5 Samenvatting: verhoudingen
Het onderwerp verhoudingen speelt in veel situaties een rol. Voorbeelden van taalgebruik in dergelijke
situaties zijn: ‘één op de drie kinderen kampt met stress’ of ‘Limburg telt naar verhouding weinig jonge
kinderen’. Het is niet alleen om die reden dat het onderwerp verhoudingen een essentieel onderwerp is in het
rekenwiskundeonderwijs. Een goed inzicht in verhoudingen vormt namelijk de basis voor het verwerven van
kennis, inzicht en vaardigheid op talrijke andere gebieden van rekenen-wiskunde, zoals breuken,
kommagetallen, procenten, meten, meetkunde en grafieken.
Met betrekking tot het domein verhoudingen verwerven kinderen het inzicht dat:
• een verhouding een vergelijking aangeeft van aantallen, die naar voren komt in getalsmatige, meet- of
meetkundige aspecten van een situatie (kerninzicht vergelijking tussen grootheden)
• een verhouding een relatief begrip is en een eindeloze reeks van gelijkwaardige getallenparen
vertegenwoordigt (kerninzicht gelijkwaardige getallenparen)
5.1 Kerninzicht vergelijking tussen grootheden
Ervaringen van kinderen op het gebied van meten en meetkunde leggen de basis voor het denken in
verhoudingen. Door het redeneren over al of niet gelijke verhoudingen in een situatie, worden kinderen zich
bewust van het ‘naar verhouding’ zien of denken. Een grotere pop heeft grotere kleertjes nodig dan een
kleinere pop; voor een grotere speelgoedauto moet je met blokken een grotere garage bouwen dan voor een
kleine auto; hoe verder iets weg is hoe kleiner je dat voorwerp ziet. In Madurodam zijn alle gebouwen 25 keer
zo klein als in werkelijkheid. Een huis van 40 cm hoog in Madurodam is in werkelijkheid 10 m hoog.
Als evenredig verband geschreven: 40 cm : 10 m = 40 cm : 1000 cm = 1 : 25. Alle lengtematen in Madurodam
verhouden zich tot de overeenkomstige maten in de werkelijkheid als 1 staat tot 25. Hier zie je dat je
verhoudingen kunt gebruiken om grootheden (hier: lengtes) te vergelijken.
Interventies al leerkracht:
Ordenen van grootheid in lengte
Denken in verhoudingen. Er moet een evenredig verband zijn.
Met driehoeken kan je kinderen het begrip verhouding ook duidelijk maken. Een driehoek is gelijkvormig, als je
het door te vergroten of verkleinen nog steeds dezelfde vorm heeft.
Belangrijke begrippen: helft, lengte, grootte, vergroot, verkleind, schaal.
5.2 Kerninzicht gelijkwaardige getallenparen
Een getalsverhouding als 2 : 3 staat voor een eindeloze reeks van gelijkwaardige getallenparen, bijvoorbeeld
2 : 3 = 4 : 6 = 6 : 9 enzovoort. Dit geldt ook voor getallenseries: 2 : 3 : 4 = 4 : 6 : 8 = 6 : 9 : 12 = enzovoort.
Dit inzicht gebruik je bij het redeneren en rekenen met verhoudingen. In een verhoudingstabel gebruik je de
getallenparen die nodig zijn om handig naar de uitkomst toe te werken. Het is belangrijk dat kinderen zelf
kunnen zoeken naar gelijke verhoudingsgetallen. Inzicht beklijft vooral als kinderen hun begrippen zelf kunnen
construeren. Natuurlijk is goede begeleiding daarbij onmisbaar. Het voordeel van de verhoudingstabel is dat
deze gebruikt kan worden als denkmodel en als rekenmodel. In zo’n tabel kun je naar hartenlust
vermenigvuldigen en delen, mits je dat met beide getallen van een getallenpaar met hetzelfde getal doet.
Naast een verhoudingstabel, kan een dubbele getallenlijn ook handig zijn. Kenmerken:
Wordt ingezet bij rechtevenredige verbanden > De nullen staan op dezelfde plek > Verhoudingen
blijven verticaal gelijk.
Verhoudingen blijven horizontaal intact
De getallen hebben betekenis
, De onderlinge afstand is in een dubbele getallenlijn zichtbaar.
Een strookmodel is ook een handig model om te gebruiken.
Op formeel niveau: regel van drieën drie getallen zijn gegeven en de vierde wordt met een formule
64 ×100 64 × 10 64
bepaald. = = ×10=4 ×10=40
160 16 16
Interne en externe verhoudingen
Bij de meeste verhoudingsproblemen zijn verschillende grootheden in het spel, bijvoorbeeld afstand en tijd.
Dit noemen we externe verhoudingen. Een interne verhouding is een verhouding binnen dezelfde grootheid.
Dat is bijvoorbeeld het geval bij een schaalverhouding: daar gaat het alleen om lengte. Schaal 1 : 150.000
betekent dat 1 cm in werkelijkheid 150.000 cm ofwel 1,5 km is.
5.3 Leerlijn verhoudingen
Het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool ruimt een grote plaats in voor het domein verhoudingen, al
vanaf de onderbouw. Dat heeft enerzijds te maken met de rol die het denken in verhoudingen speelt in het
leven van alledag. Anderzijds legt het redeneren en rekenen met evenredige verbanden de basis voor het
inzicht in breuken, procenten en kommagetallen en de samenhang daartussen.
Meetkundige en getalsmatige voorbereidende ervaringen
In de onderbouw van de basisschool wordt het fundament gelegd voor het denken en redeneren over
verhoudingen. De kunst voor de leraar is alert te zijn op alledaagse ervaringen waarover kinderen zich
verwonderen.
Het betekenisvol organiseren van verhoudingssituaties in eenvoudige schema’s en modellen
Bij het redeneren en rekenen met verhoudingsgetallen, bijvoorbeeld bij het vergelijken van prijzen, ontdekken
kinderen het nut van ‘netjes opschrijven’ en gaan dan ‘lijstjes van getallenparen maken’, evenredigheden dus.
De leerkracht kan op een bepaald moment in interactie met de leerlingen de overstap naar de
verhoudingstabel of de dubbele getallenlijn maken.
In elke fase van de leerlijn verhoudingen, maar juist ook in de beginfase, is het gebruik van de juiste
wiskundetaal in de les van belang voor de ontwikkeling van het denken in verhoudingen.
Het modelondersteund redeneren en rekenen met verhoudingen
Het zwaartepunt van het rekenen met verhoudingen ligt in de bovenbouw van de basisschool. De
verhoudingstabel wordt daarbij in alle reken- en wiskundemethoden ingezet als ondersteunend model. Verder
worden ook de dubbele getallenlijn en de schaallijn gebruikt.
In groep 5 en 6 wordt vooral gerekend met evenredige verbanden, weergegeven met gehele getallen; in groep
7 en 8 wordt ook gerekend met kommagetallen, breuken en procenten.
Formeel rekenen en toepassen
Vanuit het werken met een verhoudingstabel kan de overstap gemaakt worden naar het formeel rekenen met
verhoudingen. Een opdracht als ‘75 van de 600 mensen, hoeveel procent?’ wordt dan berekend met de
formele som:
75 × 100 = 12,5
Het onderwerp verhoudingen speelt in veel situaties een rol. Voorbeelden van taalgebruik in dergelijke
situaties zijn: ‘één op de drie kinderen kampt met stress’ of ‘Limburg telt naar verhouding weinig jonge
kinderen’. Het is niet alleen om die reden dat het onderwerp verhoudingen een essentieel onderwerp is in het
rekenwiskundeonderwijs. Een goed inzicht in verhoudingen vormt namelijk de basis voor het verwerven van
kennis, inzicht en vaardigheid op talrijke andere gebieden van rekenen-wiskunde, zoals breuken,
kommagetallen, procenten, meten, meetkunde en grafieken.
Met betrekking tot het domein verhoudingen verwerven kinderen het inzicht dat:
• een verhouding een vergelijking aangeeft van aantallen, die naar voren komt in getalsmatige, meet- of
meetkundige aspecten van een situatie (kerninzicht vergelijking tussen grootheden)
• een verhouding een relatief begrip is en een eindeloze reeks van gelijkwaardige getallenparen
vertegenwoordigt (kerninzicht gelijkwaardige getallenparen)
5.1 Kerninzicht vergelijking tussen grootheden
Ervaringen van kinderen op het gebied van meten en meetkunde leggen de basis voor het denken in
verhoudingen. Door het redeneren over al of niet gelijke verhoudingen in een situatie, worden kinderen zich
bewust van het ‘naar verhouding’ zien of denken. Een grotere pop heeft grotere kleertjes nodig dan een
kleinere pop; voor een grotere speelgoedauto moet je met blokken een grotere garage bouwen dan voor een
kleine auto; hoe verder iets weg is hoe kleiner je dat voorwerp ziet. In Madurodam zijn alle gebouwen 25 keer
zo klein als in werkelijkheid. Een huis van 40 cm hoog in Madurodam is in werkelijkheid 10 m hoog.
Als evenredig verband geschreven: 40 cm : 10 m = 40 cm : 1000 cm = 1 : 25. Alle lengtematen in Madurodam
verhouden zich tot de overeenkomstige maten in de werkelijkheid als 1 staat tot 25. Hier zie je dat je
verhoudingen kunt gebruiken om grootheden (hier: lengtes) te vergelijken.
Interventies al leerkracht:
Ordenen van grootheid in lengte
Denken in verhoudingen. Er moet een evenredig verband zijn.
Met driehoeken kan je kinderen het begrip verhouding ook duidelijk maken. Een driehoek is gelijkvormig, als je
het door te vergroten of verkleinen nog steeds dezelfde vorm heeft.
Belangrijke begrippen: helft, lengte, grootte, vergroot, verkleind, schaal.
5.2 Kerninzicht gelijkwaardige getallenparen
Een getalsverhouding als 2 : 3 staat voor een eindeloze reeks van gelijkwaardige getallenparen, bijvoorbeeld
2 : 3 = 4 : 6 = 6 : 9 enzovoort. Dit geldt ook voor getallenseries: 2 : 3 : 4 = 4 : 6 : 8 = 6 : 9 : 12 = enzovoort.
Dit inzicht gebruik je bij het redeneren en rekenen met verhoudingen. In een verhoudingstabel gebruik je de
getallenparen die nodig zijn om handig naar de uitkomst toe te werken. Het is belangrijk dat kinderen zelf
kunnen zoeken naar gelijke verhoudingsgetallen. Inzicht beklijft vooral als kinderen hun begrippen zelf kunnen
construeren. Natuurlijk is goede begeleiding daarbij onmisbaar. Het voordeel van de verhoudingstabel is dat
deze gebruikt kan worden als denkmodel en als rekenmodel. In zo’n tabel kun je naar hartenlust
vermenigvuldigen en delen, mits je dat met beide getallen van een getallenpaar met hetzelfde getal doet.
Naast een verhoudingstabel, kan een dubbele getallenlijn ook handig zijn. Kenmerken:
Wordt ingezet bij rechtevenredige verbanden > De nullen staan op dezelfde plek > Verhoudingen
blijven verticaal gelijk.
Verhoudingen blijven horizontaal intact
De getallen hebben betekenis
, De onderlinge afstand is in een dubbele getallenlijn zichtbaar.
Een strookmodel is ook een handig model om te gebruiken.
Op formeel niveau: regel van drieën drie getallen zijn gegeven en de vierde wordt met een formule
64 ×100 64 × 10 64
bepaald. = = ×10=4 ×10=40
160 16 16
Interne en externe verhoudingen
Bij de meeste verhoudingsproblemen zijn verschillende grootheden in het spel, bijvoorbeeld afstand en tijd.
Dit noemen we externe verhoudingen. Een interne verhouding is een verhouding binnen dezelfde grootheid.
Dat is bijvoorbeeld het geval bij een schaalverhouding: daar gaat het alleen om lengte. Schaal 1 : 150.000
betekent dat 1 cm in werkelijkheid 150.000 cm ofwel 1,5 km is.
5.3 Leerlijn verhoudingen
Het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool ruimt een grote plaats in voor het domein verhoudingen, al
vanaf de onderbouw. Dat heeft enerzijds te maken met de rol die het denken in verhoudingen speelt in het
leven van alledag. Anderzijds legt het redeneren en rekenen met evenredige verbanden de basis voor het
inzicht in breuken, procenten en kommagetallen en de samenhang daartussen.
Meetkundige en getalsmatige voorbereidende ervaringen
In de onderbouw van de basisschool wordt het fundament gelegd voor het denken en redeneren over
verhoudingen. De kunst voor de leraar is alert te zijn op alledaagse ervaringen waarover kinderen zich
verwonderen.
Het betekenisvol organiseren van verhoudingssituaties in eenvoudige schema’s en modellen
Bij het redeneren en rekenen met verhoudingsgetallen, bijvoorbeeld bij het vergelijken van prijzen, ontdekken
kinderen het nut van ‘netjes opschrijven’ en gaan dan ‘lijstjes van getallenparen maken’, evenredigheden dus.
De leerkracht kan op een bepaald moment in interactie met de leerlingen de overstap naar de
verhoudingstabel of de dubbele getallenlijn maken.
In elke fase van de leerlijn verhoudingen, maar juist ook in de beginfase, is het gebruik van de juiste
wiskundetaal in de les van belang voor de ontwikkeling van het denken in verhoudingen.
Het modelondersteund redeneren en rekenen met verhoudingen
Het zwaartepunt van het rekenen met verhoudingen ligt in de bovenbouw van de basisschool. De
verhoudingstabel wordt daarbij in alle reken- en wiskundemethoden ingezet als ondersteunend model. Verder
worden ook de dubbele getallenlijn en de schaallijn gebruikt.
In groep 5 en 6 wordt vooral gerekend met evenredige verbanden, weergegeven met gehele getallen; in groep
7 en 8 wordt ook gerekend met kommagetallen, breuken en procenten.
Formeel rekenen en toepassen
Vanuit het werken met een verhoudingstabel kan de overstap gemaakt worden naar het formeel rekenen met
verhoudingen. Een opdracht als ‘75 van de 600 mensen, hoeveel procent?’ wordt dan berekend met de
formele som:
75 × 100 = 12,5
