Samenvatting: Statistiek II | VUB | 25-26

Statistiek hoorcolleges

,Inhoudstabel
Deze persoonlijke samenvatting is gebaseerd op de hoorcolleges en de PowerPoint van het vak Statistiek II,
gegeven door Tom De Winter. Auteursrecht op oorspronkelijke teksten, afbeeldingen en schema’s berust bij de
respectieve auteurs en rechthebbenden.
1. Hoorcollege 1: Inleiding en herhaling (p. 2)
1) Statistiek en statistische gegevens (p. 2)
2) Steekproef en onderzoekspopulatie (p. 2)
3) Beschrijvende en inferentiële statistiek (p. 3)
4) Variabelen: operationalisering en meetniveaus (p. 4)
5) Frequentieverdelingen en grafische weergaven (p. 4)
6) Maten van centraliteit (p. 5)
7) Maten van spreiding (p. 5)
8) Outliers (p. 5)
2. Hoorcollege 2: Kansrekening (p. 6)
1) Basisconcepten van kansrekenen (p. 6)
2) Rekenregels voor kansen (p. 7)
3) Voorwaardelijke kansen (p. 8)
4) Voorbeeld: Covid19-test (p. 8)
3. Hoorcollege 3: Kansverdelingen (p. 9)
1) Inleiding (p. 9)
2) Discrete kansverdelingen (p. 10)
3) Binomiaalverdeling (p. 10)
4) Continue kansverdelingen (p. 10)
5) Normaalverdeling (p. 11)
4. Hoorcollege 4: Steekproevenverdeling en centrale limietstelling (p. 13)
1) Inleiding (p. 13)
2) Steekproevenverdeling en centrale limietstelling (p. 13)
3) Steekproevenverdeling voor een proportie (p. 15)
4) Steekproevenverdeling voor een gemiddelde (p. 16)
5. Hoorcollege 5: Hypothesetoetsen (p. 16)
1) Inleiding (p. 16)
2) Hypothesetoetsen: opbouw en logica (p. 16)
3) Hypothesetoets voor een proportie (p. 18)
4) Hypothesetoets voor een gemiddelde (p. 19)
5) Type I- en type II-fouten (p. 21)
6. Hoorcollege 6: Betrouwbaarheidsintervallen (p. 21)
1) Inleiding (p. 21)
2) Punt- en intervalschatting (p. 21)
3) Betrouwbaarheidsinterval voor proportie (p. 22)
4) Betrouwbaarheidsinterval voor gemiddelde (p. 23)
5) Aanvullingen inferentiële technieken (p. 24)
6) Steekproefgrootte bepalen (p. 25)
7. Hoorcollege 7: Analyse en inferentie proporties (p. 25)
1) Inleiding (p. 25)
2) Twee groepen vergelijken op basis van proporties (p. 26)
3) Chi-kwadraattoets voor onafhankelijkheid (p. 27)
8. Hoorcollege 8: Analyse en inferentie van gemiddelden (p. 30)
1) Inleiding (p. 31)
2) Twee gemiddelden vergelijken: Welch’s t-test (ongelijke varianties) (p. 31)
3) Independent samples t-test (p. 32)
4) Variantieanalyse (one-way ANOVA) (p. 33)
5) Post-hoc testen (p. 35)
6) Niet-parametrische alternatieven (p. 36)
9. Hoorcollege 9: Enkelvoudige lineaire regressieanalyse (p. 37)
1) Inleiding (p. 38)
2) Lineair regressiemodel (p. 38)
3) Goodness of fit: R² (p. 40)
4) Centreren van de onafhankelijke variabele (p. 41)
5) Dummyregressie (p. 42)
10. Hoorcollege 10: Meervoudige lineaire regressieanalyse (p. 42)
1) Inleiding (p. 43)
2) Inferentie voor het regressiemodel (p. 43)
3) Inferentie voor regressiecoëfficiënten (p. 44)
4) Waarom multivariate regressie? (p. 45)
5) Het multivariate regressiemodel (p. 46)
11. Hoorcollege 11: Meervoudige lineaire regressieanalyse (deel 2) (p. 49)
1) Inleiding (p. 49)
2) Gestandaardiseerde regressiecoëfficiënten (p. 49)
3) Assumpties voor lineaire regressie (p. 49)
4) Outliers & influential cases (p. 51)




2

,Les 1: Inleiding en herhaling

1. Statistiek en statistische gegevens
= weerbaar zijn in een samenleving gedreven door cijfers (data-driven)

Realiteit is complex en onzeker  realiteit kwantificeren

We gebruiken hierbij empirie1 om beweringen te staven:

 Beweringen op zichzelf zijn niet voldoende
 We analyseren op basis van de juiste techniek en met ruimte voor onzekerheid

2. Steekproef en onderzoekspopulatie
Eenvoudige aselecte steekproef (EAS): elke onderzoekseenheid in de populatie heeft een gelijke kans
op selectie verschillend van nul

Populatie = wie onderzoek ik? (parameters)

 Vb: alle personen met BE nationaliteit op 1 januari 2025 (=populatie), percentage hiervan
actief op arbeidsmarkt (=(populatie)parameters)

Steekproef = subset/selectie uit de volledige groep van onderzoekseenheden in de populatie

 Vb: 2.000 personen, willekeurig getrokken uit het Rijksregister, waarbij elke persoon in de
populatie exact dezelfde kans had om geselecteerd te worden (2.000/11.000.000)
 Deze moet representatief zijn: dezelfde karakteristieken hebben als van de populatie die het
vertegenwoordigt

= en bij deze meten we dus de (steekproef)statistieken  parameters bij populatie

Bij steekproeven kunnen wel verschillende problemen optreden:

- Sampling error: toevalsfouten, onnauwkeurigheid  betrouwbaarheid

- Non sampling error: systematische fouten, vertekening  geldigheid

 Selection bias: manier van selecteren geeft vertekend beeld
 Bekendste voorbeeld – survivorship bias: alleen kijken naar de ‘overlevers’ van een
proces (zichtbare/beschikbare gevallen)  wat met de gevallen die zijn uitgevallen of
niet zijn teruggekomen?
 Voorbeeld: leger onderzocht in WOII teruggekeerde bommenwerpers en wilde
pantsers plaatsen waar meeste kogelgaten zaten  statisticus Wald: probleem dat ze
enkel keken naar vliegtuigen die het overleefde (neergeschoten-?); deze waren
waarschijnlijk geraakt op plekken waar overlevers geen schade hadden
 Pantser daar waar geen gaten zitten
 Non-response bias: mensen die niet deelnemen verschillen systematisch van degene die wel
deelnemen
 Item non-response bias: sommige vragen worden niet beantwoord


1
betekent dat cijfers, modellen en conclusies zijn gebaseerd op werkelijke waarnemingen, metingen en data uit
de praktijk, en niet op pure aannames of theorie.

3

,3. Beschrijvende en inferentiële statistiek
Beschrijvende/deductieve = beschrijven van geobserveerde gegevens (vb opinie rond invoeren doodstraf bij
jongeren tussen 15-30 jaar in Vlaanderen, gebaseerd op steekproef 3000 jongeren)  hebben we vorig jaar gezien

Inferentiële/inductieve = op basis steekproefgegevens conclusies trekken m.b.t. de populatie

 Als 20 procent helemaal akkoord is met invoeren doodstraf  kunnen we dit veralgemenen
naar gehele populatie?
 Hoe waarschijnlijk is het dat dit percentage effectief het percentage ‘helemaal akkoord’ is in
de populatie 15-30 jarigen in Vlaanderen (populatieparameter is een onbekende)?
 Kunnen we dus de populatieproportie schatten op basis van de steekproefproportie?


Voor de volgende lessen, minder belangrijk:
inferentiële statistiek maakt gebruik van
kansrekenen (les 2) en kansverdelingen (les 3),
en de theoretische basis van de
steekproevenverdeling en centrale
limietstelling (les 4)

 2 technieken: hypothesetoetsen (les 5) en betrouwbaarheidsintervallen (les 6)

Significantie = mate waarin je steekproefresultaat waarschijnlijk ook echt geldt voor de populatie, en
niet gewoon toeval is
 20% van steekproef (1.000 jongeren, 15-30j) is "helemaal akkoord" met herinvoering
doodstraf = significant  dan mag je besluiten (bij benadering, met foutmarge) dat het ook
geldt voor alle 15-30-jarigen in Vlaanderen  toevallige uitschieter in jouw steekproef

4. Variabelen: operationalisering en meetniveaus
Variabelen = kenmerken die we observeren, meten of bevragen bij onderzoekseenheden

 Cijfers = kwantitatieve, metrische
 Tekst (string in SPSS) = kwalitatief, categorisch

 nood aan operationalisering: abstract concept vertalen naar iets meetbaars/observeerbaars;
kiezen welke indicator gebruik ik en in welke categorieën vang ik dat op

 Leeftijd: geboortejaar, of aantal jaren OF armoede: % onder de armoededrempel

Hierbij zijn vier meetniveaus:

 Nominaal: categorieën zonder ordening
 Ordinaal: categorieën mét ordening
 Interval: wiskundige waarde, geen absoluut nulpunt
 Ratio: wiskundige waarde, wél absoluut nulpunt

Interval kan ook discreet worden: meestal gehele getallen (bv aantal broers of zussen)

Ratio kan ook continue worden: kan elke waarde binnen interval aannemen (bv lengte)




4

,5. Frequentieverdelingen en grafische weergaven
- Frequentieverdelingen:

 Absolute frequentie: ruwe aantal (kolom: frequency)
 Relatieve frequentie: aandeel in % (kolom: Valid Percent)
 Cumulatieve frequentie: opgeteld tot en met die categorie (kolom: Cumulative Percent)

- Grafische verdelingen:
 Staafdiagram: discrete/categorische data (nominaal/ordinaal)  met ruimte tussen balken
 Taartdiagram: aandelen van een geheel tonen (%), vooral bij weinig categorieën
 Histogram (continue data): continue data (bv. leeftijd, inkomen)  balken raken elkaar, want
de x-as is een doorlopende schaal, geen losse categorieën
 Lijndiagram: evolutie over tijd

Voorbeeld – Anscombe’s quartet: toont vier datasets met identieke statistieken (gemiddelde,
variantie…), maar totaal verschillende patronen als je ze plot (lineair, outlier…)

 De Anscombosaurus drijft dit door: dezelfde cijfers, maar visueel een dinosaurus

Conclusie: cijfers alleen volstaan niet  grafiek toont pas de echte structuur van je data




6. Maten van centraliteit
= één getal dat de waarden van een variabele beschrijft aan de hand van een centrale positie
 Modus = meest voorkomende waarde (vanaf nominaal)
 Mediaan (vanaf ordinaal)
 Kwartielen (verdelen in vier gelijke delen), decielen (tien gelijke), percentielen (honderd)
 Gemiddelde, speciale ‘u’ als teken (vanaf interval)

 DUS:

 Nominaal  enkel modus mogelijk (geen ordening, dus geen mediaan/gemiddelde)
 Ordinaal  modus en mediaan (categorieën zijn geordend, maar afstanden niet gelijk; geen
gemiddelde)
 Interval/ratio  modus, mediaan én gemiddelde mogelijk (gemiddelde vereist wiskundig
zinvolle afstanden)

7. Maten van spreiding
= één getal dat de mate van spreiding van waarden van een variabele uitdrukt

 Variatiebreedte, range = verschil grootste en kleinste waarde (vanaf ordinaal)
 Interkwartielafstand = verschil derde en eerste kwartiel (ordinaal)
 Variatie, kwadratensom, sum of squares = som van gekwadrateerde afwijkingen van
gemiddelde (interval)

5

,  Variantie (interval) = variatie gedeeld door N
 Standaardafwijking = vierkantswortel van variantie (interval)

 DUS:

 Nominaal  geen spreidingsmaat mogelijk (geen ordening)
 Ordinaal  range en Interkwartielafstand
 Interval/ratio  ook variantie en standaardafwijking mogelijk (vereisen wiskundig zinvolle
afstanden)

8. Outliers
Outliers: wijken sterk af van de meerderheid van de observaties  kunnen resultaten vertekenen

 Niet noodzakelijk een inhoudelijke fout in de data, wel een cijfermatige extremiteit

Hoe detecteren?

 Visueel: boxplot (punten buiten de "whiskers"), scatterplot, histogram
 IKA-regel: een waarde is een outlier als ze meer dan 1,5× de interkwartielafstand onder Q1 of
boven Q3 ligt
 Z-score: een waarde is een outlier als ze bv. meer dan 2 of 3 standaardafwijkingen van het
gemiddelde afwijkt

 na detectie: nagaan of het een inhoudelijke fout is (data-invoerfout) of een extreme maar geldige
waarneming, dat bepaalt of je de outlier verwijdert, aanpast, of behoudt




6

,Les 2: Kansrekening

1. Basisconcepten van kansrekenen
Kansexperiment = experiment waarvan de uitkomst door toeval wordt bepaald  mogelijke
uitkomsten zijn wel gekend; experiment kan herhaald worden en herhaalde experimenten = onafh.

Uitkomstenruimte (Ω) = verzameling van alle mogelijke uitkomsten

 Voor meerdere observaties: best visualiseren voor boomdiagram
 Gebeurtenis = subset/deelverzameling van uitkomsten  meestal aangeduid
met hoofdletter: gebeurt. A = “een zes gooien”; B = even aantal ogen gooien

Het concept kans = maat voor de waarschijnlijkheid van een bepaalde uitkomst of
gebeurtenis in een kansexperiment  altijd tussen 0 en 1

 Aangeduid met grote letter ‘P’: P(6) = 1/6

3 benaderingen van kans:

1) Theoretische kans: op voorhand theoretisch te bepalen (vb kans om lotto te bepalen)

 Regel van Laplace in een uniforme kansverdeling (= alle uitkomsten hebben eenzelfde kans)
 Bv – meer dan 4 gooien: P = 2/6
 Probleem: soms onmogelijk om theoretische kans te bepalen (bv
punaise  onmogelijk om kans te berekenen)

2) Empirische kans: bepaalt kans van gebeurtenis door ze heel vaak te observeren en het aandeel te
nemen van de keren dat die gebeurtenis voorkomt  redeneren via meten, tellen, herh. (≠theorie)

 n = aantal uitgevoerde experimenten/observaties: fA = aantal keer dat A optreedt
 Bv bij punaise: heel vaak gooien; tellen hoe vaak ze op kop valt; verhouding nemen:
bij 10k worpen, 6.7k op de kop  P = 0,67
 Hoe meer observaties, hoe beter schatting  blijft altijd benadering, kunt niet blijven meten

- Wet van grote aantallen – Jakob Bernoulli: toeval lijkt chaotisch op korte termijn  MAAR op lange
termijn duiken stabiele patronen op

 Belang van onafhankelijkheid: veel voorkomende fout – als ik 20 keer geen 6 gooi, moet de
21ste worp toch wel een 6 zijn  niet waar: P = nog steeds 1/6

3) Subjectieve kans: soms onmogelijk om zeer veel observaties uit te voeren  in deze situaties
moeten we ons baseren op oordeelsvorming, expertise of redenering

 Vb: wat is kans dat je in je leven getroffen wordt door een dodelijke meteoriet?
 Bayesiaanse statistiek sluit hierbij aan: je vertrekt van een a priori kans (=eerste inschatting o.b.v. wat je al
weet)  verzameling nieuwe info  aanpassing tot a posteriori kans (=houdt rekening met nieuwe data)

Doorsnede van gebeurtenissen (intersection): van gebeurtenissen A en B impliceert
dat beide gebeurtenissen tegelijk voorkomen

 Voorbeeld: gebeurt A = kaart is aas, P = 4/52; B = kaart is harten, P = 13/52
 doorsnede – kaart is aas en behoort tot de harten: 1/52


7

,Disjuncte gebeurtenissen (disjoint events): gebeurtenissen die geen enkele uitkomst gemeensch.
hebben  sluiten elkaar uit, komen niet tegelijk uit = NIET onafhankelijk

 Vb: kans op aas en kans op koning  deze kans is onmogelijk, P = 0/52

Unie van gebeurtenissen: kans dat gebeurtenis A, gebeurtenis B of beide tegelijk komen

 Azen = 4; harten = 13; overlap (A ∩ B) = 1 (harten aas)
 Formule:
 Dus P(A ∪ B) = 16/52


2. Rekenregels voor kansen
3 basisregels:

1) Complementregel: complement van een gebeurtenis A, alle uitkomsten in uitkomstenruimte die
niet tot A behoren
 Notatie: A^c
 Complementen zijn per definitie disjunct
 Voorbeeld: P(geen 6 gooien) = 1 – 1/6 = 5/6

2) Somregel: kans op unie van gebeurtenis A en B (zie ook ‘unie van gebeurtenissen’)

 Bij disjuncte gebeurtenissen: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
 Bij niet-disjuncte gebeurtenissen: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
 Voorbeeld: P(aas of harten) = 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52

3) Productregel: kans dat gebeurtenis A en gebeurtenis B voorkomen, op voorwaarde dat deze
onafhankelijk zijn, is gelijk aan het product van de kans op A en de kans op B

 Formule:
 Voorbeelden: kans om drie examenvragen correct te raden; kans dat 1 ste en 2de kind = meisje;
kans op 2× kop bij muntworp = 1/2 · 1/2 = 1/4

3. Voorwaardelijke kansen
= afhankelijke gebeurtenissen: gebeurtenis waarbij de kans op de ene gebeurtenis wel invloed heeft
op de kans op de andere gebeurtenis

 Vb: fastfoodketen lanceert nieuwe hamburger en maakt hier reclame voor op tv; de winkel
bevraagt 2000 klanten in de winkel (dus reclame gezien; aankoop burger)

 onafhankelijke -: gebeurtenissen waarbij kans op de ene gebeurtenis geen
invloed heeft op kans andere gebeurtenis (vb kans op meisje bij geboorte)

Twee versies van productregel:

1) A en B zijn niet onafhankelijk
 In formule is P(B∣A) = kans dat B gebeurt indien A al is gebeurd; je gebruikt dit dus als
A invloed heeft op B
 Vb: kans dat iemand rookt (A) en longkanker heeft (B)  B is afhankelijk van A want
roken verhoogt kans op longkanker

8