Limites

DAEU-B – Maths Limites – Corrections des Exercices UGA 2020-2021


Limites – Corrections des Exercices
Exercice no 1
Premiers calculs de limites.
a. Limites en +∞ (quand x devient arbitrairement grand).
√
(a) lim 2020 − x (d) lim 3x2 + 2x3 (g) lim 3x2 + 1
x→+∞ x→+∞ x→+∞
1 1 3 5
(b) lim (e) lim 3x2 + (h) lim
x→+∞ x2
− −2
x→+∞ 2020 − x x→+∞ x x
1 1 2
(c) lim 2020 − (f) lim (i) lim √
x→+∞ x x→+∞ 3x2 +1 x→+∞ 3x − 5
Correction :
(a) lim 2020 − x = −∞, car x devient arbitrairement grand, avec un coefficient negatif.
x→+∞
1
(b) lim = 0, car on divise 1 par 2020 − x, une quantité arbitrairement grande (né-
x→+∞ 2020 − x
gative).
1 1
(c) lim 2020 − = 2020, car devient arbitrairement petit.
x→+∞ x x
(d) lim 3x2 + 2x3 = +∞, car on ajoute deux quantités, 3x2 et 2x3 , qui deviennent arbitraire-
x→+∞
ment grandes.
1
(e) lim 3x2 + = +∞, car on ajoute, 3x2 , une quantité qui deviennent arbitrairement grandes
x→+∞ x
1
et , qui devient arbitrairement petit.
x
1
(f) lim 2
= 0, car on divise 1 par 3x2 + 1, une quantité arbitrairement grande.
x→+∞ 3x + 1
√
(g) lim 3x2 + 1 = +∞, car on met dans la racine carrée une quantité arbitrairement grande,
x→+∞
donc cette racine devient elle aussi arbitrairement grande.
3 5 3 5
(h) lim 2 − − 2 = −2 car les deux quantités 2 et deviennent arbitrairement petites,
x→+∞ x x x x
donc tendent vers 0, et seul reste −2.
2 √
(i) lim √ = 0, car la quantité 3x − 5 devient arbitrairement grande, donc 3x − 5
x→+∞ 3x − 5
aussi, et donc son inverse devient arbitrairement petit.

—
b. Limites en −∞ (quand x devient arbitrairement grand dans les négatifs).
√
(a) lim 3x2 (d) lim 3x2 − 2x3 (g) lim 3x2 + 1
x→−∞ x→−∞ x→−∞
1 3 5
(b) lim 2020 − x (e) lim 3x2 + (h) lim − −2
x→−∞ x→−∞ x 2 x
x→−∞ x
1 1 2
(c) lim 2020 − (f) lim (i) lim √
x→−∞ x x→−∞ 3x2 +1 x→−∞ 5 − 3x
Correction :
(a) lim 3x2 = +∞, car x2 , et donc 3x2 , est positif et devient arbitrairement grand.
x→−∞



-1-

, DAEU-B – Maths Limites – Corrections des Exercices UGA 2020-2021


(b) lim 2020 − x = +∞, car x devient arbitrairement grand dans les négatif, et est multipliíe
x→−∞
par un coefficient negatif.
1 1
(c) lim 2020 − = 2020, car devient arbitrairement petit.
x→−∞ x x
(d) lim 3x2 − 2x3 = +∞, car on ajoute deux quantités, 3x2 et −2x3 , qui deviennent arbitrai-
x→−∞
rement grandes.
1
(e) lim 3x2 + = +∞, car on ajoute, 3x2 , une quantité qui deviennent arbitrairement grandes
x→−∞ x
1
et , qui devient arbitrairement petit.
x
1
(f) lim 2
= 0, car on divise 1 par 3x2 +1, une quantité arbitrairement grande (positive).
x→−∞ 3x + 1
√
(g) lim 3x2 + 1 = +∞, car on met dans la racine carrée 3x2 + 1, une quantité arbitrairement
x→−∞
grande, donc cette racine devient elle aussi arbitrairement grande.
3 5 3 5
(h) lim 2 − − 2 = −2, car les deux quantités 2 et deviennent arbitrairement petites,
x→−∞ x x x x
donc tendent vers 0, et seul reste −2.
2 √
(i) lim √ = 0, car la quantité 5 − 3x devient arbitrairement grande, donc 5 − 3x
x→−∞ 5 − 3x
aussi, et donc son inverse devient arbitrairement petit.

—
c. Limites en un point (quand x tend vers une valeur finie).
1 √ 1
(a) lim (c) lim 3x2 + 1 (e) lim 2 − 2
x→2021 2020 − x x→1 x→0 x
1 2
(b) lim 3x2 + (d) lim √ (f) lim 3x2 + 2x3
x→1 x x→2 3x − 5 x→2

Correction :
(a) lim 3x2 + 2x3 = 28, car 3.22 + 2.23 = 3.4 + 2.8 = 28.
x→2
1
(b) lim 3x2 + = 4, car 3.12 + 1/1 = 4.
x→1 x
√ √
(c) lim 3x2 + 1 = 2, car 3x2 + 1 tend vers 3.12 + 1 = 4 et 4 = 2.
x→1
2 2
(d) lim √ = 2, car 3x − 5 tend vers 3.2 − 5 = 1 et √ = 2/1 = 1.
x→2 3x − 5 1
1
(e) lim = −1, car 2020 − X tend vers 2020 − 2021 = −1.
x→2021 2020 − x
1
(f) lim 2 − 2 = +∞, car on divise 1 par x2 , une quantité arbitrairement grande positive.
x→0 x
—
d. Limites à gauche et à droite d’un point.
1 1 1
(a) lim+ (c) lim+ (e) lim+ 3x2 + √
x→2 2x − 4 x→2 (2x − 4)4 x→0 x
1 1 1
(b) lim− (d) lim− (f) lim− 3x2 + √
x→2 2x − 4 x→2 (2x − 4)4 x→1 1−x
Correction :


-2-