Integration using trigonometric identities questions with full Worked solutions

Integration using trigonometric identities

2 4 7 4
1) Calculate ∫ 5
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 8
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥

2 1 1
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 2
− 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥
4 1 1 2
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = ( 2 − 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥)

2 1 1
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2
+ 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥
4 1 1 2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = ( 2 + 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥)

2 1 1 2 7 1 1 2
∫ 5
(2 − 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥) − 8
(2 + 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑑𝑥
2 1 1 1 1 2 7 1 1 1 1 2
= ∫ 5
(4 − 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) − 8
(4 + 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) 𝑑𝑥
2 1 1 1 2 7 1 1 1 2
= ∫ 5
(4 − 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) − 8
(4 + 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) 𝑑𝑥
1 1 1 2 7 7 7 2
= ∫ 10
− 5
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 10
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 32
− 16
𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 32
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥
19 51 19 2
= ∫− 160
− 80
𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 160
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥

2 1 1
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2
+ 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥
2 1 1
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 2
+ 2
𝑐𝑜𝑠4𝑥

19 51 19 1 1
= ∫− 160
−
80
𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 160 (2 + 2
𝑐𝑜𝑠4𝑥) 𝑑𝑥
19 51 19 19
= ∫− 160
− 80 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 320 − 320
𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥
57 51 19
= ∫− 320
− 80 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 320 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥
57 51 19
=− 320
𝑥 − 160 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1280 𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶


FINAL ANSWER

57 51 19
=− 320
𝑥 − 160
𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1280
𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶

, 3 4 2 4
2) Calculate ∫ 7
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 9
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥

2 1 1
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 2
− 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥
4 1 1 2
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = ( 2 − 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥)

2 1 1
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2
+ 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥
4 1 1 2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = ( 2 + 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥)

3 1 1 2 2 1 1 2
= ∫ 7
(2 − 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥) − 9
(2 + 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑑𝑥
3 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2
= ∫ 7
(4 − 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) − 9
(4 + 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) 𝑑𝑥
3 1 1 1 2 2 1 1 1 2
= ∫ 7
(4 − 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) − 9
(4 + 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) 𝑑𝑥
3 3 3 2 1 1 1 2
= ∫ 28
− 14
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 28
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 18
− 9
𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 18
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥
13 41 13 2
= ∫ 252
− 126
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 252
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥

2 1 1
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2
+ 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥
2 1 1
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 2
+ 2
𝑐𝑜𝑠4𝑥

13 41 13 1 1
= ∫ 252
− 126
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 252
( 2 + 2 𝑐𝑜𝑠4𝑥) 𝑑𝑥
13 41 13 13
= ∫ 252 − 126
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 504
+ 504 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥
13 41 13
= ∫ 168 − 126
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 504
𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥
13 41 13
= 168
𝑥 − 252
𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2016
𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶


FINAL ANSWER

13 41 13
= 168
𝑥− 252
𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2016
𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶

, 4 4
3) Calculate ∫5𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 8𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥

2 1 1
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 2
− 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥
4 1 1 2
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = ( 2 − 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥)

2 1 1
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2
+ 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥
4 1 1 2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = ( 2 + 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥)

1 1 2 1 1 2
∫5( 2 − 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥) − 8( 2 + 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑑𝑥
1 1 2 1 1 2
= ∫5( 2 − 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥) − 8( 2 + 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑑𝑥
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
= ∫5( 4 − 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) − 8( 4 + 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) 𝑑𝑥
1 1 1 2 1 1 1 2
= ∫5( 4 − 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) − 8( 4 + 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥) 𝑑𝑥
5 5 5 2 2
= ∫ 4
− 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 2 − 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥
3 13 3 2
= ∫− 4
− 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 4
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥

2 1 1
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2
+ 2
𝑐𝑜𝑠2𝑥
2 1 1
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 2
+ 2
𝑐𝑜𝑠4𝑥

3 13 3 1 1
= ∫− 4 2
−
𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 4 ( 2 + 2 𝑐𝑜𝑠4𝑥) 𝑑𝑥
3 13 3 3
= ∫− 4
− 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 8 − 8 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥
9 13 3
= ∫− 8
− 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 8 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥
9 13 3
=− 8
𝑥 − 4 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 32 𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶


FINAL ANSWER

9 13 3
=− 8
𝑥− 4
𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 32
𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝐶