L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas
Module 7:
Compléments sur les fonctions
Table des matières
Unité 1 - Eléments de symétrie d’une fonction ..................................................................................2
I - Détermination d’un centre de symétrie ................................................................................................ 2
1 ) Définition.......................................................................................................................................................... 2
2 ) Exemples .......................................................................................................................................................... 3
II - Détermination d’un axe de symétrie ................................................................................................... 5
1 ) Définition.......................................................................................................................................................... 5
2 ) Exemples .......................................................................................................................................................... 5
Unité 2 - Point d’inflexion, concavité et convexité ............................................................................8
I - Point d’inflexion ..................................................................................................................................... 8
1 ) Introduction et rappels....................................................................................................................................... 8
2 ) Définition d’un point d’inflexion ....................................................................................................................... 8
3 ) Exemples .......................................................................................................................................................... 9
II - Concavité et convexité ........................................................................................................................ 11
1 ) Fonction convexe ............................................................................................................................................ 11
2 ) Fonction concave ............................................................................................................................................ 12
3 ) Exemples ........................................................................................................................................................ 13
Unité 3 - Etude des branches infinies ...............................................................................................16
I - Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées ........................................................................................ 16
1 ) Définition........................................................................................................................................................ 16
2 ) Exemple .......................................................................................................................................................... 16
II - Asymptote parallèle à l’axe des abscisses ......................................................................................... 17
1 ) Définition........................................................................................................................................................ 17
2 ) Exemple .......................................................................................................................................................... 18
III - Cas où lim f ( x) = ............................................................................................................... 19
x →
1 ) Asymptote oblique .......................................................................................................................................... 19
a ) Définition .................................................................................................................................................... 19
b ) Exemple ...................................................................................................................................................... 19
2 ) Les autres cas .................................................................................................................................................. 21
3 ) Tableau récapitulatif........................................................................................................................................ 22
4 ) Exemples ........................................................................................................................................................ 23
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Module 7:
Compléments sur les fonctions
Unité 1 - Eléments de symétrie d’une fonction
Rappels :
Nous avons vu au cours du Module 3 les définitions suivantes ayant trait à la notion de parité :
Une fonction est paire si et seulement si pour tout x de Df : f ( − x) = f ( x) .
La courbe représentative de la fonction f (notée Cf ) est alors symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées.
Une fonction est impaire si et seulement si pour tout x de Df : f ( − x) = − f ( x) .
La courbe représentative de la fonction f (notée Cf ) est alors symétrique par rapport à
l’origine.
Important :
Si le domaine de définition de la fonction n’est pas symétrique par rapport à 0, il est inutile
d’étudier la parité de la fonction, car l’existence de f ( x ) et de f ( − x ) n’est pas assurée
simultanément pour x de Df .
I - Détermination d’un centre de symétrie
1 ) Définition
Soit f ( x ) une fonction définie sur son domaine de définition D f et ayant pour courbe représentative
C f dans un repère orthogonal (O ; i , j ) .
C f admet le point A ( a ; b ) comme centre de symétrie si les deux conditions suivantes sont
vérifiées :
1- Le domaine de définition D f est centré en a (donc ( a − h) D f et ( a + h) D f )
2- f (a + h) + f (a − h) = 2 b
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2 ) Exemples
Dans chacun des cas démontrer que la représentation graphique de la fonction f admet le
point I ( a ; b ) comme centre de symétrie.
2x +1
Exemple 1 : Soit : f ( x ) = et I (1; 2 )
x −1
Dans ce cas précis, on a : a = 1 et b = 2 .
➢ Le domaine de définition de la fonction f est : D f = R \ 1
Donc pour tout h non nul, (1 − h) Df et (1 + h) Df .
Donc D f est centré en 1.
2(1 + h) + 1 2(1 − h) + 1
➢ Pour tout h non nul : f (1 + h) + f (1 − h) = +
(1 + h) − 1 (1 − h) − 1
3+ 2 h 3− 2 h 4 h
f (1 + h) + f (1 − h) = + = =4
h −h h
De plus, b = 2 on a donc bien f (a + h) + f (a − h) = 2 b
Donc C f admet bien le point I (1; 2 ) comme centre de symétrie.
Exemple 2 : Soit : f ( x) = 2 x − 6 x + 7 x − 5 et I (1; − 2 )
3 2
Dans ce cas précis, on a : a = 1 et b = − 2 .
➢ Le domaine de définition de la fonction f est : D f = R
Donc pour tout h non nul, (1 − h) Df et (1 + h) Df .
➢ Pour tout h :
f (1 + h) = 2 (1 + h)3 − 6 (1 + h) 2 + 7 (1 + h) − 5
f (1 + h) = 2 (1 + 2h + h2 ) (1 + h) − 6 − 12h − 6h 2 + 7 + 7h − 5
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Compléments sur les fonctions
Table des matières
Unité 1 - Eléments de symétrie d’une fonction ..................................................................................2
I - Détermination d’un centre de symétrie ................................................................................................ 2
1 ) Définition.......................................................................................................................................................... 2
2 ) Exemples .......................................................................................................................................................... 3
II - Détermination d’un axe de symétrie ................................................................................................... 5
1 ) Définition.......................................................................................................................................................... 5
2 ) Exemples .......................................................................................................................................................... 5
Unité 2 - Point d’inflexion, concavité et convexité ............................................................................8
I - Point d’inflexion ..................................................................................................................................... 8
1 ) Introduction et rappels....................................................................................................................................... 8
2 ) Définition d’un point d’inflexion ....................................................................................................................... 8
3 ) Exemples .......................................................................................................................................................... 9
II - Concavité et convexité ........................................................................................................................ 11
1 ) Fonction convexe ............................................................................................................................................ 11
2 ) Fonction concave ............................................................................................................................................ 12
3 ) Exemples ........................................................................................................................................................ 13
Unité 3 - Etude des branches infinies ...............................................................................................16
I - Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées ........................................................................................ 16
1 ) Définition........................................................................................................................................................ 16
2 ) Exemple .......................................................................................................................................................... 16
II - Asymptote parallèle à l’axe des abscisses ......................................................................................... 17
1 ) Définition........................................................................................................................................................ 17
2 ) Exemple .......................................................................................................................................................... 18
III - Cas où lim f ( x) = ............................................................................................................... 19
x →
1 ) Asymptote oblique .......................................................................................................................................... 19
a ) Définition .................................................................................................................................................... 19
b ) Exemple ...................................................................................................................................................... 19
2 ) Les autres cas .................................................................................................................................................. 21
3 ) Tableau récapitulatif........................................................................................................................................ 22
4 ) Exemples ........................................................................................................................................................ 23
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Module 7:
Compléments sur les fonctions
Unité 1 - Eléments de symétrie d’une fonction
Rappels :
Nous avons vu au cours du Module 3 les définitions suivantes ayant trait à la notion de parité :
Une fonction est paire si et seulement si pour tout x de Df : f ( − x) = f ( x) .
La courbe représentative de la fonction f (notée Cf ) est alors symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées.
Une fonction est impaire si et seulement si pour tout x de Df : f ( − x) = − f ( x) .
La courbe représentative de la fonction f (notée Cf ) est alors symétrique par rapport à
l’origine.
Important :
Si le domaine de définition de la fonction n’est pas symétrique par rapport à 0, il est inutile
d’étudier la parité de la fonction, car l’existence de f ( x ) et de f ( − x ) n’est pas assurée
simultanément pour x de Df .
I - Détermination d’un centre de symétrie
1 ) Définition
Soit f ( x ) une fonction définie sur son domaine de définition D f et ayant pour courbe représentative
C f dans un repère orthogonal (O ; i , j ) .
C f admet le point A ( a ; b ) comme centre de symétrie si les deux conditions suivantes sont
vérifiées :
1- Le domaine de définition D f est centré en a (donc ( a − h) D f et ( a + h) D f )
2- f (a + h) + f (a − h) = 2 b
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2 ) Exemples
Dans chacun des cas démontrer que la représentation graphique de la fonction f admet le
point I ( a ; b ) comme centre de symétrie.
2x +1
Exemple 1 : Soit : f ( x ) = et I (1; 2 )
x −1
Dans ce cas précis, on a : a = 1 et b = 2 .
➢ Le domaine de définition de la fonction f est : D f = R \ 1
Donc pour tout h non nul, (1 − h) Df et (1 + h) Df .
Donc D f est centré en 1.
2(1 + h) + 1 2(1 − h) + 1
➢ Pour tout h non nul : f (1 + h) + f (1 − h) = +
(1 + h) − 1 (1 − h) − 1
3+ 2 h 3− 2 h 4 h
f (1 + h) + f (1 − h) = + = =4
h −h h
De plus, b = 2 on a donc bien f (a + h) + f (a − h) = 2 b
Donc C f admet bien le point I (1; 2 ) comme centre de symétrie.
Exemple 2 : Soit : f ( x) = 2 x − 6 x + 7 x − 5 et I (1; − 2 )
3 2
Dans ce cas précis, on a : a = 1 et b = − 2 .
➢ Le domaine de définition de la fonction f est : D f = R
Donc pour tout h non nul, (1 − h) Df et (1 + h) Df .
➢ Pour tout h :
f (1 + h) = 2 (1 + h)3 − 6 (1 + h) 2 + 7 (1 + h) − 5
f (1 + h) = 2 (1 + 2h + h2 ) (1 + h) − 6 − 12h − 6h 2 + 7 + 7h − 5
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