12/24/22, 11:35 AM TI-oplossingen/sisy.md at master · martijnmeeldijk/TI-oplossingen · GitHub
martijnmeeldijk / TI-oplossingen Public
Code Issues Pull requests Actions Projects Security Insights
master
TI-oplossingen / Schakeljaar / sisy.md
martijnmeeldijk sisy update
1 contributor
Samenvatting Sisy
Ik filter de dingen die ik nuttig vind om te onthouden uit de slides en geef mogelijks een klein beetje uitleg waar nodig.
H1 - Introductie
Complexe getallen
z = a + jb met j 2
= −1
$ z = \abs{z}e^{j\theta}$
2
\absz = √ a + b
2
en θ = arctan b
a
$ a = \abs{z}cos(\theta)$ en b = \abszsin(θ)
jθ
e = cos(θ) + j. sin(θ)
en sin(θ) = (Euler)
jθ −jθ jθ −jθ
e +e e −e
cos(θ) =
2 2j
Spiraalvormig signaal in het complexe vlak = gedempte sinusoidale trilling:
$ e^{st} = e^{\sigma t}.e^{j \omega t} = e^{\sigma t}.(cos(\omega t) + jsin(\omega t))$
Even/oneven signalen
Elk signaal kan geschreven worden als de som van een even en een oneven signaal
$ x(t) = x_e(t) + x_0(t)$
1
x e (t) = (x(t) + x(−t))
2
1
x o (t) = (x(t) − x(−t))
2
Periodieke signalen
Als de verhouding van de periodes geen rationaal getal is, is het resulterende signaal niet periodiek.
Energie en vermogen
+∞
2
E = ∫ \absx(t) dt J oule
−∞
T
https://github.com/martijnmeeldijk/TI-oplossingen/blob/master/Schakeljaar/sisy.md#samenvatting-sisy 1/20
,12/24/22, 11:35 AM TI-oplossingen/sisy.md at master · martijnmeeldijk/TI-oplossingen · GitHub
T
2
1 2
P = lim ∫ \absx(t) dt W att
T →∞ T −T
2
De energie van een vermogensignaal = ∞
Het vermogen van een energiesignaal = 0
Bij periodieke signalen moet je per periode kijken
Basissignalen
De heaviside functie
De diracfunctie
De oppervlakte van de Diracfunctie is 1.
Als je een sample neemt uit een signaal is dat hetzelfde als een vermenigvuldiging met de diracfunctie op het gewenste tijdstip.
De diracfunctie is de afgeleide van de heaviside functie
Nuttige eigenschap
https://github.com/martijnmeeldijk/TI-oplossingen/blob/master/Schakeljaar/sisy.md#samenvatting-sisy 2/20
, 12/24/22, 11:35 AM TI-oplossingen/sisy.md at master · martijnmeeldijk/TI-oplossingen · GitHub
$$ \int_{a}^{b}\phi(t)\delta(t-t_0)dt = \begin{equation} \begin{cases} \phi(t_0) \quad a \end{cases}\,.
\end{equation} $$
1
δ(at) = δ(t)
\absa
δ(−t) = δ(t)
x(t). δ(t) = x(0). δ(t)
Systemen
Soorten systemen
Een systeem is een entiteit die een of meerdere signalen manipuleert om hieruit een of meerdere nieuwe signalen te creëren.
Deterministisch / stochastisch
Als de in- en uitgang van een systeem deterministische signalen zijn, wordt het systeem deterministisch genoemd
Als de in- en uitgang van een systeem random signalen zijn, wordt het systeem stochastisch genoemd.
Geheugenloos / causaal
Een systeem is geheugenloos als de uitgang op een bepaald tijdstip enkel afhankelijk is van de ingang op datzelfde tijdstip, en dit
voor alle tijden.
y(t0) hangt enkel af van x(t0), ∀t0 ∊]-∞, +∞[
Een systeem is causaal als de uitgang op een bepaald tijdstip afhangt van de ingang op datzelfde en/of vorige tijdstippen.
Een systeem is niet causaal als de uitgang op een bepaald tijdstip ook afhangt van toekomstige ingangen.
In deze cursus dus altijd causaal, aangezien we de tijd gebruiken als onafhankelijke veranderlijke.
Additief / homogeen
Een systeem wordt additief genoemd als T{x1+x2} = y1 + y2 , ∀ x1, x2
Een systeem wordt homogeen genoemd als T{ax} = ay , ∀ x, a
Een systeem wordt lineair genoemd als het zowel additief als homogeen is. Dus: T{ax1+bx2} = ay1 + by2
= **superpositie **eigenschap
Tijdsvariant / tijdsinvariant
Een systeem is tijdsinvariant als een tijdsverschuiving van het ingangssignaal eenzelfde tijdsverschuiving van het uitgangssignaal
geeft. Het antwoord van het systeem op een willekeurige ingang is onafhankelijk van het moment waarop deze wordt aangelegd. Als
T{x(t)} = y(t) dan T{x(t-t0)} = y(t-t0) , ∀t
= stationair
Systemen die niet tijdsinvariant zijn, worden logischerwijze tijdsvariant genoemd
= niet-stationair
Stabiliteit
BIBO-stabiliteit (Bounded Input – Bounded Output)
Als men een eindige ingang aanlegt aan het systeem, moet de uitgang ook eindig blijven. De uitgang van het systeem zal niet
divergeren als de ingang ook niet divergeert.
Een systeem is stabiel als: $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\abs{h(t)}dt < \infty $$ met h(t) het impulsantwoord
Feedback
Oh yeey nu kunnen we feedback geven op de cursus
sike 😂
Bij een feedbacksysteem wordt de output van het signaal teruggekoppeld naar de input. That's it. (voor nu denk ik)
H2 - LTI Systemen in continue tijd
Lineaire TijdsInvariante Systemen in Continue Tijd
Impulsantwoord
Als een LTI systeem geëxciteerd wordt door een ingang x(t) = $\delta$(t), dan heet de uitgang ervan het impulsantwoord ( =
impulsrespons)
https://github.com/martijnmeeldijk/TI-oplossingen/blob/master/Schakeljaar/sisy.md#samenvatting-sisy 3/20
martijnmeeldijk / TI-oplossingen Public
Code Issues Pull requests Actions Projects Security Insights
master
TI-oplossingen / Schakeljaar / sisy.md
martijnmeeldijk sisy update
1 contributor
Samenvatting Sisy
Ik filter de dingen die ik nuttig vind om te onthouden uit de slides en geef mogelijks een klein beetje uitleg waar nodig.
H1 - Introductie
Complexe getallen
z = a + jb met j 2
= −1
$ z = \abs{z}e^{j\theta}$
2
\absz = √ a + b
2
en θ = arctan b
a
$ a = \abs{z}cos(\theta)$ en b = \abszsin(θ)
jθ
e = cos(θ) + j. sin(θ)
en sin(θ) = (Euler)
jθ −jθ jθ −jθ
e +e e −e
cos(θ) =
2 2j
Spiraalvormig signaal in het complexe vlak = gedempte sinusoidale trilling:
$ e^{st} = e^{\sigma t}.e^{j \omega t} = e^{\sigma t}.(cos(\omega t) + jsin(\omega t))$
Even/oneven signalen
Elk signaal kan geschreven worden als de som van een even en een oneven signaal
$ x(t) = x_e(t) + x_0(t)$
1
x e (t) = (x(t) + x(−t))
2
1
x o (t) = (x(t) − x(−t))
2
Periodieke signalen
Als de verhouding van de periodes geen rationaal getal is, is het resulterende signaal niet periodiek.
Energie en vermogen
+∞
2
E = ∫ \absx(t) dt J oule
−∞
T
https://github.com/martijnmeeldijk/TI-oplossingen/blob/master/Schakeljaar/sisy.md#samenvatting-sisy 1/20
,12/24/22, 11:35 AM TI-oplossingen/sisy.md at master · martijnmeeldijk/TI-oplossingen · GitHub
T
2
1 2
P = lim ∫ \absx(t) dt W att
T →∞ T −T
2
De energie van een vermogensignaal = ∞
Het vermogen van een energiesignaal = 0
Bij periodieke signalen moet je per periode kijken
Basissignalen
De heaviside functie
De diracfunctie
De oppervlakte van de Diracfunctie is 1.
Als je een sample neemt uit een signaal is dat hetzelfde als een vermenigvuldiging met de diracfunctie op het gewenste tijdstip.
De diracfunctie is de afgeleide van de heaviside functie
Nuttige eigenschap
https://github.com/martijnmeeldijk/TI-oplossingen/blob/master/Schakeljaar/sisy.md#samenvatting-sisy 2/20
, 12/24/22, 11:35 AM TI-oplossingen/sisy.md at master · martijnmeeldijk/TI-oplossingen · GitHub
$$ \int_{a}^{b}\phi(t)\delta(t-t_0)dt = \begin{equation} \begin{cases} \phi(t_0) \quad a \end{cases}\,.
\end{equation} $$
1
δ(at) = δ(t)
\absa
δ(−t) = δ(t)
x(t). δ(t) = x(0). δ(t)
Systemen
Soorten systemen
Een systeem is een entiteit die een of meerdere signalen manipuleert om hieruit een of meerdere nieuwe signalen te creëren.
Deterministisch / stochastisch
Als de in- en uitgang van een systeem deterministische signalen zijn, wordt het systeem deterministisch genoemd
Als de in- en uitgang van een systeem random signalen zijn, wordt het systeem stochastisch genoemd.
Geheugenloos / causaal
Een systeem is geheugenloos als de uitgang op een bepaald tijdstip enkel afhankelijk is van de ingang op datzelfde tijdstip, en dit
voor alle tijden.
y(t0) hangt enkel af van x(t0), ∀t0 ∊]-∞, +∞[
Een systeem is causaal als de uitgang op een bepaald tijdstip afhangt van de ingang op datzelfde en/of vorige tijdstippen.
Een systeem is niet causaal als de uitgang op een bepaald tijdstip ook afhangt van toekomstige ingangen.
In deze cursus dus altijd causaal, aangezien we de tijd gebruiken als onafhankelijke veranderlijke.
Additief / homogeen
Een systeem wordt additief genoemd als T{x1+x2} = y1 + y2 , ∀ x1, x2
Een systeem wordt homogeen genoemd als T{ax} = ay , ∀ x, a
Een systeem wordt lineair genoemd als het zowel additief als homogeen is. Dus: T{ax1+bx2} = ay1 + by2
= **superpositie **eigenschap
Tijdsvariant / tijdsinvariant
Een systeem is tijdsinvariant als een tijdsverschuiving van het ingangssignaal eenzelfde tijdsverschuiving van het uitgangssignaal
geeft. Het antwoord van het systeem op een willekeurige ingang is onafhankelijk van het moment waarop deze wordt aangelegd. Als
T{x(t)} = y(t) dan T{x(t-t0)} = y(t-t0) , ∀t
= stationair
Systemen die niet tijdsinvariant zijn, worden logischerwijze tijdsvariant genoemd
= niet-stationair
Stabiliteit
BIBO-stabiliteit (Bounded Input – Bounded Output)
Als men een eindige ingang aanlegt aan het systeem, moet de uitgang ook eindig blijven. De uitgang van het systeem zal niet
divergeren als de ingang ook niet divergeert.
Een systeem is stabiel als: $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\abs{h(t)}dt < \infty $$ met h(t) het impulsantwoord
Feedback
Oh yeey nu kunnen we feedback geven op de cursus
sike 😂
Bij een feedbacksysteem wordt de output van het signaal teruggekoppeld naar de input. That's it. (voor nu denk ik)
H2 - LTI Systemen in continue tijd
Lineaire TijdsInvariante Systemen in Continue Tijd
Impulsantwoord
Als een LTI systeem geëxciteerd wordt door een ingang x(t) = $\delta$(t), dan heet de uitgang ervan het impulsantwoord ( =
impulsrespons)
https://github.com/martijnmeeldijk/TI-oplossingen/blob/master/Schakeljaar/sisy.md#samenvatting-sisy 3/20
