Tema 3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.
P1. Definiciones generales.
Ecuación diferencial ordinaria de orden n.
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n es una ecuación que liga la variable
(𝑛)
independiente 𝑥, una función incógnita 𝑦 = 𝑦(𝑥) y sus derivadas sucesivas 𝑦', 𝑦'',..., 𝑦 , es
(𝑛)
(
decir, es una expresión, bien de la forma 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦', 𝑦'',...., 𝑦 ) = 0(forma implícita) o bien, si
(𝑛) (𝑛−1)
se puede despejar la derivada de mayor orden, 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦', 𝑦'',..., 𝑦 ) (forma
explícita). A la función 𝑦 = 𝑦(𝑥) se le llama función incógnita.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n.
En numerosos problemas de mecánica o teoría de circuitos eléctricos, las ecuaciones
diferenciales que rigen los procesos son de orden mayor que uno. Veamos unos ejemplos
donde la variable independiente es el tiempo 𝑡.
- La figura representa un circuito RLC. Si 𝑄(𝑡)es la carga del condensador y 𝐸(𝑡) el
voltaje o tensión aplicada al circuito, se tendrá (teniendo en cuenta la segunda ley de
2
𝑑𝑄 𝑑𝑄 1
Kirchoff): 𝐸 = 𝐿 2 +𝑅 𝑑𝑡
+ 𝐶
𝑄 que es una ecuación diferencial lineal de
𝑑𝑡
coeficientes constantes que permitirá calcular la carga que posee el condensado en
cada instante de tiempo.
- Los movimiento vibratorios son otros ejemplos en los cuáles aparecen ecuaciones
diferenciales lineales de coeficientes constantes de segundo orden:
- Movimiento armónico simple (o vibratorio libre no amortiguado), que se rige
2
𝑑𝑥 𝐾
mediante la ecuación diferencial 2 + 𝑚
𝑥 = 0 donde la incógnita 𝑥(𝑡)es el
𝑑𝑡
desplazamiento sufrido por una masa m en función del tiempo 𝑡, y 𝐾 es una
constante de proporcionalidad.
- Movimiento vibratorio amortiguado, que se rige mediante la ecuación
2
𝑑𝑥 β 𝑑𝑥 𝐾 𝑓(𝑡)
diferencial 2 + 𝑚 𝑑𝑡
+ 𝑚
𝑥= 𝑚
donde 𝑓(𝑡) es la fuerza exterior que
𝑑𝑡
actúa sobre la masa oscilante sujeta al resorte.
Solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛.
(𝑛)
Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛, 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦', 𝑦'',..., 𝑦 ( ) = 0, se llama
(𝑛)
(
solución de dicha ecuación a toda función ϕ(𝑥) tal que 𝐹 𝑥, ϕ(𝑥), ϕ'(𝑥), ϕ''(𝑥),..., ϕ (𝑥) = 0, )
es decir, podemos decir que una solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛
, es toda función que sustituida junto con sus derivadas en la ecuación conduce a una
identidad.
Tipos de soluciones.
Las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛 pueden ser de tres tipos:
( )
- Solución general. Se llama así a una expresión de la forma ϕ 𝑥, 𝑦, 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛 = 0
donde 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛 son constantes arbitrarias.
- Solución particular. Son las soluciones que se obtienen fijando el valor de las
constantes arbitrarias 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛 de la solución general.
- Solución singular. Son aquellas soluciones que no están incluidas en la solución
general, es decir, que no se pueden obtener a partir de ella asignando un valor
conveniente a las constantes.
Distintas formas de expresar la solución general.
Normalmente, la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛 puede
expresarse de dos formas distintas:
- Forma explícita: si la función incógnita viene despejada en función de la variable
independiente 𝑥 y de las constantes arbitrarias 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛, es decir, una expresión de
( )
la forma 𝑦 = 𝑦 𝑥, 𝑦, 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛 . Para el caso de soluciones particulares y singulares,
expresiones de la forma 𝑦 = 𝑦(𝑥).
- Forma implícita: si la solución viene expresada por una ecuación que liga la función
incógnita 𝑦, la variable independiente 𝑥 y las constantes arbitrarias 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛, es
( )
decir, una expresión de la forma ϕ 𝑥, 𝑦, 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛 = 0. Para el caso de soluciones
particulares y singulares, expresiones de la forma ϕ(𝑥, 𝑦) = 0.
P2. Problema de Cauchy.
Se llama problema de Cauchy de orden 𝑛 o problema de valores iniciales al conjunto
formado por una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛 en forma explícita y 𝑛
condicionales iniciales, esto es, un problema de la forma
Para resolver un problema de Cauchy hay que encontrar todas las soluciones de la
ecuación diferencial y ver cuál o cuáles de ellas verifican las condiciones iniciales.
Teorema de existencia y unicidad de un problema de Cauchy.
Teorema 1. Sea el problema de Cauchy (𝑃) con 𝑓 definida en un dominio 𝑅 que contiene a
( )
𝑥0, 𝑦0, 𝑦1,..., 𝑦𝑛−1 .
Existencia: Si 𝑓 es continua en 𝑅 entonces (𝑃) posee solución.
Unicidad: Si 𝑓 es diferenciable en 𝑅 entonces existe una única solución de (𝑃).
P1. Definiciones generales.
Ecuación diferencial ordinaria de orden n.
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n es una ecuación que liga la variable
(𝑛)
independiente 𝑥, una función incógnita 𝑦 = 𝑦(𝑥) y sus derivadas sucesivas 𝑦', 𝑦'',..., 𝑦 , es
(𝑛)
(
decir, es una expresión, bien de la forma 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦', 𝑦'',...., 𝑦 ) = 0(forma implícita) o bien, si
(𝑛) (𝑛−1)
se puede despejar la derivada de mayor orden, 𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦', 𝑦'',..., 𝑦 ) (forma
explícita). A la función 𝑦 = 𝑦(𝑥) se le llama función incógnita.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n.
En numerosos problemas de mecánica o teoría de circuitos eléctricos, las ecuaciones
diferenciales que rigen los procesos son de orden mayor que uno. Veamos unos ejemplos
donde la variable independiente es el tiempo 𝑡.
- La figura representa un circuito RLC. Si 𝑄(𝑡)es la carga del condensador y 𝐸(𝑡) el
voltaje o tensión aplicada al circuito, se tendrá (teniendo en cuenta la segunda ley de
2
𝑑𝑄 𝑑𝑄 1
Kirchoff): 𝐸 = 𝐿 2 +𝑅 𝑑𝑡
+ 𝐶
𝑄 que es una ecuación diferencial lineal de
𝑑𝑡
coeficientes constantes que permitirá calcular la carga que posee el condensado en
cada instante de tiempo.
- Los movimiento vibratorios son otros ejemplos en los cuáles aparecen ecuaciones
diferenciales lineales de coeficientes constantes de segundo orden:
- Movimiento armónico simple (o vibratorio libre no amortiguado), que se rige
2
𝑑𝑥 𝐾
mediante la ecuación diferencial 2 + 𝑚
𝑥 = 0 donde la incógnita 𝑥(𝑡)es el
𝑑𝑡
desplazamiento sufrido por una masa m en función del tiempo 𝑡, y 𝐾 es una
constante de proporcionalidad.
- Movimiento vibratorio amortiguado, que se rige mediante la ecuación
2
𝑑𝑥 β 𝑑𝑥 𝐾 𝑓(𝑡)
diferencial 2 + 𝑚 𝑑𝑡
+ 𝑚
𝑥= 𝑚
donde 𝑓(𝑡) es la fuerza exterior que
𝑑𝑡
actúa sobre la masa oscilante sujeta al resorte.
Solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛.
(𝑛)
Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛, 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦', 𝑦'',..., 𝑦 ( ) = 0, se llama
(𝑛)
(
solución de dicha ecuación a toda función ϕ(𝑥) tal que 𝐹 𝑥, ϕ(𝑥), ϕ'(𝑥), ϕ''(𝑥),..., ϕ (𝑥) = 0, )
es decir, podemos decir que una solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛
, es toda función que sustituida junto con sus derivadas en la ecuación conduce a una
identidad.
Tipos de soluciones.
Las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛 pueden ser de tres tipos:
( )
- Solución general. Se llama así a una expresión de la forma ϕ 𝑥, 𝑦, 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛 = 0
donde 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛 son constantes arbitrarias.
- Solución particular. Son las soluciones que se obtienen fijando el valor de las
constantes arbitrarias 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛 de la solución general.
- Solución singular. Son aquellas soluciones que no están incluidas en la solución
general, es decir, que no se pueden obtener a partir de ella asignando un valor
conveniente a las constantes.
Distintas formas de expresar la solución general.
Normalmente, la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛 puede
expresarse de dos formas distintas:
- Forma explícita: si la función incógnita viene despejada en función de la variable
independiente 𝑥 y de las constantes arbitrarias 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛, es decir, una expresión de
( )
la forma 𝑦 = 𝑦 𝑥, 𝑦, 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛 . Para el caso de soluciones particulares y singulares,
expresiones de la forma 𝑦 = 𝑦(𝑥).
- Forma implícita: si la solución viene expresada por una ecuación que liga la función
incógnita 𝑦, la variable independiente 𝑥 y las constantes arbitrarias 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛, es
( )
decir, una expresión de la forma ϕ 𝑥, 𝑦, 𝐶1, 𝐶2,..., 𝐶𝑛 = 0. Para el caso de soluciones
particulares y singulares, expresiones de la forma ϕ(𝑥, 𝑦) = 0.
P2. Problema de Cauchy.
Se llama problema de Cauchy de orden 𝑛 o problema de valores iniciales al conjunto
formado por una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛 en forma explícita y 𝑛
condicionales iniciales, esto es, un problema de la forma
Para resolver un problema de Cauchy hay que encontrar todas las soluciones de la
ecuación diferencial y ver cuál o cuáles de ellas verifican las condiciones iniciales.
Teorema de existencia y unicidad de un problema de Cauchy.
Teorema 1. Sea el problema de Cauchy (𝑃) con 𝑓 definida en un dominio 𝑅 que contiene a
( )
𝑥0, 𝑦0, 𝑦1,..., 𝑦𝑛−1 .
Existencia: Si 𝑓 es continua en 𝑅 entonces (𝑃) posee solución.
Unicidad: Si 𝑓 es diferenciable en 𝑅 entonces existe una única solución de (𝑃).
