Contenido
Prólogo v
1 Preliminares 1
1.1 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Conjuntos convexos, balanceados y absorbentes . . . 1
1.1.2 Discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Seminormas y funcionales de Minkowsky . . . . . . . . . . . 6
1.3 Espacios vectoriales topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Generación de topologías vectoriales . . . . . . . . . 15
1.4 Teoremas de Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Topologías vectoriales, conjuntos y espacios vectoriales topológi-
cos especiales 37
2.1 Topología de Mackey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Topologías Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Discos de Banach. Conjuntos bornívoros . . . . . . . . . . . 47
2.5 Barriles y Espacios Barrilados . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Topología de Mackey por Polares . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7 Espacios Infrabarrilados, Semirreflexivos y Reflexivos . . . . 59
2.7.1 Espacios de semi Montel y Montel . . . . . . . . . . . 63
3 Topologización como álgebra de L(X) 69
3.1 Espacios subnormados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Álgebras topológicas, topologizables, normadas y normables 71
3.2.1 Normas de álgebra para C(X) . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Álgebras Localmente Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 El álgebra L(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Las subálgebras K0 (X) y K(X) de L (X) . . . . . . . . . . . 82
3.6 Normabilidad de K0 (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
iii
,iv CONTENIDO
3.6.1 Algunas condiciones para la no normabilidad de K0 (X)
y K (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7 Estructura de álgebra topológica de K0 (X) . . . . . . . . . 88
3.7.1 Metrizabilidad de K0 (X) . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.8 Topología de álgebra para L(X) . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.8.1 Normabilidad de L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.8.2 Topologización de L(X) . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.9 Álgebras de operadores y operadores topologizables . . . . . 114
3.9.1 El operador bilineal Φ : L(X) × X → X . . . . . . . 114
A Teoremas clásicos 123
, Prólogo
A cualquier espacio vectorial X sobre el campo F (= R o C) siempre es
posible dotarlo de una topología que lo hace un espacio vectorial topológico
localmente convexo. Basta considerar, por ejemplo, la topología generada
por todas las seminormas continuas definidas en X. Está topología es lla-
mada la topología localmente convexa más fina para X.
A diferencia de lo anterior, dada un álgebra A no siempre es posible darle
una topología que la haga un álgebra localmente convexa; es decir, no siem-
pre es posible dar una familia de seminormas en A tal que las operaciones
de álgebra sean continuas con respecto a la topología que ellas generan .
Aunque cabe señalar que la topología localmente convexa más fina para A,
vista como espacio vectorial, hace de A un álgebra semitopológica, es de-
cir es una topología vectorial respecto a la cual la operación producto es
continua en cada una de las coordenadas.
El problema radica, en vista de lo dicho en el párrafo anterior, en lograr
la continuidad del producto. Inclusive el producto de un álgebra A puede ser
discontinuo para cualquier topología vectorial, sea ésta localmente convexa
o no. En otras palabras, un álgebra puede no admitir una estructura de
álgebra topológica. Ejemplos de tales álgebras se dan en los artículos [10] y
[18] de y V. Müller y W. Żelazko, respectivamente.
Este trabajo se enfoca, en este contexto, en la importante álgebra L (X)
de endomorfismos continuos de un espacio localmente convexo X. La base
para su realización la cosntituye el artículo de W. Żelazko, When is L (X)
topologizable as a topological algebra?, el cual tuvo como antecedentes direc-
tos dos artículos de J. Esterle: Sur la non normabilité de certaines algèbres
d’opérateurs y Sur la métrisabilité de certaines algèbres d’opérateurs, mis-
mos que también son desarrollados en esta tesis.
En eso tres artículos lo resultados más importantes están relacionados
con que X sea un espacio subnormado, lo que significa que en X se puede
definir una norma que genera una topología más fina que la X tiene origi-
nalmente.
Es obvio que cualquier espacio normado es subnormado y es sabido que
cuando X es normado, entonces su norma induce otra en L (X) que es sub-
multiplicativa y que por consiguiente, hace de L (X) un álgebra topológica.
Un ejemplo de un espacio X que no es subnormado es cualquiera de Fréchet
que no sea normalizable (Corolario 3.6.5).
Para una presentación lo más autocontenida posible fue necesario incluir
muchos conceptos y resultados del Análisis funcional. Los más elementales se
v
, vi Prólogo
encuentran en el Capítulo 1 y los que son un poco más complicados y menos
conocidos están en el Capítulo 2. Se buscó que la pruebas resultaran claras
y sin omitir detalles. A lo largo del trabajo también se usan, sin haberse
probado, resultados clásicos; por ejemplo, los teoremas de la Función abierta
y Gráfica cerrada, entre otros. Los enunciados de todos ellos, en el contexto
de F -espacios, se recuerdan en el Apéndice.
El Capítulo 3 es el principal de esta tesis. Ahí se expone lo hecho por
Esterle y Żelazko. Se considera la subálgebra K0 (X) de L (X) formada por
los endomorfismos continuos de X de rango finito y se prueba que K0 (X)
es normable, o sea admite una estructura de álgebra normada, si y sólo
si X es subnormado. Se ve un resultado que extiende el anterior, en una
dirección : si K0 (X) admite una estructura de álgebra topológica de Haus-
dorff, entonces X es subnormado; lo que implica: si L (X) admite tal tipo
de estructura (es topologizable), entonces X es subnormado.
Se da un ejemplo de un espacio X en que el inverso de tal resultado es
falso y, por otra parte, se prueba que es cierto cuando X es además completo
por sucesiones. Bajo esta misma hipótesis se dan condiciones equivalentes
a la topologización de L (X).
Se hace ver que la completez por sucesiones de no es una condición nece-
saria sobre X para que L (X) admita una estructura de álgebra topológica
pues se introduce una clase particular de espacios subnormados, llamados
espacios sub-Banach, que pueden no ser completos por sucesiones y para los
cuales L (X) es topologizable.
También se trata la topologización de L (X), como espacio vectorial, con
relación a la continuidad de la función bilineal Φ : L (X) × X → X definida
como Φ (T, x) = T (x). Al respecto se prueba que L (X) es topologizable,
como espacio vectorial, de modo que Φ resulte continua si y sólo si X es nor-
mado. Cabe señalar que en cierto momento algunos investigadores creyeron
que era posible lograr la continuidad de Φ bajo circunstancias más generales.
La topologización de L (X) y la continuidad de Φ han dado pie a la
introducción por parte Żelazko [15] de los conceptos de álgebra de operadores
y operador topologizable. Una subálgebra unitaria A de L (X) es llamada
álgebra de operadores si la restricción de Φ a A es continua. En tanto que
T ∈ L (X) es llamado un operador topologizable si T ∈ A para algún álgebra
de operadores A.
Al final del Capítulo 3 se presenta la primera parte de ese artículo, en
particular se dan caracterizaciones de las álgebras de operadores y los oper-
adores topologizables. Con lo ahí hecho se indica por donde podría contin-
uarse el estudio comenzado en este trabajo.
Prólogo v
1 Preliminares 1
1.1 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Conjuntos convexos, balanceados y absorbentes . . . 1
1.1.2 Discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Seminormas y funcionales de Minkowsky . . . . . . . . . . . 6
1.3 Espacios vectoriales topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Generación de topologías vectoriales . . . . . . . . . 15
1.4 Teoremas de Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Topologías vectoriales, conjuntos y espacios vectoriales topológi-
cos especiales 37
2.1 Topología de Mackey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Topologías Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Discos de Banach. Conjuntos bornívoros . . . . . . . . . . . 47
2.5 Barriles y Espacios Barrilados . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Topología de Mackey por Polares . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7 Espacios Infrabarrilados, Semirreflexivos y Reflexivos . . . . 59
2.7.1 Espacios de semi Montel y Montel . . . . . . . . . . . 63
3 Topologización como álgebra de L(X) 69
3.1 Espacios subnormados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Álgebras topológicas, topologizables, normadas y normables 71
3.2.1 Normas de álgebra para C(X) . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Álgebras Localmente Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4 El álgebra L(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Las subálgebras K0 (X) y K(X) de L (X) . . . . . . . . . . . 82
3.6 Normabilidad de K0 (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
iii
,iv CONTENIDO
3.6.1 Algunas condiciones para la no normabilidad de K0 (X)
y K (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7 Estructura de álgebra topológica de K0 (X) . . . . . . . . . 88
3.7.1 Metrizabilidad de K0 (X) . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.8 Topología de álgebra para L(X) . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.8.1 Normabilidad de L (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.8.2 Topologización de L(X) . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.9 Álgebras de operadores y operadores topologizables . . . . . 114
3.9.1 El operador bilineal Φ : L(X) × X → X . . . . . . . 114
A Teoremas clásicos 123
, Prólogo
A cualquier espacio vectorial X sobre el campo F (= R o C) siempre es
posible dotarlo de una topología que lo hace un espacio vectorial topológico
localmente convexo. Basta considerar, por ejemplo, la topología generada
por todas las seminormas continuas definidas en X. Está topología es lla-
mada la topología localmente convexa más fina para X.
A diferencia de lo anterior, dada un álgebra A no siempre es posible darle
una topología que la haga un álgebra localmente convexa; es decir, no siem-
pre es posible dar una familia de seminormas en A tal que las operaciones
de álgebra sean continuas con respecto a la topología que ellas generan .
Aunque cabe señalar que la topología localmente convexa más fina para A,
vista como espacio vectorial, hace de A un álgebra semitopológica, es de-
cir es una topología vectorial respecto a la cual la operación producto es
continua en cada una de las coordenadas.
El problema radica, en vista de lo dicho en el párrafo anterior, en lograr
la continuidad del producto. Inclusive el producto de un álgebra A puede ser
discontinuo para cualquier topología vectorial, sea ésta localmente convexa
o no. En otras palabras, un álgebra puede no admitir una estructura de
álgebra topológica. Ejemplos de tales álgebras se dan en los artículos [10] y
[18] de y V. Müller y W. Żelazko, respectivamente.
Este trabajo se enfoca, en este contexto, en la importante álgebra L (X)
de endomorfismos continuos de un espacio localmente convexo X. La base
para su realización la cosntituye el artículo de W. Żelazko, When is L (X)
topologizable as a topological algebra?, el cual tuvo como antecedentes direc-
tos dos artículos de J. Esterle: Sur la non normabilité de certaines algèbres
d’opérateurs y Sur la métrisabilité de certaines algèbres d’opérateurs, mis-
mos que también son desarrollados en esta tesis.
En eso tres artículos lo resultados más importantes están relacionados
con que X sea un espacio subnormado, lo que significa que en X se puede
definir una norma que genera una topología más fina que la X tiene origi-
nalmente.
Es obvio que cualquier espacio normado es subnormado y es sabido que
cuando X es normado, entonces su norma induce otra en L (X) que es sub-
multiplicativa y que por consiguiente, hace de L (X) un álgebra topológica.
Un ejemplo de un espacio X que no es subnormado es cualquiera de Fréchet
que no sea normalizable (Corolario 3.6.5).
Para una presentación lo más autocontenida posible fue necesario incluir
muchos conceptos y resultados del Análisis funcional. Los más elementales se
v
, vi Prólogo
encuentran en el Capítulo 1 y los que son un poco más complicados y menos
conocidos están en el Capítulo 2. Se buscó que la pruebas resultaran claras
y sin omitir detalles. A lo largo del trabajo también se usan, sin haberse
probado, resultados clásicos; por ejemplo, los teoremas de la Función abierta
y Gráfica cerrada, entre otros. Los enunciados de todos ellos, en el contexto
de F -espacios, se recuerdan en el Apéndice.
El Capítulo 3 es el principal de esta tesis. Ahí se expone lo hecho por
Esterle y Żelazko. Se considera la subálgebra K0 (X) de L (X) formada por
los endomorfismos continuos de X de rango finito y se prueba que K0 (X)
es normable, o sea admite una estructura de álgebra normada, si y sólo
si X es subnormado. Se ve un resultado que extiende el anterior, en una
dirección : si K0 (X) admite una estructura de álgebra topológica de Haus-
dorff, entonces X es subnormado; lo que implica: si L (X) admite tal tipo
de estructura (es topologizable), entonces X es subnormado.
Se da un ejemplo de un espacio X en que el inverso de tal resultado es
falso y, por otra parte, se prueba que es cierto cuando X es además completo
por sucesiones. Bajo esta misma hipótesis se dan condiciones equivalentes
a la topologización de L (X).
Se hace ver que la completez por sucesiones de no es una condición nece-
saria sobre X para que L (X) admita una estructura de álgebra topológica
pues se introduce una clase particular de espacios subnormados, llamados
espacios sub-Banach, que pueden no ser completos por sucesiones y para los
cuales L (X) es topologizable.
También se trata la topologización de L (X), como espacio vectorial, con
relación a la continuidad de la función bilineal Φ : L (X) × X → X definida
como Φ (T, x) = T (x). Al respecto se prueba que L (X) es topologizable,
como espacio vectorial, de modo que Φ resulte continua si y sólo si X es nor-
mado. Cabe señalar que en cierto momento algunos investigadores creyeron
que era posible lograr la continuidad de Φ bajo circunstancias más generales.
La topologización de L (X) y la continuidad de Φ han dado pie a la
introducción por parte Żelazko [15] de los conceptos de álgebra de operadores
y operador topologizable. Una subálgebra unitaria A de L (X) es llamada
álgebra de operadores si la restricción de Φ a A es continua. En tanto que
T ∈ L (X) es llamado un operador topologizable si T ∈ A para algún álgebra
de operadores A.
Al final del Capítulo 3 se presenta la primera parte de ese artículo, en
particular se dan caracterizaciones de las álgebras de operadores y los oper-
adores topologizables. Con lo ahí hecho se indica por donde podría contin-
uarse el estudio comenzado en este trabajo.
