Samenvatting Cheatsheet Wiskunde II voor HIR (2026) - 18/20

Vrije Universiteit Brussel



Overzicht extrema (H1)
Ongebonden extrema
2 veranderlijken 𝒏 veranderlijken
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑧 = 𝑓(𝑥) , 𝑥( , … , 𝑥* )

Nodige voorwaarde: Nodige voorwaarde:
!" !" !" !"
*!# + =0 *!' + =0 *!# + =0 … *!# + =0
$,& $,& " $" ,…,$# # $" ,…,$#



Voldoende voorwaarde: Voldoende voorwaarde:
𝜕(𝑓 𝜕(𝑓 𝜕(𝑓 𝜕(𝑓 𝜕(𝑓
6 (8 6 8 ⋯
⎛ 𝜕𝑥 $,& 𝜕𝑥𝜕𝑦 $,& ⎞ (
⎛ 𝜕𝑥) 𝜕𝑥) 𝜕𝑥( 𝜕𝑥)( ⎞
𝐻" (𝑎, 𝑏) = det ⎜ ( ⎟>0 (
⎜ 𝜕 𝑓 𝜕(𝑓 𝜕(𝑓 ⎟
𝜕 𝑓 𝜕(𝑓
6 8 6 (8 ⋯
𝐻, = det ⎜𝜕𝑥( 𝜕𝑥) 𝜕𝑥(( 𝜕𝑥( 𝜕𝑥, ⎟
⎝ 𝜕𝑥𝜕𝑦 $,& 𝜕𝑦 $,& ⎠
⎜ ⎟
Indien < 0: zadelpunt ⎜ (⋮ ⋮ ⋮ ⎟
𝜕 𝑓 𝜕(𝑓 𝜕(𝑓
⋯
⎝𝜕𝑥, 𝜕𝑥) 𝜕𝑥, 𝜕𝑥( 𝜕𝑥,( ⎠
MAX of MIN?
!! " MAX of MIN?
• *!# ! + > 0: minimum
$,& • 𝐻) > 0, 𝐻( > 0, … , 𝐻* > 0: minimum
!! "
• *!# ! + < 0: maximum • 𝐻) < 0, 𝐻( > 0, … , (−1), 𝐻* > 0: max.
$,&




Academiejaar 2025-2026 1

, Vrije Universiteit Brussel


Gebonden extrema: Lagrange
2 veranderlijken
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en 𝑧 = 𝐺(𝑥, 𝑦)

Nodige voorwaarde:
Maximaliseer 𝑓(𝑥, 𝑦) onderworpen aan 𝐺(𝑥, 𝑦) = 0
⇒ 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜆 ⋅ 𝐺(𝑥, 𝑦)


Voldoende voorwaarde:
𝜕(𝐿 𝜕(𝐿 𝜕𝐺
(
│
⎛ 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 ⎞
(
⎜𝜕 𝐿 𝜕(𝑓 𝜕𝐺 ⎟
J = det ⎜
𝐻 │ ⎟
⎜𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑦 ⎟
⎜ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎟
𝜕𝐺 𝜕𝐺
│ 0
⎝ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⎠

MAX of MIN?
• 𝐻 J < 0: minimum
• 𝐻 J > 0: maximum

𝒏 veranderlijken
𝑧 = 𝑓(𝑥) , 𝑥( , … , 𝑥* ) en 𝑧 = 𝐺) (𝑥) , … , 𝑥* ) = 0 en … en 𝑧 = 𝐺- (𝑥) , … , 𝑥* ) = 0

Nodige voorwaarde:
Maximaliseer 𝑓(𝑥) , … , 𝑥* ) onderworpen aan 𝐺) = 0, 𝐺( = 0, … , 𝐺- = 0

⇒ 𝐿(𝑥) , … , 𝑥* , 𝜆) , … , 𝜆- ) = 𝑓(𝑥) , … , 𝑥* ) + 𝜆) ⋅ 𝐺) (𝑥) , … , 𝑥* ) + ⋯ + 𝜆- ⋅ 𝐺- (𝑥) , … , 𝑥* )


Voldoende voorwaarde:
𝜕(𝐿 𝜕(𝐿 𝜕(𝐿 𝜕𝐺) 𝜕𝐺-
( ⋯ │ ⋯
⎛ 𝜕𝑥) 𝜕𝑥) 𝜕𝑥( 𝜕𝑥) 𝜕𝑥. 𝜕𝑥) 𝜕𝑥) ⎞
⎜ ⋮ ⋮ ⋮ │ ⋮ ⋮ ⎟
⎜ ( ( ( ⎟
⎜ 𝜕 𝐿 𝜕 𝐿 𝜕 𝐿 𝜕𝐺 ) 𝜕𝐺- ⎟
⋯ ( │ ⋯
𝜕𝑥
⎜ . ) 𝜕𝑥 𝜕𝑥. 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑥. 𝜕𝑥 . 𝜕𝑥. ⎟
J
𝐻. = det ⎜ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ ⎟ met i = m + 1, … , n
⎜ 𝜕𝐺 𝜕𝐺 𝜕𝐺
0 ⎟
) ) )
⋯ │ 0 ⋯
⎜ 𝜕𝑥) 𝜕𝑥( 𝜕𝑥. ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⋮ ⋮ ⋮ │ ⋮ ⋮ ⎟
𝜕𝐺- 𝜕𝐺- 𝜕𝐺-
⋯ │ 0 ⋯ 0
⎝ 𝜕𝑥) 𝜕𝑥( 𝜕𝑥. ⎠
MAX of MIN?
• (−1)- ⋅ 𝐻 J. > 0: minimum (= alle 𝐻
J. ’s hebben zelfde teken)
. J J
• (−1) ⋅ 𝐻. > 0: maximum (=𝐻. ’s alterneren)


Academiejaar 2025-2026 2