschillende integralen gebruiken om de oppervlakte te berekenen.
§2-2 Omwentelingslichamen
Als je een gebied ingesloten door de grafiek van functie 𝑓, de 𝑥-as en de lijnen 𝑥 = 𝑎 en 𝑥 = 𝑏 om de
𝑥-as wentelt, ontstaat een omwentelingslichaam. Je berekent de inhoud van dit lichaam met de
𝑏
integraal: 𝜋 ∫𝑎 (𝑓(𝑥))²𝑑𝑥
Als er een gebied, dat het geheel boven de x-as ligt, kun je het lichaam dat ontstaat door het gebied
𝑏 2
om de x-as te wentelen berekenen met: 𝜋 ∫𝑎 ((𝑓(𝑥)) − (𝑔(𝑥))²) 𝑑𝑥 , waarbij de grafiek
van f boven de grafiek van g ligt.
§2-3 Wentelen om de y-as
Bij wentelen om de y-as moet je een andere methode gebruiken:
1. Schrijf de functie om naar de vorm: 𝑥 = … . 𝑦
2. Bereken de snijpunten gezien in het geval dat je de grafiek 90° draait (vanaf de y-as)
3. Stel de integraal op, ook gezien vanaf de y-as.
§2-4 Variabele grenzen
Als de grenzen geen getal zijn maar variabelen, dan kun je de integraal schrijven als een functie van
die grens. Bijvoorbeeld:
𝑝
∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑝) − 𝐹(1) >>>>>> 𝑔(𝑝) = 𝐹(𝑝) − 𝐹(1)
