MAT1503 ASSIGNMENT 6 2023 Linear Algebra

MAT 1503 Assignment 6 2022




MAT1503
ASSIGNMENT 6

2023
Linear Algebra

, MAT1503

ASSIGNMENT 6


QUESTION 1


QUESTION 1.1


𝑢⃗ =〈1,3, −2〉 𝑎𝑛𝑑 𝑣 = 〈−5,3,2〉

𝐿𝑒𝑡 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑛𝑙𝑔𝑙𝑒 = 𝜃

𝑢⃗ ∙ 𝑣
cos(𝜃) =
‖𝑢⃗ ‖‖𝑣‖
𝑢⃗ ∙ 𝑣 =〈1,3, −2〉 ∙ 〈−5,3,2〉

𝑢⃗ ∙ 𝑣 = −5 + 9 − 4 = 0

𝑆𝑖𝑛𝑐𝑒 𝑢⃗ ∙ 𝑣 = 0 𝑡ℎ𝑒𝑛 𝑢⃗ 𝑎𝑛𝑑 𝑣 𝑎𝑟𝑒 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠



QUESTION 1.2


𝑢⃗ =〈1, −2,4〉 𝑎𝑛𝑑 𝑣 = 〈5,3,7〉

𝐿𝑒𝑡 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑛𝑙𝑔𝑙𝑒 = 𝜃

𝑢⃗ ∙ 𝑣
cos(𝜃) =
‖𝑢⃗ ‖‖𝑣‖
𝑢⃗ ∙ 𝑣 =〈1, −2,4〉 ∙ 〈5,3,7〉

= 5 − 6 + 28

= 27

‖𝑢⃗ ‖ = √(1)2 + (−2)2 + (4)2 = √21

‖𝑣‖ = √(5)2 + (3)2 + (2)2 = √38

, 27
cos(𝜃) =
√21 ∙ √38

, 27
𝜃 = cos −1 ( )
√21 ∙ √38

𝜃 = 17.1° 𝑡ℎ𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑖𝑠 𝑎𝑛 𝑎𝑐𝑢⃗𝑡𝑒




QUESTION 2


QUESTION 2.1


𝑎 ∙ 𝑢⃗
𝑝𝑟𝑜𝑎 𝑢⃗ = 2 𝑎
|𝑎|

𝑎 = 〈−1, −3〉

|𝑎| = √(−1)2 + (−3)2 = √10

𝑢⃗ =〈−1,3〉
〈−1, −3〉 ∙ 〈−1,3〉
𝑝𝑟𝑜𝑎 𝑢⃗ = 2 〈−1, −3〉
(√10)
1−9
= 〈−1, −3〉
10
8

=− 〈−1, −3〉
10
4
= − 〈−1, −3〉
5
4 12
=〈 , 〉
5 5
4 12
𝑝𝑟𝑜𝑎 𝑢⃗ =〈 , 〉
5 5




QUESTION 2.2


𝑎 ∙ 𝑢⃗
𝑝𝑟𝑜𝑎 𝑢⃗ = 2 𝑎
|𝑎|