Índice general
Página
Introducción III
Capítulo 1. Preliminares 1
1.1. Funciones de distribución 1
1.2. Transformaciones 7
Capítulo 2. Marco teórico de variables aleatorias en el espacio 13
2.1. Distribuciones conjuntas y marginales 13
2.2. Momentos de una variable aleatoria e independencia 16
2.3. Probabilidad condicional y esperanza condicional 18
2.4. Transformaciones multidimensionales 19
2.5. Estadísticos de orden 21
2.6. Estimador de máxima verosimilitud 21
Capítulo 3. Ejercicios teóricos 23
3.1. Distribución conjunta y marginales 23
3.2. Momentos e independencia de variables aleatorias 31
3.3. Probabilidad y esperanza condicional 37
3.4. Transformaciones multidimensionales 40
3.5. Estadísticos de orden 46
3.6. Máxima verosimilitud. 50
Capítulo 4. Ejercicios aplicados 53
4.1. Seguros 53
4.2. Economía 59
4.3. Meteorología 65
4.4. Varios 67
Conclusiones 72
Apéndice A 73
Referencias 76
II
, Introducción
Una de las cualidades de la probabilidad y la estadística es que puede describir patrones
y comportamientos sobre algún o algunos sucesos, procesos, actitudes, fenómenos y una
gran variedad de eventos, por tal motivo es y ha sido muy importante durante mucho
tiempo.
Dichos comportamientos y patrones por si solos, solo son información que no dice nada,
es hasta que por medio del uso de técnicas matemáticas, lógicas y a su vez el área de estu-
dio del fenómeno, que se pueden empezar a generar modelos, establecer parámetros, crear
estadísticos, inferencias, hipótesis y gran cantidad de datos que tratarán de explicar de la
manera más exacta posible nuestro fenómeno.
Mientras mayor sea la muestra analizada, mejores y más certeras aproximaciones se ten-
drán, se sabe que no serán resultados del todo exactos, pero sí presentarán una buena
aproximación a los resultados reales.
Está necesidad de modelar los fenómenos surge del deseo que tiene el ser humano de tratar
de comprender con el mayor grado de exactitud, todos los acontecimientos que suceden a
su alrededor y por los que resulta afectado, pero eso que no logra entender, es lo que lo
intriga y lo que lo lleva a un amplio estudio del tema en cuestión, de esta manera y con
base en sus resultados puede entender las razones por las cuales sucede ese fenómeno,
para qué pasa, desde cuándo pasa, hasta cuándo pasará y una gran variedad de preguntas
alrededor del fenómeno.
Mientras más preguntas se puedan resolver respecto al fenómeno y más datos u observa-
ciones se tengan de éste, se estará comprendiendo de la mejor manera el o los compor-
tamientos que éste sigue o presenta, ese es el objetivo que la probabilidad y estadística
han seguido desde siempre y cada vez, éste se está volviendo una necesidad en la vida y
entorno del ser humano, una herramienta que se desea dominar.
¿Por qué una necesidad?, la respuesta es simple, tratamos de comprender de forma exacta
para poder predecir de manera casi exacta algo que se presentará en el “futuro”, si el futuro
fuese algo cierto, no tendría sentido el objetivo de la probabilidad y estadística, pero como
es algo incierto, término conocido en el campo de dichas materias como “aleatorio”, es
ahí donde tratamos de predecir o reproducir resultados que esperamos que sucedan.
La toma de decisiones sobre algo incierto es el mayor uso que tienen la probabilidad y
estadística, ya que esa decisión tomada hoy, va a tener un impacto en el futuro, el objetivo
de esta decisión la mayoría de las veces pretende generar un beneficio para nosotros, para
III
, INTRODUCCIÓN IV
minimizar riesgos, maximizar ganancias, minimizar costos, advertir sobre posibles suce-
sos, alertar sobre algún problema que se pueda presentar o en su caso, vislumbrar éxito
venidero.
La presencia de las matemáticas en la vida del ser humano es esencial y lo es también
en el tema de la probabilidad y la estadística, ya que en base a ellas es como se pueden
construir las bases que determinaran y darán forma a las herramientas estadísticas y
probabilísticas que a su vez, ayudarán a la toma de decisiones, sea cual sea el objetivo que
esta decisión busque o tenga por finalidad.
Es por eso que para poder entender a estas dos materias, resulta indispensable conocer y
dominar una gran cantidad de técnicas matemáticas y además, saber sus usos y significa-
dos para después llevarlos a la creación de modelos probabilísticos y estadísticos que con
base en experiencias y datos pasados, tratarán de predecir comportamientos futuros.
El objetivo que este trabajo persigue es mostrar al lector el por qué es tan importante cono-
cer la rama de las matemáticas, para posteriormente comprender el campo de estudio de
la probabilidad y la estadística y al final, analizar, modelar y dar soluciones a problemas
que estas materias envuelven. Cada capítulo describe su objetivo y plantea el contenido
que se manejará para que el lector, conforme avance la lectura, comprenda más la relación
que existe entre las matemáticas y dichas materias.
Dado que el campo de trabajo del actuario se encuentra principalmente en el ramo de las
finanzas, los seguros y el riesgo, es muy importante que conozca y domine las técnicas
que se exponen en esta obra, para que al momento de enfrentarse a diversos problemas,
los pueda atacar y resolver de la mejor y más óptima manera y así, obtener los resultados
que este persiga. La mayoría de las decisiones están involucradas con finanzas o aspectos
que de alguna manera tendrán impacto en las finanzas de una entidad o persona.
, CAPÍTULO 1
Preliminares
Con el objetivo de estudiar y comprender eventos de la vida real, la teoría de la probabili-
dad genera modelos probabilísticos, los cuales se caracterizan por ser aleatorios y se rigen
por ciertas propiedades, las cuales son estudiadas para el mejor conocimiento del modelo.
El curso de probabilidad I se relaciona directamente con el cálculo diferencial e integral
de una variable debido a que, para entender el comportamiento de las variables aleatorias,
se requiere del uso de teoremas, fórmulas, funciones y herramientas que el cálculo pro-
porciona para demostrar y justificar, axiomas y propiedades que las variables aleatorias
unidimensionales cumplen.
Las variables aleatorias unidimensionales tienen una estrecha relación con el cálculo de
una variable ya que a la variable aleatoria se le modela como una función que puede ser
continua o discreta (escalonada). Por ser funciones, estas cumplen con ciertos teoremas y
propiedades que el cálculo otorga a ellas.
En este capítulo se analizan técnicas y conceptos ligados entre las variables aleatorias
unidimensionales y el cálculo de una variable, así como resultados importantes, que arroja
la teoría de probabilidades, que nos ayudaran y serán útiles en el caso multidimensional.
1.1. Funciones de distribución
A cada variable aleatoria X, se le asocia una función llamada función de distribución acu-
mulativa de X
Definición 1.1.1 La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria X, de-
notada por FX (x), queda definida por FX (x) = PX (X ≤ x), para toda x.
Una variable aleatoria X es continua si FX (x) es una función de x continua. Una variable
aleatoria X es discreta si FX (x) es una función de salto de x.
Definición 1.1.2 Funciones masa y densidad de probabilidad
La función masa de probabilidad o f mp, fX (x), de una variable aleatoria discreta X es
dada por:
fX (x) = P(X = x) para toda x.
x
FX (x) = PX (X ≤ x) = ∑ fX (k)
k=1
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Introducción III
Capítulo 1. Preliminares 1
1.1. Funciones de distribución 1
1.2. Transformaciones 7
Capítulo 2. Marco teórico de variables aleatorias en el espacio 13
2.1. Distribuciones conjuntas y marginales 13
2.2. Momentos de una variable aleatoria e independencia 16
2.3. Probabilidad condicional y esperanza condicional 18
2.4. Transformaciones multidimensionales 19
2.5. Estadísticos de orden 21
2.6. Estimador de máxima verosimilitud 21
Capítulo 3. Ejercicios teóricos 23
3.1. Distribución conjunta y marginales 23
3.2. Momentos e independencia de variables aleatorias 31
3.3. Probabilidad y esperanza condicional 37
3.4. Transformaciones multidimensionales 40
3.5. Estadísticos de orden 46
3.6. Máxima verosimilitud. 50
Capítulo 4. Ejercicios aplicados 53
4.1. Seguros 53
4.2. Economía 59
4.3. Meteorología 65
4.4. Varios 67
Conclusiones 72
Apéndice A 73
Referencias 76
II
, Introducción
Una de las cualidades de la probabilidad y la estadística es que puede describir patrones
y comportamientos sobre algún o algunos sucesos, procesos, actitudes, fenómenos y una
gran variedad de eventos, por tal motivo es y ha sido muy importante durante mucho
tiempo.
Dichos comportamientos y patrones por si solos, solo son información que no dice nada,
es hasta que por medio del uso de técnicas matemáticas, lógicas y a su vez el área de estu-
dio del fenómeno, que se pueden empezar a generar modelos, establecer parámetros, crear
estadísticos, inferencias, hipótesis y gran cantidad de datos que tratarán de explicar de la
manera más exacta posible nuestro fenómeno.
Mientras mayor sea la muestra analizada, mejores y más certeras aproximaciones se ten-
drán, se sabe que no serán resultados del todo exactos, pero sí presentarán una buena
aproximación a los resultados reales.
Está necesidad de modelar los fenómenos surge del deseo que tiene el ser humano de tratar
de comprender con el mayor grado de exactitud, todos los acontecimientos que suceden a
su alrededor y por los que resulta afectado, pero eso que no logra entender, es lo que lo
intriga y lo que lo lleva a un amplio estudio del tema en cuestión, de esta manera y con
base en sus resultados puede entender las razones por las cuales sucede ese fenómeno,
para qué pasa, desde cuándo pasa, hasta cuándo pasará y una gran variedad de preguntas
alrededor del fenómeno.
Mientras más preguntas se puedan resolver respecto al fenómeno y más datos u observa-
ciones se tengan de éste, se estará comprendiendo de la mejor manera el o los compor-
tamientos que éste sigue o presenta, ese es el objetivo que la probabilidad y estadística
han seguido desde siempre y cada vez, éste se está volviendo una necesidad en la vida y
entorno del ser humano, una herramienta que se desea dominar.
¿Por qué una necesidad?, la respuesta es simple, tratamos de comprender de forma exacta
para poder predecir de manera casi exacta algo que se presentará en el “futuro”, si el futuro
fuese algo cierto, no tendría sentido el objetivo de la probabilidad y estadística, pero como
es algo incierto, término conocido en el campo de dichas materias como “aleatorio”, es
ahí donde tratamos de predecir o reproducir resultados que esperamos que sucedan.
La toma de decisiones sobre algo incierto es el mayor uso que tienen la probabilidad y
estadística, ya que esa decisión tomada hoy, va a tener un impacto en el futuro, el objetivo
de esta decisión la mayoría de las veces pretende generar un beneficio para nosotros, para
III
, INTRODUCCIÓN IV
minimizar riesgos, maximizar ganancias, minimizar costos, advertir sobre posibles suce-
sos, alertar sobre algún problema que se pueda presentar o en su caso, vislumbrar éxito
venidero.
La presencia de las matemáticas en la vida del ser humano es esencial y lo es también
en el tema de la probabilidad y la estadística, ya que en base a ellas es como se pueden
construir las bases que determinaran y darán forma a las herramientas estadísticas y
probabilísticas que a su vez, ayudarán a la toma de decisiones, sea cual sea el objetivo que
esta decisión busque o tenga por finalidad.
Es por eso que para poder entender a estas dos materias, resulta indispensable conocer y
dominar una gran cantidad de técnicas matemáticas y además, saber sus usos y significa-
dos para después llevarlos a la creación de modelos probabilísticos y estadísticos que con
base en experiencias y datos pasados, tratarán de predecir comportamientos futuros.
El objetivo que este trabajo persigue es mostrar al lector el por qué es tan importante cono-
cer la rama de las matemáticas, para posteriormente comprender el campo de estudio de
la probabilidad y la estadística y al final, analizar, modelar y dar soluciones a problemas
que estas materias envuelven. Cada capítulo describe su objetivo y plantea el contenido
que se manejará para que el lector, conforme avance la lectura, comprenda más la relación
que existe entre las matemáticas y dichas materias.
Dado que el campo de trabajo del actuario se encuentra principalmente en el ramo de las
finanzas, los seguros y el riesgo, es muy importante que conozca y domine las técnicas
que se exponen en esta obra, para que al momento de enfrentarse a diversos problemas,
los pueda atacar y resolver de la mejor y más óptima manera y así, obtener los resultados
que este persiga. La mayoría de las decisiones están involucradas con finanzas o aspectos
que de alguna manera tendrán impacto en las finanzas de una entidad o persona.
, CAPÍTULO 1
Preliminares
Con el objetivo de estudiar y comprender eventos de la vida real, la teoría de la probabili-
dad genera modelos probabilísticos, los cuales se caracterizan por ser aleatorios y se rigen
por ciertas propiedades, las cuales son estudiadas para el mejor conocimiento del modelo.
El curso de probabilidad I se relaciona directamente con el cálculo diferencial e integral
de una variable debido a que, para entender el comportamiento de las variables aleatorias,
se requiere del uso de teoremas, fórmulas, funciones y herramientas que el cálculo pro-
porciona para demostrar y justificar, axiomas y propiedades que las variables aleatorias
unidimensionales cumplen.
Las variables aleatorias unidimensionales tienen una estrecha relación con el cálculo de
una variable ya que a la variable aleatoria se le modela como una función que puede ser
continua o discreta (escalonada). Por ser funciones, estas cumplen con ciertos teoremas y
propiedades que el cálculo otorga a ellas.
En este capítulo se analizan técnicas y conceptos ligados entre las variables aleatorias
unidimensionales y el cálculo de una variable, así como resultados importantes, que arroja
la teoría de probabilidades, que nos ayudaran y serán útiles en el caso multidimensional.
1.1. Funciones de distribución
A cada variable aleatoria X, se le asocia una función llamada función de distribución acu-
mulativa de X
Definición 1.1.1 La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria X, de-
notada por FX (x), queda definida por FX (x) = PX (X ≤ x), para toda x.
Una variable aleatoria X es continua si FX (x) es una función de x continua. Una variable
aleatoria X es discreta si FX (x) es una función de salto de x.
Definición 1.1.2 Funciones masa y densidad de probabilidad
La función masa de probabilidad o f mp, fX (x), de una variable aleatoria discreta X es
dada por:
fX (x) = P(X = x) para toda x.
x
FX (x) = PX (X ≤ x) = ∑ fX (k)
k=1
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