Vrije Universiteit Brussel
Statistiek II: samenvatting
Statistiek I: beschrijvende statistiek (gegevens weergeven & samenvatten)
Statistiek II: inferentiële statistiek (steekproef gebruiken om iets te vertellen over populatie)
• Hoofdstuk 10: sampling distributions
• Hoofdstuk 11 t/m 15: hypothesis testing
• Hoofdstuk 4, 16 & 17: correlatie en regressie
• Hoofdstuk 23: non-parametric methods
Korte herhaling statistiek I
Types variabelen
Categorisch: de waarden zijn de namen van categorieën
• Nominaal: geen rangorde (bv. geslacht)
• Ordinaal: wel rangorde (bv. opleidingsniveau)
• Dichotome (binaire) waarde: ja/nee, aangeduid als 1/0
Kwantitatief: de waarden zijn numerieke hoeveelheden
• Discreet: gehele getallen (bv. aantal fouten)
• Continu: reëel getal (bv. lengte)
Bernouilli-trial
= experiment met kans op succes 𝑝 en kans op mislukking 1 − 𝑝
→ er zijn maar 2 mogelijke uitkomsten
Als je dit experiment (de Bernouilli-trial) 𝑛 keer uitvoert krijg je een binomiaal model
Bovendien: als 𝑛 zeer groot wordt, wordt de grafiek Normaal verdeeld, waarbij:
𝐸(𝑥) = 𝑛 × 𝑝 𝑆𝐷(𝑥) = -𝑛𝑝𝑞
Academiejaar 2025-2026 1
,Vrije Universiteit Brussel
10 Steekproevenverdelingen en
betrouwbaarheidsintervallen voor proporties
10.1 Verdeling van steekproefproporties
Populatie: over wie/wat wil je een uitspraak doen?
Steekproef: mensen die je effectief ondervraagt/bestudeert
Parameter: proportie 𝑝 in de populatie (‘werkelijke’ waarde)
Statistiek/steekproefproportie: proportie 𝑝̂ in de steekproef
Steekproevenverdeling: wat is de variabiliteit in steekproefproportie 𝑝̂ ?
Vb: Visa wil een bonus geven aan klanten die hun bestedingen ↗ met minstens $800
Welke fractie van de klanten zal dat doen? (Onbekende parameter: populatiefractie p)
Om schatting te maken: het aanbod naar een aselecte steekproef van 1000 klanten sturen:
211 klanten verhogen de bestedingen met minstens $800:
!""
→ steekproefproportie = 𝑝̂ = "### = 0,211 (= schatting v/d onbekende parameter)
Als een onderzoek heel vaak opnieuw wordt gedaan: er worden meestal 𝑝̂ gevonden rond 𝑝
Steekproevenvariabiliteit = het feit dat er een verschil zit tussen verschillende
steekproefproporties 𝑝̂
→ je krijgt een Normale verdeling
Hierdoor kunnen we de 68%-95%-99,7%-regel toepassen
Waarden < 0,16 en > 0,24 zijn extreem zeldzaam
De meeste steekproefproporties liggen tussen 0,18 en 0,22
We weten: 𝐸(𝑋) = 𝑛 × 𝑝 𝑆(𝑥) = -𝑛𝑝𝑞
$
Bovendien: 𝑘 successen in 𝑛 experimenten leidt tot fractie %
𝑋 1 1
𝐸 B C = × 𝐸(𝑥) = × 𝑛 × 𝑝 = 𝑝
𝑛 𝑛 𝑛
𝑋 1 𝑝𝑞
𝑆𝐷 B C = -𝑛𝑝𝑞 = E
𝑛 |𝑛| 𝑛
&'
Het steekproevenverdelingsmodel voor de steekproefproportie: 𝑁~ B𝑝, E % C
Academiejaar 2025-2026 2
,Vrije Universiteit Brussel
10.1.1 In de praktijk
• Variabiliteit niet te checken: 𝑝 is onbekend
• Meestal maar 1 steekproef getrokken
o Hiermee wel te voorspellen hoe de verschillende steekproefproporties zullen
variëren van steekproef tot steekproef
o …en zo toch een beslissing nemen a.d.h.v. 1 steekproef
Aangezien we met het Normaalmodel werken: z-scores te berekenen voor 𝑝 en 𝑝̂
𝒑
J−𝒑
𝒛=
𝑺𝑫(𝒑
J)
Op die manier: kans berekenen om proportie groter dan vooropgestelde 𝑝̂ te bekomen
→ hoe uitzonderlijk is bekomen van een proportie groter dan 𝑝̂ ?
Vb: we weten dat in een populatie 30% van internetgebruikers ingeschreven is voor een tv-pakket.
Onderzoeker zet survey op met 𝑛 = 100. Blijkbaar hebben 49 respondenten een pakket.
Hoe uitzonderlijk is het om 𝑝̂ = 49% te bekomen, gegeven de populatieproportie en
steekproefgrootte?
0,49 − 0,30
𝑧= = 4,13
E0,3 × 0,7
100
Meer dan 4 standaarddeviaties groter dan het gemiddelde: zeer uitzonderlijk!
10.1.2 Assumpties
1. ONAFHANKELIJKHEID: steekproefwaarden zijn onafhankelijk van elkaar
a. ASELECTE KEUZE:
• Experiment: toekenning deelnemers aan controle-/interventiegroep moet
random zijn
• Survey: enkelvoudige aselecte steekproef uit populatie
• Andere opzet: steekproef mag niet vertekend zijn: data moet representatief zijn
voor populatie
b. 10% CONDITIE: als er geen teruglegging is bij steekproeftrekking: 𝑛 moet kleiner zijn
dan 10% van de populatie
2. STEEKPROEFGROOTTE: 𝑛 is voldoende groot. Het aantal (verwachte)) successen en aantal
(verwachte) mislukkingen moet minstens 10 zijn:
𝑛𝑝 ≥ 10 𝑛𝑞 ≥ 10
10.2 Betrouwbaarheidsinterval voor een proportie
Vb: er wordt een enquête uitgevoerd met 3559 respondenten: 1495 mensen denken dat economie
"()*
zal groeien → 𝑝̂ = +**) = 42%
→ kunnen we nu iets zeggen over wat de volledige populatie 𝑝 denkt?
Academiejaar 2025-2026 3
, Vrije Universiteit Brussel
&'
Om 𝑆𝐷(𝑝̂ ) = E % te berekenen hebben we de onbekende 𝑝 nodig: probleem
&,', #,(!×#,*/
→ standaardfout = 𝑆𝐸(𝑝̂ ) = E % = E +**)
= 0,008
→ we kunnen verwachten dat ±95% van de steekproeven een 𝑝̂ heeft binnen ±2 SE’s van 𝑝
Dus: we zijn 95% zeker dat 𝑝̂ binnen 2 × 0,008 van 𝑝 ligt
à betrouwbaarheidsinterval = 𝑝̂ ± 𝑧 ⋆ × 𝑆𝐸 = 42% ± 1,96 × 0,8% = [40,4%; 43,6%]
We zijn 95% zeker dat tussen de 40,4% en 43,6% v/d mensen denken dat de eco. zal groeien
10.3 Foutenmarge: zekerheid vs. precisie
Uitdrukking van een BI voor populatieproportie 𝑝:
⋆
𝑝̂ ± 𝑧XY × Y[)
𝑆𝐸(𝑝̂
YZY
foutenmarge ME
Merk op: eerder 2, nu 1,96: 2 is een afronding
De reikwijdte van het interval aan elke kant van 𝑝̂ = foutenmarge (ME)
De foutenmarge geeft informatie over de precisie van de schatting
𝑧 ∗ bepaalt de zekerheid (bv. 95%) dat het interval de werkelijke 𝑝 bevat
→ meer zekerheid: interval vergroten → precisie verlaagt
Precisie kan ook verhogen door 𝑆𝐸 te verlagen
&,',
→ doe je door 𝑛 te verhogen (want: 𝑆𝐸(𝑝̂ ) = E % )
10.3.1 Kritische waarden
De kritische waarde 𝒛⋆ is gebaseerd op het Standaardnormaal model 𝑁~(0,1) en geeft deze
waarden:
BI 𝒛⋆
90% 1,645
95% 1,960
99% 2,576
Want bv: 90% van de waarden ligt binnen 1,645 standaarddeviaties van het gemiddelde
Academiejaar 2025-2026 4
Statistiek II: samenvatting
Statistiek I: beschrijvende statistiek (gegevens weergeven & samenvatten)
Statistiek II: inferentiële statistiek (steekproef gebruiken om iets te vertellen over populatie)
• Hoofdstuk 10: sampling distributions
• Hoofdstuk 11 t/m 15: hypothesis testing
• Hoofdstuk 4, 16 & 17: correlatie en regressie
• Hoofdstuk 23: non-parametric methods
Korte herhaling statistiek I
Types variabelen
Categorisch: de waarden zijn de namen van categorieën
• Nominaal: geen rangorde (bv. geslacht)
• Ordinaal: wel rangorde (bv. opleidingsniveau)
• Dichotome (binaire) waarde: ja/nee, aangeduid als 1/0
Kwantitatief: de waarden zijn numerieke hoeveelheden
• Discreet: gehele getallen (bv. aantal fouten)
• Continu: reëel getal (bv. lengte)
Bernouilli-trial
= experiment met kans op succes 𝑝 en kans op mislukking 1 − 𝑝
→ er zijn maar 2 mogelijke uitkomsten
Als je dit experiment (de Bernouilli-trial) 𝑛 keer uitvoert krijg je een binomiaal model
Bovendien: als 𝑛 zeer groot wordt, wordt de grafiek Normaal verdeeld, waarbij:
𝐸(𝑥) = 𝑛 × 𝑝 𝑆𝐷(𝑥) = -𝑛𝑝𝑞
Academiejaar 2025-2026 1
,Vrije Universiteit Brussel
10 Steekproevenverdelingen en
betrouwbaarheidsintervallen voor proporties
10.1 Verdeling van steekproefproporties
Populatie: over wie/wat wil je een uitspraak doen?
Steekproef: mensen die je effectief ondervraagt/bestudeert
Parameter: proportie 𝑝 in de populatie (‘werkelijke’ waarde)
Statistiek/steekproefproportie: proportie 𝑝̂ in de steekproef
Steekproevenverdeling: wat is de variabiliteit in steekproefproportie 𝑝̂ ?
Vb: Visa wil een bonus geven aan klanten die hun bestedingen ↗ met minstens $800
Welke fractie van de klanten zal dat doen? (Onbekende parameter: populatiefractie p)
Om schatting te maken: het aanbod naar een aselecte steekproef van 1000 klanten sturen:
211 klanten verhogen de bestedingen met minstens $800:
!""
→ steekproefproportie = 𝑝̂ = "### = 0,211 (= schatting v/d onbekende parameter)
Als een onderzoek heel vaak opnieuw wordt gedaan: er worden meestal 𝑝̂ gevonden rond 𝑝
Steekproevenvariabiliteit = het feit dat er een verschil zit tussen verschillende
steekproefproporties 𝑝̂
→ je krijgt een Normale verdeling
Hierdoor kunnen we de 68%-95%-99,7%-regel toepassen
Waarden < 0,16 en > 0,24 zijn extreem zeldzaam
De meeste steekproefproporties liggen tussen 0,18 en 0,22
We weten: 𝐸(𝑋) = 𝑛 × 𝑝 𝑆(𝑥) = -𝑛𝑝𝑞
$
Bovendien: 𝑘 successen in 𝑛 experimenten leidt tot fractie %
𝑋 1 1
𝐸 B C = × 𝐸(𝑥) = × 𝑛 × 𝑝 = 𝑝
𝑛 𝑛 𝑛
𝑋 1 𝑝𝑞
𝑆𝐷 B C = -𝑛𝑝𝑞 = E
𝑛 |𝑛| 𝑛
&'
Het steekproevenverdelingsmodel voor de steekproefproportie: 𝑁~ B𝑝, E % C
Academiejaar 2025-2026 2
,Vrije Universiteit Brussel
10.1.1 In de praktijk
• Variabiliteit niet te checken: 𝑝 is onbekend
• Meestal maar 1 steekproef getrokken
o Hiermee wel te voorspellen hoe de verschillende steekproefproporties zullen
variëren van steekproef tot steekproef
o …en zo toch een beslissing nemen a.d.h.v. 1 steekproef
Aangezien we met het Normaalmodel werken: z-scores te berekenen voor 𝑝 en 𝑝̂
𝒑
J−𝒑
𝒛=
𝑺𝑫(𝒑
J)
Op die manier: kans berekenen om proportie groter dan vooropgestelde 𝑝̂ te bekomen
→ hoe uitzonderlijk is bekomen van een proportie groter dan 𝑝̂ ?
Vb: we weten dat in een populatie 30% van internetgebruikers ingeschreven is voor een tv-pakket.
Onderzoeker zet survey op met 𝑛 = 100. Blijkbaar hebben 49 respondenten een pakket.
Hoe uitzonderlijk is het om 𝑝̂ = 49% te bekomen, gegeven de populatieproportie en
steekproefgrootte?
0,49 − 0,30
𝑧= = 4,13
E0,3 × 0,7
100
Meer dan 4 standaarddeviaties groter dan het gemiddelde: zeer uitzonderlijk!
10.1.2 Assumpties
1. ONAFHANKELIJKHEID: steekproefwaarden zijn onafhankelijk van elkaar
a. ASELECTE KEUZE:
• Experiment: toekenning deelnemers aan controle-/interventiegroep moet
random zijn
• Survey: enkelvoudige aselecte steekproef uit populatie
• Andere opzet: steekproef mag niet vertekend zijn: data moet representatief zijn
voor populatie
b. 10% CONDITIE: als er geen teruglegging is bij steekproeftrekking: 𝑛 moet kleiner zijn
dan 10% van de populatie
2. STEEKPROEFGROOTTE: 𝑛 is voldoende groot. Het aantal (verwachte)) successen en aantal
(verwachte) mislukkingen moet minstens 10 zijn:
𝑛𝑝 ≥ 10 𝑛𝑞 ≥ 10
10.2 Betrouwbaarheidsinterval voor een proportie
Vb: er wordt een enquête uitgevoerd met 3559 respondenten: 1495 mensen denken dat economie
"()*
zal groeien → 𝑝̂ = +**) = 42%
→ kunnen we nu iets zeggen over wat de volledige populatie 𝑝 denkt?
Academiejaar 2025-2026 3
, Vrije Universiteit Brussel
&'
Om 𝑆𝐷(𝑝̂ ) = E % te berekenen hebben we de onbekende 𝑝 nodig: probleem
&,', #,(!×#,*/
→ standaardfout = 𝑆𝐸(𝑝̂ ) = E % = E +**)
= 0,008
→ we kunnen verwachten dat ±95% van de steekproeven een 𝑝̂ heeft binnen ±2 SE’s van 𝑝
Dus: we zijn 95% zeker dat 𝑝̂ binnen 2 × 0,008 van 𝑝 ligt
à betrouwbaarheidsinterval = 𝑝̂ ± 𝑧 ⋆ × 𝑆𝐸 = 42% ± 1,96 × 0,8% = [40,4%; 43,6%]
We zijn 95% zeker dat tussen de 40,4% en 43,6% v/d mensen denken dat de eco. zal groeien
10.3 Foutenmarge: zekerheid vs. precisie
Uitdrukking van een BI voor populatieproportie 𝑝:
⋆
𝑝̂ ± 𝑧XY × Y[)
𝑆𝐸(𝑝̂
YZY
foutenmarge ME
Merk op: eerder 2, nu 1,96: 2 is een afronding
De reikwijdte van het interval aan elke kant van 𝑝̂ = foutenmarge (ME)
De foutenmarge geeft informatie over de precisie van de schatting
𝑧 ∗ bepaalt de zekerheid (bv. 95%) dat het interval de werkelijke 𝑝 bevat
→ meer zekerheid: interval vergroten → precisie verlaagt
Precisie kan ook verhogen door 𝑆𝐸 te verlagen
&,',
→ doe je door 𝑛 te verhogen (want: 𝑆𝐸(𝑝̂ ) = E % )
10.3.1 Kritische waarden
De kritische waarde 𝒛⋆ is gebaseerd op het Standaardnormaal model 𝑁~(0,1) en geeft deze
waarden:
BI 𝒛⋆
90% 1,645
95% 1,960
99% 2,576
Want bv: 90% van de waarden ligt binnen 1,645 standaarddeviaties van het gemiddelde
Academiejaar 2025-2026 4
