Opsomming Bewijzen Wiskunde en statistiek - januari 2025 - VUB - 18/20

Eigenschap 1.1: n+1=n

n + 1 = n + 0+
= (n + 0)+
= n+


Eigenschap 1.2: ∀n∈N: 0+n = n

1. Door DS1 weten we: n+0=n

2. Omdat optelling wordt gedefinieerd via deze regel, geldt direct:
0+n= n.



Eigenschap 1.3: ∀n∈N: 1+n= n + 1

1. 1 is gedefinieerd als 0+ (de opvolger van 0).

2. Door DS2: 1+n=(0++n) =(0+n)+

3. Door Eigenschap 1.2: 0+n=n. Dus 1+n=n+

4. Opnieuw door DS2: n+1=n+

5. Dus 1+n=n+1.



Eigenschap 1.4: ∀n∈N: 0⋅n=0

1. Door DP1: n⋅0=0

2. Dit geldt voor alle n, en dus 0⋅n=0



Eigenschap 1.5: ∀n∈N: 1⋅n=n

1. Door DP2: 1⋅n= (0+⋅n) = (0⋅n)+n.

2. Door Eigenschap 1.4: 0⋅n=0, dus 1⋅n= 0+n.

3. Door Eigenschap 1.2: 0+n= n. Dus 1⋅n= n.

, Eigenschap 1.6: Optelling in N is associatief.

We moeten bewijzen: (m + n) + p = m + (n + p).

1. Basisgeval: Stel p = 0.

o Door DS1: (m + n) + 0 = m + n.

o Ook: m + (n + 0) = m + n.

o Dus het basisgeval klopt.

2. Inductiestap: Stel dat (m + n) + p = m + (n + p).

o Door DS2: (m + n) + p+ = ((m + n) + p)+.

o Door de inductiehypothese: (m + n) + p = m + (n + p).

o Dus: (m + n) + p+ = (m + (n + p))+

o Door DS2: m + (n + p+ )= m + ((n + p)+).

Hiermee is bewezen dat (m + n) + p+= m + (n + p+), en dus is
associativiteit bewezen.



Eigenschap 1.7: Optelling in N is commutatief.

We moeten bewijzen: m + n = n + m.

1. Basisgeval: Stel n = 0.

o Door DS1: m + 0 = m.

o Ook: 0 + m = m (door Eigenschap 1.2).

o Dus m + 0 = 0 + m.

2. Inductiestap: Stel dat m + n = n + m.

o Door DS2: m + n+ = (m + n)+

o Door de inductiehypothese: m + n = n + m.

o Dus m + n+ = (n + m)+

o Door DS2: n+ + m = (n + m)+

Hieruit volgt m + n+ = n+ + m, en dus is commutativiteit bewezen.