Julia Boers
Statistiek
Theorie
, U )
verzamelingenleer
beschrijvende statistiek
inductieve statistiek
relatie steekproef -
en populatie karakteristieken
, 5 C
Statistiek
7 U '
U
Verzamelingenleer
:
lege verzameling
U universele verzameling
:
↳
( ↳renren.am
( >
>
gehele getallen
natuurlijke getallen :
: -3
0,1 2,3
,
,
-2 ,
,
-1,0
. . .
,
1 , 2,3 ,
_ . .
' '
'
is
deelverzameling
'
een :
is element van
van
geen
:
*
(
' ' '
Unie lof )
'
geen deelverzameling
:
:
is van en
'
¢
'
' '
c
> B :
niet elk punt van B ligt in C : doorsnede ( en )
'
verschil ( zonder ) AIB
'
:
bv zonder B
aantal elementen kardinaalgetal A
=
: = .
,
° '
'
)
'
U) A
'
(
'
complement A
:
is een element van
: ' =
alles behalve A
haakte dus nooit
→
resultaat van zo'n bewerking is altijd opnieuw een
verzameling s bv .
{ 12,33 { 1,23 =
{ 33 →
vergeten !
machtsverzameling : alle mogelijke deelverzamelingen van A : 2A
bv . A =
{ a ,
b. c } 7 2A = { / { a } { b} { c) { a. b) { b. c) { al } la , b. c } }
, , , , , , ,
A
> = 2A = 2- 1 bv .
# A =3 , # 2A = 23=8 > resultaat van een kardinaalgetal is steeds een getal
cartesiaans product van verzamelingen of productverzameling 3 # As × Az ) = # An × #
A2
>
verzameling van alle geordende koppels
> An =
{ J ,
H ,
5 } Az = { 1,2 } A1 × Az =
{ ( 7,1 ) ,
( 7,2 ) ,
(H ,
1 ) , (H ,
2) ,
( 5,1 ) ,
( 5,2 ) }
? bij { →
volgorde niet van belang , bij ( →
volgorde wel
belangrijk
'
>
2A is een
verzameling { } . . . ,
A is een product koppel ( ,
. . .
)
partitie :
opsplitsing van een verzameling in niet -
lege en niet -
overlappende verzamelingen
, eigenschappen
'
A- N B =
B n A (A) =
A A U = A
'
(AOB )
'
( ANC )
'
A n ( Bra ) = ( An B) nc ( An B) =
A V B A V ( Bno) =
A
' '
A n =
AUB =
B V A (A ✓ B) =
Ach B
A N ( B VC ) = ( A1 B) 0 ( Anc ) A VfB v c)
=
( AV B) UC
(
niet altijd volledig bij bijectie ,
wel
functie : vanuit elk element van As ( domein ) vertrekt een pijl naar Az ( bereik)
( vertrekt pijl en in
bijectie
uit elk element van A1 1
: elk element van Az is het beeldpunt van precies n element uit A ,
elk element van Az komt er precies 1 aan )
→
bijectie =
altijd een functie , functie is niet altijd bijectie ?
inverse :
omkering van alle pijlen
'
f- (x ) = × s
functie als 9 en gelijk ook een functie !
↳
geen bijectie !
fix ) =
AX tb > a > 0 :
bijectie ,
strikt stijgend
>
Al 0 :
bijectie , strikt dalend
f- (x ) =
log × >
bijectie ,
strikt
stijgend
f- ( x ) =
× >
functie
>
knik bij × =D ( als 1x -31 dan knik
bij x =3 )
a. X tb
↳ rij s ordinaat in de
oorsprong ( 4- waarde voor x = 0 )
aftelbaar oo =
tussen 2 uitkomsten geen uitkomsten meer , dus aftelbaar ( bv . #
todingen met een muntstuk >
kop mogelijk bij tossing
2,3
1 , , . . .
→ tussen 2
tossirgen ligt niks )
niet -
aftelbaar oo = tussen 2 uitkomsten o veel uitkomsten ,
dus niet aftelbaar ( bv .
tijd :
tijdstippen met oneindig veel Mitiseconden , ) _ .
.
sommatieteken 1 appendix 4)
°
enkelvoudige sommen :
Ê xi = ×, t X2 t . . . t X n
i =
1
eigenschappen : o
§ ( xityi ) =
? xi t
§ yi ( eigenschap sommatie v. e. som )
E ( (
cxi ) { eigenschap constante sommatie )
°
=
c. xi voor een
i
°
§c =
n . C ( eigenschap sommatie v. e. constante ) -
>
opgelet : È '
⑤c
Want 3,4 , 5,617
§ JE
- -
( -
µ
°
dubbele bv dag j
in
sommen × Xnz → week
xij t × × van
: = t t × 21 t t
22
„
rij
. . .
.
e. ,
n
m n
[[ xij = ZE xij
( opleggen beperkingen)
I je in it
1
j 1
= =
iig
eigenschappen : o
ÉË XIJ
=
JÊ § ,
XIJ
in m
opgelet :
indices moeten verschillen ! Èn " i •
Yi # En ,
" •
En Yi
°
(
i
? xi ) ( JÊ ,
g) =
{§ xi
Yj
, Beschrijvende statistiek
N : alle mogelijke uitkomsten
w : uitkomst
: variabele
:
waarde van die variabele
i
= i -
de observatie voor variabele x ( i met n aantal observaties )
=
j
-
de waarde van variabele × ( j met m aantal waarden )
j
experimentele eenheid > vb .
bij muntstukken verschillende worpen , bij angstpatiënt verschillende situaties ( beeps )
>
een experimentele eenheid is een object waarvan we gegevens vastleggen
m
bv persoon gebeurtenis
frequentie :
frey (
xj ) - n aantal observaties ) s . , een
ding , een ,
. . .
f- 1
( IJ )
trek relatieve
proportie :
pcxj ) = =
frequentie > som van de
proporties =
1 en proportie ligt altijd tussen 0 en 1
N
cumulatieve frequentie afreed ( xj )
Greg ( xj ) freon ( x Exj )
: = =
×
cumulatieve proportie Fx ( xj ) Fcxj ) (
xj )
=
Cfred
:
prop ( × xj )
=
± =
n
voorstellingen
•
kwalitatief >
ruimte tussen want
= kwalitatieve variabele
✓
klasse middelpunt
> 41 t 50 = 45,5
kwantitatief >
want loopt
. 2
- .
van 41 tot 50
- - -
2
) × . 97 staat er wel in
> kwar tiel = gemiddelde
van x waarden-
begin en
einde
lijnstuk
> 7 t 15
2
2) X. 75
staat er niet in
dus kleinste waarde
erboven 3
'
belangrijk lijnen beginnen
:
,
belangrijk -
oo tot 0 bij 1 waarde en
>
en eindigen op × as beginnen bij - -
0 • tot to vanaf laatste waarde
Statistiek
Theorie
, U )
verzamelingenleer
beschrijvende statistiek
inductieve statistiek
relatie steekproef -
en populatie karakteristieken
, 5 C
Statistiek
7 U '
U
Verzamelingenleer
:
lege verzameling
U universele verzameling
:
↳
( ↳renren.am
( >
>
gehele getallen
natuurlijke getallen :
: -3
0,1 2,3
,
,
-2 ,
,
-1,0
. . .
,
1 , 2,3 ,
_ . .
' '
'
is
deelverzameling
'
een :
is element van
van
geen
:
*
(
' ' '
Unie lof )
'
geen deelverzameling
:
:
is van en
'
¢
'
' '
c
> B :
niet elk punt van B ligt in C : doorsnede ( en )
'
verschil ( zonder ) AIB
'
:
bv zonder B
aantal elementen kardinaalgetal A
=
: = .
,
° '
'
)
'
U) A
'
(
'
complement A
:
is een element van
: ' =
alles behalve A
haakte dus nooit
→
resultaat van zo'n bewerking is altijd opnieuw een
verzameling s bv .
{ 12,33 { 1,23 =
{ 33 →
vergeten !
machtsverzameling : alle mogelijke deelverzamelingen van A : 2A
bv . A =
{ a ,
b. c } 7 2A = { / { a } { b} { c) { a. b) { b. c) { al } la , b. c } }
, , , , , , ,
A
> = 2A = 2- 1 bv .
# A =3 , # 2A = 23=8 > resultaat van een kardinaalgetal is steeds een getal
cartesiaans product van verzamelingen of productverzameling 3 # As × Az ) = # An × #
A2
>
verzameling van alle geordende koppels
> An =
{ J ,
H ,
5 } Az = { 1,2 } A1 × Az =
{ ( 7,1 ) ,
( 7,2 ) ,
(H ,
1 ) , (H ,
2) ,
( 5,1 ) ,
( 5,2 ) }
? bij { →
volgorde niet van belang , bij ( →
volgorde wel
belangrijk
'
>
2A is een
verzameling { } . . . ,
A is een product koppel ( ,
. . .
)
partitie :
opsplitsing van een verzameling in niet -
lege en niet -
overlappende verzamelingen
, eigenschappen
'
A- N B =
B n A (A) =
A A U = A
'
(AOB )
'
( ANC )
'
A n ( Bra ) = ( An B) nc ( An B) =
A V B A V ( Bno) =
A
' '
A n =
AUB =
B V A (A ✓ B) =
Ach B
A N ( B VC ) = ( A1 B) 0 ( Anc ) A VfB v c)
=
( AV B) UC
(
niet altijd volledig bij bijectie ,
wel
functie : vanuit elk element van As ( domein ) vertrekt een pijl naar Az ( bereik)
( vertrekt pijl en in
bijectie
uit elk element van A1 1
: elk element van Az is het beeldpunt van precies n element uit A ,
elk element van Az komt er precies 1 aan )
→
bijectie =
altijd een functie , functie is niet altijd bijectie ?
inverse :
omkering van alle pijlen
'
f- (x ) = × s
functie als 9 en gelijk ook een functie !
↳
geen bijectie !
fix ) =
AX tb > a > 0 :
bijectie ,
strikt stijgend
>
Al 0 :
bijectie , strikt dalend
f- (x ) =
log × >
bijectie ,
strikt
stijgend
f- ( x ) =
× >
functie
>
knik bij × =D ( als 1x -31 dan knik
bij x =3 )
a. X tb
↳ rij s ordinaat in de
oorsprong ( 4- waarde voor x = 0 )
aftelbaar oo =
tussen 2 uitkomsten geen uitkomsten meer , dus aftelbaar ( bv . #
todingen met een muntstuk >
kop mogelijk bij tossing
2,3
1 , , . . .
→ tussen 2
tossirgen ligt niks )
niet -
aftelbaar oo = tussen 2 uitkomsten o veel uitkomsten ,
dus niet aftelbaar ( bv .
tijd :
tijdstippen met oneindig veel Mitiseconden , ) _ .
.
sommatieteken 1 appendix 4)
°
enkelvoudige sommen :
Ê xi = ×, t X2 t . . . t X n
i =
1
eigenschappen : o
§ ( xityi ) =
? xi t
§ yi ( eigenschap sommatie v. e. som )
E ( (
cxi ) { eigenschap constante sommatie )
°
=
c. xi voor een
i
°
§c =
n . C ( eigenschap sommatie v. e. constante ) -
>
opgelet : È '
⑤c
Want 3,4 , 5,617
§ JE
- -
( -
µ
°
dubbele bv dag j
in
sommen × Xnz → week
xij t × × van
: = t t × 21 t t
22
„
rij
. . .
.
e. ,
n
m n
[[ xij = ZE xij
( opleggen beperkingen)
I je in it
1
j 1
= =
iig
eigenschappen : o
ÉË XIJ
=
JÊ § ,
XIJ
in m
opgelet :
indices moeten verschillen ! Èn " i •
Yi # En ,
" •
En Yi
°
(
i
? xi ) ( JÊ ,
g) =
{§ xi
Yj
, Beschrijvende statistiek
N : alle mogelijke uitkomsten
w : uitkomst
: variabele
:
waarde van die variabele
i
= i -
de observatie voor variabele x ( i met n aantal observaties )
=
j
-
de waarde van variabele × ( j met m aantal waarden )
j
experimentele eenheid > vb .
bij muntstukken verschillende worpen , bij angstpatiënt verschillende situaties ( beeps )
>
een experimentele eenheid is een object waarvan we gegevens vastleggen
m
bv persoon gebeurtenis
frequentie :
frey (
xj ) - n aantal observaties ) s . , een
ding , een ,
. . .
f- 1
( IJ )
trek relatieve
proportie :
pcxj ) = =
frequentie > som van de
proporties =
1 en proportie ligt altijd tussen 0 en 1
N
cumulatieve frequentie afreed ( xj )
Greg ( xj ) freon ( x Exj )
: = =
×
cumulatieve proportie Fx ( xj ) Fcxj ) (
xj )
=
Cfred
:
prop ( × xj )
=
± =
n
voorstellingen
•
kwalitatief >
ruimte tussen want
= kwalitatieve variabele
✓
klasse middelpunt
> 41 t 50 = 45,5
kwantitatief >
want loopt
. 2
- .
van 41 tot 50
- - -
2
) × . 97 staat er wel in
> kwar tiel = gemiddelde
van x waarden-
begin en
einde
lijnstuk
> 7 t 15
2
2) X. 75
staat er niet in
dus kleinste waarde
erboven 3
'
belangrijk lijnen beginnen
:
,
belangrijk -
oo tot 0 bij 1 waarde en
>
en eindigen op × as beginnen bij - -
0 • tot to vanaf laatste waarde
