WPO 9: AANVAARDINGSINTERVALLEN EN Z-TEST
Dit zijn dezelfde formules als bij WPO8:
De betrouwbaarheid en de foutmarge:
Als je een uitspraak doet wil je een bepaalde mate van zekerheid, dit noemen we de betrouw-
baarheid (C).
Bv: je wil voor 95% zeker zijn, dan is er 5% kans dat je er naast zit, dat is de foutmarge α.
Samen is dat altijd 100%
Waarom delen we de fout door 2?
De marge heeft 2 kanten, een ondergrens en een bovengrens.
Bij 5% foutmarge is er dus 2,5% kans dat het échte percentage nog lager is dan de ondergrens
en 2,5% kans dat het nog hoger is dan de bovengrens.
De kritische Z-waarde z* is de breedte van jouw vangnet. Die wordt uitgedrukt in een standaard-
maat, terug te vinden in tabel D.
De basisformule:
Het ± teken betekent dat je een ondergrens en een bovengrens berekent.
Er staat eigenlijk ‘jouw schatting ± de foutmarge’
Als je testgroepje gemiddeld 20 uur meegaat en je foutmarge is 2 uur dan zeg je:
‘ik schat dat de batterij tussen de 18 en 22 uur meegaat (dus -2 en +2)
De formule bestaat uit 3 onderdelen die samen de foutmarge bepalen:
x- Het steekproefgemiddelde: dit is je startpunt, dus het gemiddelde dat je hebt gemeten met
jouw testgroepje
σ en n (De standaardfout: ) dit meet hoe ‘veilig’ je meting is.
σ sigma is standaardafwijking (de spreiding) in de hele populatie
n is het aantal telefoons, hoe meer je er test, hoe kleiner je fout wordt en hoe preciezer je resul-
taat.
z* de zekerheidsfactor: dit is een getal dat bepaalt hoe zeker je wilt zijn van de zaak.
Wil je voor 95% zeker zijn of is 90% genoeg? Hoe zekerder, hoe groter het getal wordt en hoe
breder je interval wordt.
,Wat is het verschil tussen betrouwbaarheidsinterval en aanvaardingsinterval?
Stel je voor: op school zegt men dat de gemiddelde student 30 uur studeert voor de examens.
Je vraagt dit na bij een groepje van 50 studenten en ontdekt dat dit groepje gemiddeld 32u
studeert.
Bij het betrouwbaarheidsinterval neem je dat groepje als startpunt. Je weet dat de hele school
niet exact 32u studeert, je hebt maar 50 mensen gesproken.
Je bouwt een marge in rond de 32u, bv van 31u tot 33u.
Je kan dan zeggen: op basis van mijn groepje ben ik 95% zeker dat het ergens tussen 31 en
33u ligt.
Bij het aanvaardingsinterval start je bij de 30u die de school vernoemt. Je bouwt een marge in
rond de 30u, bv van 29u tot 31u.
Als je nu kijkt naar het groepje van 32 uur dan valt die 32u niet binnen het gebied van de school
(29-31u).
Dus bij een betrouwbaarheidsinterval start je bij jouw eigen meting en bij een
aanvaardingsinterval start je bij een bewering van iemand anders om te controleren of jouw
meting daar wel logisch bij past.
= ligt het echte populatiegemiddelde binnen het betrouwbaarheidsinterval?
= valt het gemiddelde van mijn gemeten groepje binnen het aanvaardbare
gebied AI?
Pagina 2
, Hier gaan we schatten hoe de ‘grote wereld’ (de populatie) eruitziet door te kijken naar een klein
groepje dat we wél onderzocht hebben (steekproef).
We gebruiken dus een klein groepje mensen om te voorspellen hoe de héle grote groep in el-
kaar zit, en we gebruiken kansberekening om te controleren of we er niet toevallig naast zitten.
Omdat een steekproef altijd een beetje door toeval kan afwijken gebruiken we kansberekening
om te bepalen hoe betrouwbaar onze conclusie is.
2 inferentiemethodes (wiskundige tweelingen)
Deze methodes gebruiken exact dezelfde logica maar tonen het resultaat op een andere ma-
nier.
Methode 1: het aanvaardingsinterval (AI)
Je berekent een fysiek gebied (een ondergrens en een bovengrens) rondom de bewering van
de nulhypothese (µ0)
Je kijkt of jouw gemeten steekproefgemiddelde x- binnen dit gebied valt (x- Є AI?)
Valt x- erbuiten dan verwerp je de bewering.
Methode 2: de significatietoets (de p-waarde z-test)
In plaats van een gebied of scores te berekenen, bereken je hier een kans (p)
Je berekent hoe groot de kans is dat je puur door toeval een groepje vindt dat nog extremer
scoort dan jouw x- als de bewering van de nulhypothese klopt. Is die kans heel erg klein (bv
kleiner dan je gekozen foutmarge α = 5%) dan verwerp je de bewering.
De interpretatie: 95% betrouwbaarheid betekent dat 95 van de 100 berekende intervallen de
échte waarheid netjes zullen vangen. 5 van de 100 intervallen zullen er door puur pech of toeval
volledig naast zitten.
GOEDE INTERPRETATIE:
‘Als we deze procedure heel vaak herhalen zal 95% van de berekende intervallen het echte po-
pulatiegemiddelde bevatten. Op basis van onze steekproef schatten we met 95% zekerheid dat
het echte gemiddelde tussen grens A en grens B ligt.
FOUTE INTERPRETATIE:
Er is 95% kans dat het echte populatiegemiddelde exact 32 is. (fout, want de echte waarde is
één vast, geheim getal. Het lift erin of het ligt er niet in.)
Pagina 3
Dit zijn dezelfde formules als bij WPO8:
De betrouwbaarheid en de foutmarge:
Als je een uitspraak doet wil je een bepaalde mate van zekerheid, dit noemen we de betrouw-
baarheid (C).
Bv: je wil voor 95% zeker zijn, dan is er 5% kans dat je er naast zit, dat is de foutmarge α.
Samen is dat altijd 100%
Waarom delen we de fout door 2?
De marge heeft 2 kanten, een ondergrens en een bovengrens.
Bij 5% foutmarge is er dus 2,5% kans dat het échte percentage nog lager is dan de ondergrens
en 2,5% kans dat het nog hoger is dan de bovengrens.
De kritische Z-waarde z* is de breedte van jouw vangnet. Die wordt uitgedrukt in een standaard-
maat, terug te vinden in tabel D.
De basisformule:
Het ± teken betekent dat je een ondergrens en een bovengrens berekent.
Er staat eigenlijk ‘jouw schatting ± de foutmarge’
Als je testgroepje gemiddeld 20 uur meegaat en je foutmarge is 2 uur dan zeg je:
‘ik schat dat de batterij tussen de 18 en 22 uur meegaat (dus -2 en +2)
De formule bestaat uit 3 onderdelen die samen de foutmarge bepalen:
x- Het steekproefgemiddelde: dit is je startpunt, dus het gemiddelde dat je hebt gemeten met
jouw testgroepje
σ en n (De standaardfout: ) dit meet hoe ‘veilig’ je meting is.
σ sigma is standaardafwijking (de spreiding) in de hele populatie
n is het aantal telefoons, hoe meer je er test, hoe kleiner je fout wordt en hoe preciezer je resul-
taat.
z* de zekerheidsfactor: dit is een getal dat bepaalt hoe zeker je wilt zijn van de zaak.
Wil je voor 95% zeker zijn of is 90% genoeg? Hoe zekerder, hoe groter het getal wordt en hoe
breder je interval wordt.
,Wat is het verschil tussen betrouwbaarheidsinterval en aanvaardingsinterval?
Stel je voor: op school zegt men dat de gemiddelde student 30 uur studeert voor de examens.
Je vraagt dit na bij een groepje van 50 studenten en ontdekt dat dit groepje gemiddeld 32u
studeert.
Bij het betrouwbaarheidsinterval neem je dat groepje als startpunt. Je weet dat de hele school
niet exact 32u studeert, je hebt maar 50 mensen gesproken.
Je bouwt een marge in rond de 32u, bv van 31u tot 33u.
Je kan dan zeggen: op basis van mijn groepje ben ik 95% zeker dat het ergens tussen 31 en
33u ligt.
Bij het aanvaardingsinterval start je bij de 30u die de school vernoemt. Je bouwt een marge in
rond de 30u, bv van 29u tot 31u.
Als je nu kijkt naar het groepje van 32 uur dan valt die 32u niet binnen het gebied van de school
(29-31u).
Dus bij een betrouwbaarheidsinterval start je bij jouw eigen meting en bij een
aanvaardingsinterval start je bij een bewering van iemand anders om te controleren of jouw
meting daar wel logisch bij past.
= ligt het echte populatiegemiddelde binnen het betrouwbaarheidsinterval?
= valt het gemiddelde van mijn gemeten groepje binnen het aanvaardbare
gebied AI?
Pagina 2
, Hier gaan we schatten hoe de ‘grote wereld’ (de populatie) eruitziet door te kijken naar een klein
groepje dat we wél onderzocht hebben (steekproef).
We gebruiken dus een klein groepje mensen om te voorspellen hoe de héle grote groep in el-
kaar zit, en we gebruiken kansberekening om te controleren of we er niet toevallig naast zitten.
Omdat een steekproef altijd een beetje door toeval kan afwijken gebruiken we kansberekening
om te bepalen hoe betrouwbaar onze conclusie is.
2 inferentiemethodes (wiskundige tweelingen)
Deze methodes gebruiken exact dezelfde logica maar tonen het resultaat op een andere ma-
nier.
Methode 1: het aanvaardingsinterval (AI)
Je berekent een fysiek gebied (een ondergrens en een bovengrens) rondom de bewering van
de nulhypothese (µ0)
Je kijkt of jouw gemeten steekproefgemiddelde x- binnen dit gebied valt (x- Є AI?)
Valt x- erbuiten dan verwerp je de bewering.
Methode 2: de significatietoets (de p-waarde z-test)
In plaats van een gebied of scores te berekenen, bereken je hier een kans (p)
Je berekent hoe groot de kans is dat je puur door toeval een groepje vindt dat nog extremer
scoort dan jouw x- als de bewering van de nulhypothese klopt. Is die kans heel erg klein (bv
kleiner dan je gekozen foutmarge α = 5%) dan verwerp je de bewering.
De interpretatie: 95% betrouwbaarheid betekent dat 95 van de 100 berekende intervallen de
échte waarheid netjes zullen vangen. 5 van de 100 intervallen zullen er door puur pech of toeval
volledig naast zitten.
GOEDE INTERPRETATIE:
‘Als we deze procedure heel vaak herhalen zal 95% van de berekende intervallen het echte po-
pulatiegemiddelde bevatten. Op basis van onze steekproef schatten we met 95% zekerheid dat
het echte gemiddelde tussen grens A en grens B ligt.
FOUTE INTERPRETATIE:
Er is 95% kans dat het echte populatiegemiddelde exact 32 is. (fout, want de echte waarde is
één vast, geheim getal. Het lift erin of het ligt er niet in.)
Pagina 3
