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Analysis Beispielsammlung 2021W
Analysis für Informatik und Wirtschaftsinformatik (Technische Universität Wien)
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, lOMoARcPSD|12749046
1 πn
Analysis für Informatik und Wirtschaftsinformatik (3 − n5 ).
20) Für alle n ∈ N mit n ≥ 1 sei an = 1 + n2 + cos 2
Übungsbeispiele 1. Gelten für die Umgebung U = U1 (3) = (2, 4) von 3 die folgenden beiden Aussagen?
1) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle natürlichen (a) an ∈ U für unendlich viele n.
Zahlen hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.) (b) Es gibt ein N = N (ε) = N (1) mit an ∈ U für alle n ≥ N .
2) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle ganzen Zahlen
hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.) 2. Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge (an )n≥1 an.
3) Gibt es eine Folge reeller Zahlen, die als Häufungspunkte genau alle rationalen Zahlen 3. Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen n1 < n2 < . . . an, so dass (ank )k∈N eine
hat? monotone Teilfolge von (an )n≥1 ist.
4) Man finde alle Häufungspunkte der Folge an = (−1)n + cos nπ
2 (n ≥ 0). 4. Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von (an )n≥1 ?
5) Man finde alle Häufungspunkte der Folge an = sin nπ
2 + (−1)
n(n+1)/2 (n ≥ 0).
6) Man finde alle Häufungspunkte der Folge
√ 21–27) Man untersuche die Folge an (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie
n · cos nπ
an = √ 2 und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für
nπ , (n ≥ 1).
n + sin 2 Grenzwerte den Grenzwert limn→∞ an . Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefi-
sin n
niert ist für alle n ≥ 0.
7) Man zeige, dass die Folge an = n (n ≥ 1) nur 0 als Häufungspunkt hat. √
sin n+cos n 21) a0 = 3, an+1 = 2an − 1 für alle n ≥ 0.
8) Man zeige, dass die Folge an = √
n
(n ≥ 1) nur 0 als Häufungspunkt hat. √
22) a0 = 4, an+1 = 6an − 9 für alle n ≥ 0.
9–12) Man zeige, dass die Folge an konvergiert, indem man zu beliebigem ε > 0 ein N (ε) √
23) a0 = 2, an+1 = 4an − 3 für alle n ≥ 0.
und ein geeignetes a angebe, sodass ∀n > N (ε) : |an − a| < ε. p √
sin n + cos n sin n 24) a0 = 2, an+1 = 4 · an − 3 für alle n ≥ 0. Hinweis: x4 + 6x2 − 16x + 9 = (x − 1)2 (x2 +
9) an = √ , n≥1 10) an = √ 4
, n≥1 2x + 9).
n n
p √
11) an = lnnn , n ≥ 1 25) a0 = 2, an+1 = 2 · an − 1 für alle n ≥ 0. Hinweis: x4 + 2x2 − 4x + 1 = (x − 1)(x3 +
√ 2
Anleitung: Zeigen Sie, dass aus ln x < x2 die Ungleichung ln(n) < n folgt. Die erste x + 3x − 1).
Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden. √
26) a0 = 2, an+1 = 3 2an − 1 für alle n ≥ 0.
12) an = 4nn , , n ≥ 0 √
27) a0 = 1/2, an+1 = 3 2an − 1 für alle n ≥ 0.
Anleitung: Zeigen Sie zunächst n < 2n .
13) Sei (cn )n∈N eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei beschränkte Folgen 28) Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und
(an )n∈N , (bn )n∈N gibt, die cn = abnn für alle n ∈ N erfüllen. mögliche Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der reellen Zahlengeraden:
14) Sei (cn )n∈N eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei Nullfolgen (an )n∈N , (a) (an ) = 0, 1, 21 , 3, 41 , 5, 61 , . . . , 2n + 1, 2n+2
1
,...
(bn )n∈N gibt, die cn = abnn für alle n ∈ N erfüllen.
n+4
(b) (bn) mit bn = n−1 für n ≥ 2
15) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen mit limn→∞ an = a und limn→∞ bn =
b. Man zeige, dass die Folge (cn )n∈N = (an + 2bn )n∈N auch konvergiert mit limn→∞ cn = (c) (cn ) mit cn = (−1)n n+1
n für n ≥ 1
c = a + 2b, indem man zu beliebigem ε > 0 ein N (ε) angebe.
√
16) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen mit limn→∞ an = a und limn→∞ bn = 29) Sei 0 < a0 < c und (an )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen mit an+1 = an c.
b. Man zeige, dass die Folge (cn )n∈N = (3an − bn )n∈N auch konvergiert mit limn→∞ cn = √
c = 3a − b, indem man zu beliebigem ε > 0 ein N (ε) angebe. (a) Zeigen Sie, dass aus 0 < a < c stets a < ac < c folgt.
17) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen mit limn→∞ an = a und limn→∞ bn = (b) Folgern Sie aus (a) mittels Induktion nach n, dass an definiert ist und dass 0 < an < c
b mit b 6= 0. Man zeige, dass dann gilt limn→∞ abnn = ab . — Wieso spielt hierbei die zusätz- für alle n ∈ N. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle
liche Bedingung bn 6= 0 für alle n ∈ N“, die eigentlich für die Existenz der Folge ( abnn )n∈N n ≥ 0.
”
notwendig ist, keine große Rolle?
18) Sei (an )n∈N eine Folge mit limn→∞ an = a. Zeigen Sie, dass limn→∞ |an | = |a|. (c) Zeigen die an irgendein Monotonieverhalten? Wenn ja, welches?
19) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass aus an < bn für alle (d) Untersuchen Sie die an hinsichtlich Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den
n ∈ N immer limn→∞ an ≤ limn→∞ bn folgt. Läßt sich hier ≤ durch < ersetzen? Grenzwert.
1 2
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Analysis für Informatik und Wirtschaftsinformatik (3 − n5 ).
20) Für alle n ∈ N mit n ≥ 1 sei an = 1 + n2 + cos 2
Übungsbeispiele 1. Gelten für die Umgebung U = U1 (3) = (2, 4) von 3 die folgenden beiden Aussagen?
1) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle natürlichen (a) an ∈ U für unendlich viele n.
Zahlen hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.) (b) Es gibt ein N = N (ε) = N (1) mit an ∈ U für alle n ≥ N .
2) Man gebe eine Folge reeller Zahlen an, die als Häufungspunkte genau alle ganzen Zahlen
hat. (Hinweis: Das n-te Folgenglied muss nicht explizit angegeben werden.) 2. Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge (an )n≥1 an.
3) Gibt es eine Folge reeller Zahlen, die als Häufungspunkte genau alle rationalen Zahlen 3. Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen n1 < n2 < . . . an, so dass (ank )k∈N eine
hat? monotone Teilfolge von (an )n≥1 ist.
4) Man finde alle Häufungspunkte der Folge an = (−1)n + cos nπ
2 (n ≥ 0). 4. Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von (an )n≥1 ?
5) Man finde alle Häufungspunkte der Folge an = sin nπ
2 + (−1)
n(n+1)/2 (n ≥ 0).
6) Man finde alle Häufungspunkte der Folge
√ 21–27) Man untersuche die Folge an (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie
n · cos nπ
an = √ 2 und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für
nπ , (n ≥ 1).
n + sin 2 Grenzwerte den Grenzwert limn→∞ an . Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefi-
sin n
niert ist für alle n ≥ 0.
7) Man zeige, dass die Folge an = n (n ≥ 1) nur 0 als Häufungspunkt hat. √
sin n+cos n 21) a0 = 3, an+1 = 2an − 1 für alle n ≥ 0.
8) Man zeige, dass die Folge an = √
n
(n ≥ 1) nur 0 als Häufungspunkt hat. √
22) a0 = 4, an+1 = 6an − 9 für alle n ≥ 0.
9–12) Man zeige, dass die Folge an konvergiert, indem man zu beliebigem ε > 0 ein N (ε) √
23) a0 = 2, an+1 = 4an − 3 für alle n ≥ 0.
und ein geeignetes a angebe, sodass ∀n > N (ε) : |an − a| < ε. p √
sin n + cos n sin n 24) a0 = 2, an+1 = 4 · an − 3 für alle n ≥ 0. Hinweis: x4 + 6x2 − 16x + 9 = (x − 1)2 (x2 +
9) an = √ , n≥1 10) an = √ 4
, n≥1 2x + 9).
n n
p √
11) an = lnnn , n ≥ 1 25) a0 = 2, an+1 = 2 · an − 1 für alle n ≥ 0. Hinweis: x4 + 2x2 − 4x + 1 = (x − 1)(x3 +
√ 2
Anleitung: Zeigen Sie, dass aus ln x < x2 die Ungleichung ln(n) < n folgt. Die erste x + 3x − 1).
Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden. √
26) a0 = 2, an+1 = 3 2an − 1 für alle n ≥ 0.
12) an = 4nn , , n ≥ 0 √
27) a0 = 1/2, an+1 = 3 2an − 1 für alle n ≥ 0.
Anleitung: Zeigen Sie zunächst n < 2n .
13) Sei (cn )n∈N eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei beschränkte Folgen 28) Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und
(an )n∈N , (bn )n∈N gibt, die cn = abnn für alle n ∈ N erfüllen. mögliche Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der reellen Zahlengeraden:
14) Sei (cn )n∈N eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei Nullfolgen (an )n∈N , (a) (an ) = 0, 1, 21 , 3, 41 , 5, 61 , . . . , 2n + 1, 2n+2
1
,...
(bn )n∈N gibt, die cn = abnn für alle n ∈ N erfüllen.
n+4
(b) (bn) mit bn = n−1 für n ≥ 2
15) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen mit limn→∞ an = a und limn→∞ bn =
b. Man zeige, dass die Folge (cn )n∈N = (an + 2bn )n∈N auch konvergiert mit limn→∞ cn = (c) (cn ) mit cn = (−1)n n+1
n für n ≥ 1
c = a + 2b, indem man zu beliebigem ε > 0 ein N (ε) angebe.
√
16) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen mit limn→∞ an = a und limn→∞ bn = 29) Sei 0 < a0 < c und (an )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen mit an+1 = an c.
b. Man zeige, dass die Folge (cn )n∈N = (3an − bn )n∈N auch konvergiert mit limn→∞ cn = √
c = 3a − b, indem man zu beliebigem ε > 0 ein N (ε) angebe. (a) Zeigen Sie, dass aus 0 < a < c stets a < ac < c folgt.
17) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente Folgen mit limn→∞ an = a und limn→∞ bn = (b) Folgern Sie aus (a) mittels Induktion nach n, dass an definiert ist und dass 0 < an < c
b mit b 6= 0. Man zeige, dass dann gilt limn→∞ abnn = ab . — Wieso spielt hierbei die zusätz- für alle n ∈ N. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle
liche Bedingung bn 6= 0 für alle n ∈ N“, die eigentlich für die Existenz der Folge ( abnn )n∈N n ≥ 0.
”
notwendig ist, keine große Rolle?
18) Sei (an )n∈N eine Folge mit limn→∞ an = a. Zeigen Sie, dass limn→∞ |an | = |a|. (c) Zeigen die an irgendein Monotonieverhalten? Wenn ja, welches?
19) Seien (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen. Zeigen Sie, dass aus an < bn für alle (d) Untersuchen Sie die an hinsichtlich Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den
n ∈ N immer limn→∞ an ≤ limn→∞ bn folgt. Läßt sich hier ≤ durch < ersetzen? Grenzwert.
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