meilleurs document d'algèbre

MP/MP

Exercices
d’algèbre
et de probabilités

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© RÉSUMÉS DE COURS
© MÉTHODES
© 3 NIVEAUX D’EXERCICES :
• apprentissage
[ • entraînement
i • approfon issement
© CORRIGÉS DÉTAILLÉS
! PAS À PAS


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, Pour tout<
dé spécialisation,




© De Boeck Supérieur s.a., 2017 1èr® édition, 2017


Rue du Bosquet, 7 B-1348 Louvain-la-Neuve 1er tirage, 2017




Tous droits réservés pour tous pays.


Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par pho­


tocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque


de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière


que ce soit.




Imprimé aux Pays-Bas.




Dépôt légal :


Dépôt légal France : juin 2017


Dépôt légal Belgique : 2017/13647/088 ISBN : 978-2-8073-0627-1

,La pratique d’exercices est essentielle à l’apprentissage du cours de mathématiques : il
n’est pas de meilleure façon de mémoriser et de comprendre un théorème que d’en faire
usage !
Cet ouvrage regroupe sur 9 chapitres 317 exercices portant sur le programme d’algèbre
et de probabilités en classe de MP. Il respecte strictement le programme en cours et vient
compléter l’ouvrage d'analyse que l’on retrouvera dans la même collection.
Chaque chapitre commence par un rappel des principales définitions et des résultats
essentiels du cours. Il se poursuit avec des exercices aux corrigés détaillés regroupés sur
trois niveaux :
— Les exercices d'apprentissage servent à l’acquisition des concepts fondamentaux du
cours. Ce sont souvent des sujets faciles où j’ai choisi volontairement de ne faire
figurer que peu de technicité.
— Les exercices d'entraînement permettent de poursuivre l’acquisition du cours, trois
niveaux d’étoiles servent à anticiper leur difficulté. Ces sujets ont été choisis pour
leur intérêt, leur classicisme ou ont été inspirés par des questions rencontrées aux
écrits et aux oraux des différents concours.
— Les exercices d'approfondissement sont les plus ambitieux, ils nécessitent souvent de
passer par une phase de recherche ou entrent en résonance avec d’autres chapitres
du programme. Ces sujets sont inspirés de questions rencontrées aux concours les
plus ambitieux.
Les corrections des exercices sont accompagnées de méthodes. Celles-ci servent à souligner
les idées récurrentes ou bien à mettre en exergue la démarche qui va être suivie pour
résoudre la question posée. Le lecteur pourra prendre appui sur celles-ci pour amorcer
une résolution ou pour reprendre la main lors de sa lecture d’une correction. Afin d’aider
le lecteur dans son étude, il est fait référence aux théorèmes utilisés lors de leurs premiers
usages. Les notes de bas de pages complètent les résolutions en présentant des démarches
alternatives ou font le lien avec d’autres sujets présents dans l’ouvrage.
Je remercie vivement Olivier Rodot d’avoir initié ce projet, François Pantigny pour
son expertise TeXnique et Sébastien Marcotte pour sa relecture attentive ainsi que les
compléments apportés.
Je dédicace cet ouvrage à mon fils Nathan.



David Delaunay

, CHAPITRE 1
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Groupes




1.1 Structure de groupe
1.1.1 Groupe

Définition
On appelle groupe tout couple (G,*) formé d’un ensemble G et d’une loi de compo­
sition interne * sur G associative, possédant un neutre et pour laquelle tout élément
de G est symétrisable.
(C, +) et (C*, x) sont des groupes commutatifs de neutres respectifs 0 et 1.
L’ensemble Se des permutations d’un ensemble E est un groupe pour la composition des
applications o. Son neutre est l’application identité Id#.
L’ensemble GLn(K) des matrices inversibles de taille n est un groupe multiplicatif de
neutre In.
L’ensemble Ax des inversibles d’un anneau est un groupe multiplicatif.


1.1.2 Structure produit

Définition
Si *i,... ,*n sont des lois de composition internes sur des ensembles Ey,..., En, on
appelle loi produit sur E = Ex x • • • x En la loi * définie par

(æl, . . . , Xn^ -k , . . . , t/n) == (X1 ★! yi, . . . , Xn ~kn pn)-