WPO 7: NORMAALBENADERING BIJ BINOMIALE VERDELINGEN VAN
PROPORTIES – CENTRALE LIMIETSTELLING
VOORBEELD NORMAALBENADERING VAN EEN BINOMIALE VERDELING MET
CONTINUÏTEITSCORRECTIE
Gegevens bepalen:
Steefproefomvang (n): 70 studenten
Succeskans (p): 0,40 (kans dat een student slaagt)
Faalkans (1-p): 0,60
Gevraagde proportie: minstens 48% P(p^>=0,48)
Parameters van de verdeling berekenen:
De binomiale verdeling B(70;0,4) wordt benaderd met een normale verdeling N(µ,σ²):
Gemiddelde µ = n.p = 70 . 0,40 = 28
Variantie σ² = n . p . (1-p) = 70 . 0,40 . 0,60 = 16,80
Standaardafwijking σ = √16,80 = 4,0988
Proportie omzetten naar aantal:
De grens van 48% van 70 studenten is 0,48 X 70 = 33,60
Dit geeft de discrete kans: P(X>=33,60)
Continuïteitscorrectie toepassen CC:
We moeten de grens aanpassen. Bij een ‘groter dan of gelijk aan’ kans (pijl naar rechts >=)
trekken we 0,5 van het aantal af.
Nieuwe grens: 33,60 – 0,50 = 33,10
P(X>=33,10)
Standaardiseren naar de Z-score:
Grens X-µ 33,1 – 28 5,1
Z = -------------- = --------------- = ------------- = 1,2443
σp^ 4,0988 4,0988
,De kans berekenen:
Opzoeken in Tabel A:
We ronden z = 1,2443 af naar 1,24 en splitsen op in rij 1,2 en kolom 0,04
Daar staat waarde 0,8925 (dit is de kans linksaf)
Let op de tabel kan alleen maar ‘kleiner dan’ dus ‘linksaf’ lezen, maar hier vragen ze groter of
gelijk aan, dus de rechterkant (48 of meer, >=48, de pijl wijst naar rechts dus 1 minus truc).
De totale curve 1 – de waarde van de Z-score
1-0, 8925 = 0,1075 = 10,75% kans
Bij een heel grote steekproef zoals hier n = 2500 werkt de normaalbenadering voor proporties
perfect.
We kunnen een ingewikkeld kansprobleem met percentages (proporties) eenvoudig berekenen
met een vloeiende klokcurve (normaalverdeling)
We weten dat een binomiale verdeling gaat over een vraag waar er maar 2 antwoorden moge-
lijk zijn. (ja of nee, goed of fout,…)
Een normaalverdeling noteren we altijd met de letter N en 2 waarden tussen de haakjes.
Pagina 2
, De eerste waarde is altijd het gemiddelde en de tweede waarde altijd de variantie.
Dus: N(µ; σ²)
De variantie σ² is de standaardafwijking σ in het kwadraat.
Als je de uitslag van zo’n onderzoek in een grafiek zet krijg je allemaal losse staafjes. Bij grote
groepen is rekenen met losse staafje heel tijdrovend.
Als je steekproef groot genoeg is gaan die losse staafjes een vloeiende klokcurve aannemen
(de normale verdeling). We mogen nu de vloeiende lijn gebruiken, dat rekent veel sneller.
Om dit te mogen doen zijn er wel enkele voorwaarden:
De veiligheidscheck: minstens 10 successen en minstens 10 mislukkingen
n.p>=10 en n.q>=10
Als de waarden hoger zijn dan 10 dan mag je de klokcurve gebruiken.
Elke klokcurve heeft 2 getallen nodig om te weten hoe hij eruitziet:
waar ligt het midden (het gemiddelde)? En hoe breed is de curve (de standaardafwijking)?
Het midden, het gemiddelde:
Als er in de hele database 60% van de mensen slaagt dan is de kans het grootst dat er in jouw
steekproef ook ongeveer 60% slaagt. Het midden van de klokcurve ligt dus exact op p =0,60
De breedte, de standaardafwijking:
Dit laat zien hoeveel jouw steekproef mag afwijken van het midden.
Logisch: hoe groter jouw steekproef (n) is, hoe kleiner de afwijking zal zijn.
De curve wordt dan heel smal en nauwkeuring rond het midden.
De standaardafwijking van een proportie bereken je met deze formule:
Als we dit samenvoegen in de standaardnotitie van de normaalverdeling N(µ,σ²) krijgen we:
Pagina 3
PROPORTIES – CENTRALE LIMIETSTELLING
VOORBEELD NORMAALBENADERING VAN EEN BINOMIALE VERDELING MET
CONTINUÏTEITSCORRECTIE
Gegevens bepalen:
Steefproefomvang (n): 70 studenten
Succeskans (p): 0,40 (kans dat een student slaagt)
Faalkans (1-p): 0,60
Gevraagde proportie: minstens 48% P(p^>=0,48)
Parameters van de verdeling berekenen:
De binomiale verdeling B(70;0,4) wordt benaderd met een normale verdeling N(µ,σ²):
Gemiddelde µ = n.p = 70 . 0,40 = 28
Variantie σ² = n . p . (1-p) = 70 . 0,40 . 0,60 = 16,80
Standaardafwijking σ = √16,80 = 4,0988
Proportie omzetten naar aantal:
De grens van 48% van 70 studenten is 0,48 X 70 = 33,60
Dit geeft de discrete kans: P(X>=33,60)
Continuïteitscorrectie toepassen CC:
We moeten de grens aanpassen. Bij een ‘groter dan of gelijk aan’ kans (pijl naar rechts >=)
trekken we 0,5 van het aantal af.
Nieuwe grens: 33,60 – 0,50 = 33,10
P(X>=33,10)
Standaardiseren naar de Z-score:
Grens X-µ 33,1 – 28 5,1
Z = -------------- = --------------- = ------------- = 1,2443
σp^ 4,0988 4,0988
,De kans berekenen:
Opzoeken in Tabel A:
We ronden z = 1,2443 af naar 1,24 en splitsen op in rij 1,2 en kolom 0,04
Daar staat waarde 0,8925 (dit is de kans linksaf)
Let op de tabel kan alleen maar ‘kleiner dan’ dus ‘linksaf’ lezen, maar hier vragen ze groter of
gelijk aan, dus de rechterkant (48 of meer, >=48, de pijl wijst naar rechts dus 1 minus truc).
De totale curve 1 – de waarde van de Z-score
1-0, 8925 = 0,1075 = 10,75% kans
Bij een heel grote steekproef zoals hier n = 2500 werkt de normaalbenadering voor proporties
perfect.
We kunnen een ingewikkeld kansprobleem met percentages (proporties) eenvoudig berekenen
met een vloeiende klokcurve (normaalverdeling)
We weten dat een binomiale verdeling gaat over een vraag waar er maar 2 antwoorden moge-
lijk zijn. (ja of nee, goed of fout,…)
Een normaalverdeling noteren we altijd met de letter N en 2 waarden tussen de haakjes.
Pagina 2
, De eerste waarde is altijd het gemiddelde en de tweede waarde altijd de variantie.
Dus: N(µ; σ²)
De variantie σ² is de standaardafwijking σ in het kwadraat.
Als je de uitslag van zo’n onderzoek in een grafiek zet krijg je allemaal losse staafjes. Bij grote
groepen is rekenen met losse staafje heel tijdrovend.
Als je steekproef groot genoeg is gaan die losse staafjes een vloeiende klokcurve aannemen
(de normale verdeling). We mogen nu de vloeiende lijn gebruiken, dat rekent veel sneller.
Om dit te mogen doen zijn er wel enkele voorwaarden:
De veiligheidscheck: minstens 10 successen en minstens 10 mislukkingen
n.p>=10 en n.q>=10
Als de waarden hoger zijn dan 10 dan mag je de klokcurve gebruiken.
Elke klokcurve heeft 2 getallen nodig om te weten hoe hij eruitziet:
waar ligt het midden (het gemiddelde)? En hoe breed is de curve (de standaardafwijking)?
Het midden, het gemiddelde:
Als er in de hele database 60% van de mensen slaagt dan is de kans het grootst dat er in jouw
steekproef ook ongeveer 60% slaagt. Het midden van de klokcurve ligt dus exact op p =0,60
De breedte, de standaardafwijking:
Dit laat zien hoeveel jouw steekproef mag afwijken van het midden.
Logisch: hoe groter jouw steekproef (n) is, hoe kleiner de afwijking zal zijn.
De curve wordt dan heel smal en nauwkeuring rond het midden.
De standaardafwijking van een proportie bereken je met deze formule:
Als we dit samenvoegen in de standaardnotitie van de normaalverdeling N(µ,σ²) krijgen we:
Pagina 3
