Índice general
Introducción. 6
Capítulo 1. Retículas. 8
1.1. Ordenes parciales. 8
1.2. Retículas. 9
1.3. Retículas modulares. 12
1.4. Retículas distributivas. 16
1.5. Complementos. 20
1.6. Condiciones de cadena. 22
1.7. Retículas compactamente generadas. 25
1.8. Retículas continuas superiormente. 30
Capítulo 2. El zoclo y el radical. 33
2.1. Elementos esenciales y seudocomplementos. 33
2.2. El zoclo. 42
2.3. Torsión. 46
2.4. Independencia y retículas semiatómicas. 53
2.5. El zoclo II. 57
2.6. Superfluidad. 60
2.7. El radical 61
Conclusiones. 69
Bibliografía 70
5
, INTRODUCCIÓN. 6
Introducción.
Las retículas modulares son una especie particular de conjunto parcialmente ordenado de
principal interés para el Álgebra Abstracta. Esto se debe a que numerosos resultados en las
teorías de grupos, anillos, módulos, etc. dependen en buena medida de propiedades de la es-
tructura ordenada que conforman los subobjetos algebraicos. Es decir, la forma en que están
ordenados los subobjetos de un grupo, anillo, módulo, etc. , determina propiedades importantes
del propio objeto. La estructura ordenada de subobjetos es una retícula, y nos da una especie
de radiografía de los módulos, grupos, etc. : un esquema de las relaciones entre los subobjetos
que los conforman y cómo se encuentran acomodados dentro del total. Lo anterior nos muestra
la estructura misma del objeto. A la vez, las retículas nos dan información sobre las subestruc-
turas y sobre las estructuras cociente. Citando ( [1] , p.115) : “la retícula de submódulos de
un módulo revela una cantidad sustancial de información sobre el módulo y provee un medio
natural para clasificarlo” .
Por ejemplo, el Teorema de Jordan-Hölder, símil del Teorema Fundamental de la Arit-
mética, establece la unicidad de cierta manera de descomponer un grupo en grupos simples,
indescomponibles. Tanto el enunciado del teorema como el tratamiento de su demostración y
los principales conceptos involucrados, como el de serie de composición, hablan de propiedades
de la retícula de submódulos, grupos, etc. , y no propiamente de propiedades de las operaciones
algebraicas del objeto en cuestión.
A fines del siglo XIX, Dedekind estableció el concepto de retícula al trabajar con los idea-
les de un anillo, dando una definición equivalente a la usual actualmente: la que aparece en
el teorema 1.2.8 del presente trabajo ([5], p.130). Además de esto, Dedekind enunció la ley
modular (para ideales), que define una de las clases de retículas más relevantes para el Álgebra.
Posteriormente, Emmy Noether y Emil Artin generalizaron algunos teoremas de descomposi-
ción y estructura de anillospara aquéllos que satisfacieran las condiciones abstractas de cadena
ascendete y descendente (que tratamos en la sección 1.6), respectivamente ([5], pp. 59-60).
Con todo esto, el estudio de las retículas (sobretodo modulares) por parte de los algebristas se
volvío más y más frecuente, sobretodo desde los 1970s, según apunta Calugareanu al inicio de
[2] .
En la Teoría de Grupos encontramos algunas caracterizaciones notables en términos reti-
culares, como el Teorema de Ore (la retícula de un grupo abeliano es distributiva si y sólo
si cualesquiera dos elementos generan un subgrupo cíclico) ; teorema 1.2.3. en [6], [4], p.
127), o que los grupos abelianos cuya retícula es una cadena son exactamente los grupos
Zpk , k ∈ N ∪ {∞} ([6], p. 16) .
En general, existen dos subestructuras comunes a todas las estructuras algebraicas: el radical
y el zoclo, que cuando no son triviales, nos permiten entender a la retícula completa en términos
de cadenas cuyos eslabones abarcan a todos los átomos o coátomos intermedios. La parte
, INTRODUCCIÓN. 7
sustancial de este trabajo se centra justamente en la descripción de estas dos estructuras, sus
propiedades elementales y algunas de sus aplicaciones.
Por otro lado, durante nuestra exposición establecemos las propiedades esenciales de las cla-
ses más comunes de retículas que surgen naturalmente en Álgebra, tanto aquéllas identificadas
con estructuras específicas, como las que describen el tipo de retícula que es algebraica.
El objetivo principal del presente texto es mostrar la gran utilidad de entender los aspectos
puramente reticulares envueltos en el estudio de las estructuras algebraicas en general, a través
de resultados clásicos y ejemplos, para después enfocarse en aquéllos que involucran el zoclo
y el radical. Presentamos algunas proposiciones relevantes sobre R–módulos al lado de sus
equivalentes reticulares, como corolarios de éstos (o viceversa), o como ejemplos. Tratamos
sobretodo propiedades de las retículas (completas) compactamente generadas y modulares.
Este trabajo se basa principalmente en [2], y adoptamos en la mayoría de los casos su
notación y el orden de los resultados, pues ambos resultan muy naturales. Tal volumen es una
monografía sobre los ”resultados de la Teoría de Módulos demostrables usando solamente la
Teoría de Retículas” ([2], introducción) .
Otra buena parte de los resultados (específicamente, los de series de composición, retículas
distributivas y muchos de los ejemplos) se deben al libro de Stenström ([7]), y en menor medida
a Schmidt ([6]).
, Capítulo 1
Retículas.
Como se ha señalado en la introducción, hay una conexión íntima entre los conjuntos
ordenados y los conjuntos con operaciones binarias dada mediante la asociación a un objeto
algebraico de su retícula de subobjetos, la cual nos da información sobre propiedades del objeto
mismo. En este capítulo desarrollamos los conceptos y herramienas básicos de la teoría de
retículas, en particular de las modulares y algebraicas, que son las de mayor interés para el
Álgebra.
1.1. Ordenes parciales.
Definición 1.1.1. Un par (P, r) en el cual P es un conjunto y r una relación binaria en
P (es decir, r ⊆ P × P ), se dice conjunto parcialmente ordenado (reflexivamente) si r
cumple con ser reflexiva (esto es, ∀x ∈ P ((x, x) ∈ r) ), transitiva ( ∀x, y, z ∈ P ((x, y), (y, z) ∈
r ⇒ (x, z) ∈ r) ) y antisimétrica ( ∀x, y ∈ P ((x, y), (y, x) ∈ r ⇒ x = y) ). En este caso, se
dice también que r es un orden parcial.
Notación 1.1.2. Si r es una relación en un conjunto, escribiremos casi siempre arb en
lugar de (a, b) ∈ r, y si (P, r) es un orden parcial, como es usual, denotaremos a r por ≤, y si
a ≤ b, escribiremos también b ≥ a. En este caso, diremos que a es menor o igual que b, o
bien que b contiene a a.
Definición 1.1.3. Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. Dos elementos a, b ∈ P
se dicen comparables si se tiene a ≤ b o b ≤ a, e incomparables si no están relacionados
por ≤. En este caso, usaremos la notación a||b.
Si cualesquiera dos elementos de P son comparables, entonces se dice que ≤ es tricotómica
y que (P, ≤) es una cadena. También se dice que ≤ es un orden total.
Si a ≤ b pero a *= b, escribiremos a < b, y diremos que a es menor que b o bien que b es
mayor que a; si a < b y no hay c tal que a < c < b, diremos que b cubre a a, y lo denotaremos
por a ≺ b.
Sean (P, ≤) un orden parcial y S ⊆ P . Se dice que un elemento a ∈ P es:
(1) cota superior (inferior) de S si ∀x ∈ S(x ≤ a) (respectivamente, a ≤ x ).
(2) el mayor (menor) de S si a ∈ S y ∀x ∈ S(x ≤ a) (respectivamente, a ≤ x ).
(3) máximo (mínimo) en S si a ∈ S y ∀x ∈ S(a ≤ x ⇒ a = x) (respectivamente,
x ≤ a ⇒ a = x ).
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Introducción. 6
Capítulo 1. Retículas. 8
1.1. Ordenes parciales. 8
1.2. Retículas. 9
1.3. Retículas modulares. 12
1.4. Retículas distributivas. 16
1.5. Complementos. 20
1.6. Condiciones de cadena. 22
1.7. Retículas compactamente generadas. 25
1.8. Retículas continuas superiormente. 30
Capítulo 2. El zoclo y el radical. 33
2.1. Elementos esenciales y seudocomplementos. 33
2.2. El zoclo. 42
2.3. Torsión. 46
2.4. Independencia y retículas semiatómicas. 53
2.5. El zoclo II. 57
2.6. Superfluidad. 60
2.7. El radical 61
Conclusiones. 69
Bibliografía 70
5
, INTRODUCCIÓN. 6
Introducción.
Las retículas modulares son una especie particular de conjunto parcialmente ordenado de
principal interés para el Álgebra Abstracta. Esto se debe a que numerosos resultados en las
teorías de grupos, anillos, módulos, etc. dependen en buena medida de propiedades de la es-
tructura ordenada que conforman los subobjetos algebraicos. Es decir, la forma en que están
ordenados los subobjetos de un grupo, anillo, módulo, etc. , determina propiedades importantes
del propio objeto. La estructura ordenada de subobjetos es una retícula, y nos da una especie
de radiografía de los módulos, grupos, etc. : un esquema de las relaciones entre los subobjetos
que los conforman y cómo se encuentran acomodados dentro del total. Lo anterior nos muestra
la estructura misma del objeto. A la vez, las retículas nos dan información sobre las subestruc-
turas y sobre las estructuras cociente. Citando ( [1] , p.115) : “la retícula de submódulos de
un módulo revela una cantidad sustancial de información sobre el módulo y provee un medio
natural para clasificarlo” .
Por ejemplo, el Teorema de Jordan-Hölder, símil del Teorema Fundamental de la Arit-
mética, establece la unicidad de cierta manera de descomponer un grupo en grupos simples,
indescomponibles. Tanto el enunciado del teorema como el tratamiento de su demostración y
los principales conceptos involucrados, como el de serie de composición, hablan de propiedades
de la retícula de submódulos, grupos, etc. , y no propiamente de propiedades de las operaciones
algebraicas del objeto en cuestión.
A fines del siglo XIX, Dedekind estableció el concepto de retícula al trabajar con los idea-
les de un anillo, dando una definición equivalente a la usual actualmente: la que aparece en
el teorema 1.2.8 del presente trabajo ([5], p.130). Además de esto, Dedekind enunció la ley
modular (para ideales), que define una de las clases de retículas más relevantes para el Álgebra.
Posteriormente, Emmy Noether y Emil Artin generalizaron algunos teoremas de descomposi-
ción y estructura de anillospara aquéllos que satisfacieran las condiciones abstractas de cadena
ascendete y descendente (que tratamos en la sección 1.6), respectivamente ([5], pp. 59-60).
Con todo esto, el estudio de las retículas (sobretodo modulares) por parte de los algebristas se
volvío más y más frecuente, sobretodo desde los 1970s, según apunta Calugareanu al inicio de
[2] .
En la Teoría de Grupos encontramos algunas caracterizaciones notables en términos reti-
culares, como el Teorema de Ore (la retícula de un grupo abeliano es distributiva si y sólo
si cualesquiera dos elementos generan un subgrupo cíclico) ; teorema 1.2.3. en [6], [4], p.
127), o que los grupos abelianos cuya retícula es una cadena son exactamente los grupos
Zpk , k ∈ N ∪ {∞} ([6], p. 16) .
En general, existen dos subestructuras comunes a todas las estructuras algebraicas: el radical
y el zoclo, que cuando no son triviales, nos permiten entender a la retícula completa en términos
de cadenas cuyos eslabones abarcan a todos los átomos o coátomos intermedios. La parte
, INTRODUCCIÓN. 7
sustancial de este trabajo se centra justamente en la descripción de estas dos estructuras, sus
propiedades elementales y algunas de sus aplicaciones.
Por otro lado, durante nuestra exposición establecemos las propiedades esenciales de las cla-
ses más comunes de retículas que surgen naturalmente en Álgebra, tanto aquéllas identificadas
con estructuras específicas, como las que describen el tipo de retícula que es algebraica.
El objetivo principal del presente texto es mostrar la gran utilidad de entender los aspectos
puramente reticulares envueltos en el estudio de las estructuras algebraicas en general, a través
de resultados clásicos y ejemplos, para después enfocarse en aquéllos que involucran el zoclo
y el radical. Presentamos algunas proposiciones relevantes sobre R–módulos al lado de sus
equivalentes reticulares, como corolarios de éstos (o viceversa), o como ejemplos. Tratamos
sobretodo propiedades de las retículas (completas) compactamente generadas y modulares.
Este trabajo se basa principalmente en [2], y adoptamos en la mayoría de los casos su
notación y el orden de los resultados, pues ambos resultan muy naturales. Tal volumen es una
monografía sobre los ”resultados de la Teoría de Módulos demostrables usando solamente la
Teoría de Retículas” ([2], introducción) .
Otra buena parte de los resultados (específicamente, los de series de composición, retículas
distributivas y muchos de los ejemplos) se deben al libro de Stenström ([7]), y en menor medida
a Schmidt ([6]).
, Capítulo 1
Retículas.
Como se ha señalado en la introducción, hay una conexión íntima entre los conjuntos
ordenados y los conjuntos con operaciones binarias dada mediante la asociación a un objeto
algebraico de su retícula de subobjetos, la cual nos da información sobre propiedades del objeto
mismo. En este capítulo desarrollamos los conceptos y herramienas básicos de la teoría de
retículas, en particular de las modulares y algebraicas, que son las de mayor interés para el
Álgebra.
1.1. Ordenes parciales.
Definición 1.1.1. Un par (P, r) en el cual P es un conjunto y r una relación binaria en
P (es decir, r ⊆ P × P ), se dice conjunto parcialmente ordenado (reflexivamente) si r
cumple con ser reflexiva (esto es, ∀x ∈ P ((x, x) ∈ r) ), transitiva ( ∀x, y, z ∈ P ((x, y), (y, z) ∈
r ⇒ (x, z) ∈ r) ) y antisimétrica ( ∀x, y ∈ P ((x, y), (y, x) ∈ r ⇒ x = y) ). En este caso, se
dice también que r es un orden parcial.
Notación 1.1.2. Si r es una relación en un conjunto, escribiremos casi siempre arb en
lugar de (a, b) ∈ r, y si (P, r) es un orden parcial, como es usual, denotaremos a r por ≤, y si
a ≤ b, escribiremos también b ≥ a. En este caso, diremos que a es menor o igual que b, o
bien que b contiene a a.
Definición 1.1.3. Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. Dos elementos a, b ∈ P
se dicen comparables si se tiene a ≤ b o b ≤ a, e incomparables si no están relacionados
por ≤. En este caso, usaremos la notación a||b.
Si cualesquiera dos elementos de P son comparables, entonces se dice que ≤ es tricotómica
y que (P, ≤) es una cadena. También se dice que ≤ es un orden total.
Si a ≤ b pero a *= b, escribiremos a < b, y diremos que a es menor que b o bien que b es
mayor que a; si a < b y no hay c tal que a < c < b, diremos que b cubre a a, y lo denotaremos
por a ≺ b.
Sean (P, ≤) un orden parcial y S ⊆ P . Se dice que un elemento a ∈ P es:
(1) cota superior (inferior) de S si ∀x ∈ S(x ≤ a) (respectivamente, a ≤ x ).
(2) el mayor (menor) de S si a ∈ S y ∀x ∈ S(x ≤ a) (respectivamente, a ≤ x ).
(3) máximo (mínimo) en S si a ∈ S y ∀x ∈ S(a ≤ x ⇒ a = x) (respectivamente,
x ≤ a ⇒ a = x ).
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