Rekenen
Gebroken getallen:
Hoofdstuk 1
1.1: breuken en het rekenen met breuken zijn voor veel basisschoolleerlingen lastige
onderwerpen. Dit heeft onder andere te maken met de eigenaardigheid van breuken;
een getal is dan niet heel, soms zelfs kleiner dan 1 . breuken zetten de getallenwereld
voor kinderen op zijn kop. Daarom is er veel aandacht nodig voor het ontwikkelen van
breukbegrip (getalbegrip maar dan speciaal voor breuken) sinds de jaren 80 van de
vorige eeuw is er veel veranderd in het onderwijs in breuken op de basisschool. Vaak
waren dit voor leerlingen betekenisloze rekenregeltjes. Met behulp van dergelijke uitleg
moesten de leerlingen vervolgens zelfs opgaven gaan maken. Het achterliggende idee
was dat kinderen vaste oplosprocedures vanzelf zouden onthouden als ze die maar veel
toepasten. Rekenen was dus met name een kwestie van veel nadoen. Er werd weinig
aandacht geschonken aan de introductie van breuken of het inzichtelijk omgaan met
breuken in de aanschouwelijke fase. er werden veel fouten gemaakt. Dit kwam
doordat de kinderen oplossingswijzen door elkaar haalden en niet spanten wat ze nou
eigenlijk deden. Er was vooral aandacht voor de verschijningsvorm breuk als deel van
een geheel en nauwelijks voor andere verschijningsvormen van breuken. (blz. 45
bezwaar aanpak).
1.1.2: al in de jaren 80 onderzocht L. Streefland hoe kinderen breukbegrip ontwikkelen.
Hij gebruikte het begrip ‘eerlijk verdelen’ als belangrijke betekenisvolle context. Door
eerlijk te delen ontstaan als het ware breuken. Door observatie kinderen vatten
‘eerlijk delen’ anders op dan ‘hetzelfde krijgen;. Zo zegt een leerling: een half en een
kwart is niet hetzelfde als drie-kwart. Je krijgt wel even veel maar de ene keer zijn het
twee stukjes en de andere keer 3. Streefland legde ook conflictsituaties aan kinderen
voor om hen bewust te laten nadenken over situaties als ‘eerlijk delen’ en om te kijken in
hoeverre zij hierdoor beter breukbegrip ontwikkelden. Ook stelde streefland dat het
begrip van gelijkwaardigheid (bijvoorbeeld ½ = 2/4) essentieel is voor het breukbegrip.
Voor het bepalen van gelijkwaardige breuken introduceerde hij de verhoudingstabel.
3 6 9 12 …
4 8 12 15 …
De stof is tegenwoordig flink ingeperkt. Bijvoorbeerd het vermenigvuldigen van een
breuk met een breuk of formeel niveau (1/5 x ¼) dit is voor veel leerlingen in groep 8
nog te abstract. Veel tijd wordt tegenwoordig besteed aan de begripsvormende fase.
Door allerlei verschijningsvormen te gebruiken wordt een brede begripsbasis gelegd
modellen. Verder krijgen kinderen de gelegenheid om eigen oplossingsstrategieën te
hanteren en is er veel aandacht voor het ordenen en vergelijken van breuken. Toch
willen ze de leerstof nog verder beperken. Het hoofdaccent zou voor alle leerlingen
moeten liggen op het ontwikkelen van breukbegrip en inzicht in de samenhang tussen
breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten.
Breukbegrip =
verschillende betekenissen van breuken kunnen onderscheiden.
het relatieve karakter van breuken begrijpen: breuken verwijzen vaak naar een
deel van iets.
Inzicht hebben in de relatie tussen breuken, kommagetallen, verhoudingen en
procenten
Op getalsniveau, getalsrelaties kunnen beredeneren
, Inzicht tonen in gelijkwaardigheid en gelijknamigheid
Breuken kunnen vergelijken en kunnen plaatsen (globaal) op de getallenlijn.
1.2: halverwege de jaren 90 werd de leerlijn voor breuken geformuleerd. De leerlijn is
als volgende ingedeeld.
1. Informeel, context gebonden handelen (groep 6 en 7)
2. Semi-formeel, model ondersteund handelen (groep 7 en 8)
3. Formeel, vakmatig handelen (groep 8 en basisvorming)
Contexten spelen een belangrijke rol in het breukenonderwijs. Contexten sluiten aan op
de voorkennis van leerlingen en op de realiteit. Ze spelen een essentiële rol in
begripsvorming. Daarnaast heeft een en ander een motiverend aspect: contexten
spreken meer aan en zijn vaak leuker dan kale rijtjes opgaven. De drieslag van het
proces van abstraheren: van concreet, via modelondersteund, naar formeel handelen en
redeneren. In 1996 verscheen ‘de breukenbode’, daarmee hadden leerkrachten met 1
boek een complete leergang breuken voor de basisschool in handen. Een opvallende
vernieuwing in de breukendidactiek van de breukenbode is de verbinding van eerlijk
verdelen met allerlei verschillende modellen. Ook krijgt meten een grote rol in de
begripsvormende fase. Door bezig te zijn met eerlijk verdelen en meten ontstaan
breuken. Deze worden verbonden met de modellen strook, getallenlijn en rechthoek.
Verder wordt het aantal formele rekenopgaven drastisch beperkt. De breukenbode
onderscheidt de volgende verschijningsvormen van breuken in de realiteit:
Deel-geheel: 2/3 als van 2 van de 3 delen van een geheel. 2/3 dropjes
Deel van een hoeveelheid: 2/3 van een hoeveelheid. Bijvoorbeeld van een stadion
met 12000 plaatsen
Maat: 2/3 als maat van een lengte, oppervlakte of inhoud.
Eerlijk delen: stokbroden delen met zijn 3en
Verhouding: bijvoorbeeld 2 van de 3 speeltuinen in Nederland
Getal: als rationaal getal waarmee formeel wordt gerekend
Naar mate je verder in de bovenbouw komt kom je vaker kale breuken tegen, maar ook
dan blijven de betekenissen van breuken belangrijk. Al aan het begin van de
begripsvormende fase (groep 5 en 6) worden allerlei meetactiviteiten uitgevoerd ter
bevordering van breukbegrip en ten behoeve van de ontwikkeling van breukentaal.
Eerlijk delen is voor kinderen een logische en betekenisvolle activiteit. In het eerste,
begripsvormende, fase van het leerproces wordt ingegaan op het ontstaan van breuken;
breuken worden door de kinderen ‘zelf gemaakt’ door middel van eerlijk verdelen. In
eerste instantie wordt nadrukkelijk aansluiting gezocht bij de informele kennis die
kinderen reeds hebben. Op basis van de reële situatie van het eerlijk verdelen maken
kinderen tekeningen waaruit in een later stadium verschillende modellen kunnen
ontstaan. Reep of plakmodel een chocoladereep (een geheel) is verdeeld in een
aantal stukjes en blokjes (een hoeveelheid). De stukjes of blokjes krijgen een rol als
zogenaamde ‘bemiddelende grootheid’. Een volgende logische stap is het vergelijken van
breuken vanuit de reële situatie van het verdelen. Wie krijgt er meer? Cirkel model of
reepmodel, plak of strookmodel.
Een verhaal apart is de breuk als meetgetal, hoewel die in realiteit wel voorkomt,
worden meetgetallen vaker als kommagetal genoteerd. Toch hebben we hier bij de
begripsvorming rond breuken wel iets aan, vooral als we kinderen zelf dingen laten
opmeten. Vanuit het meten van objecten met stroken kunnen namelijk ook breuken
ontstaan, net zoals bij het eerlijk verdelen. Binnen meetcontexten zie je een
vergelijkbare aanpak terug, bijvoorbeeld het meten met de zogenaamde ‘breekstokken’.
, Breekstokken zijn ingedeeld in een aantal gelijke delen en kunnen ‘knikken’ door de
losse stukken aan de binnenkant zijn verbonden door een elastiek. kan ook met
stroken. De 2-strook is een strook die verdeeld is in 2 stukken. In een later stadium
worden die 2 stukken elk ½ genoemd.
1.3: vanaf groep 7 worden de verschillende onderdelen van de voorgaande fase
herhaald, verder geoefend en uitgediept. Er wordt toegewerkt naar optellen en aftellen
van breuken. Daarnaast is er aandacht voor bepaalde zaken zoals gelijkwaardigheid van
(kale) breuken. Ook wordt er soms vooruit geblikt naar meer formeel handelen en
redeneren. De fasen context gebonden, model ondersteund en formeel handelen en
redeneren blijven in elkaar overlopen.
Gelijkwaardigheid van breuken is een belangrijk element van breukbegrip. Het is de
bedoeling dat kinderen langzamerhand steeds meer greep krijgen op allerlei
gelijkwaardige relaties. Het kunnen bepalen van gelijkwaardige breuken gaat vooraf aan
het gelijknamig maken van breuken. Gelijknamigheid kan bij het rekenen met breuken
handig zijn. (gelijknamige breuken hebben de zelfde noemer (naam))
De modellen stok, strook en reep liggen in elkaars verlengde (blz. 64)
Huisgenoten is een mooie, aansprekende term voor gelijkwaardige breuken. Hij verwijst
naar breuken die thuishoren op hetzelfde punt op de getallenlijn: deze wonen als het
ware in hetzelfde huis.
Stukjes chocola kun je gebruiken als zogenaamde ‘bemiddelende grootheid’ het werken
met een bemiddelende grootheid sluit aan op het werken met repen en stroken zoals dat
in de vorige fase (informeel, context gebonden handelen) plaatsvond.
Modellen vervullen een brugfunctie tussen het concrete en het formele rekenen. Er zijn
veel modellen die een rol kunnen spelen bij het redeneren en rekenen met breuken: de
strook (reep, stok) het rechthoekmodel (plak(chocola)), het cirkelmodel, de (dubbele)
getallenlijn, de verhoudingstabel en benoemde breuken.
In het ideale geval is een model zowel een model van kinderen als een model voor de
wiskunde. Dat houdt in dat:
- vanuit een concrete situatie (goede context) kinderen zelf een modelmatige
tekening zouden moeten kunnen maken.
- deze modelmatige weergave het latere formele redeneren en rekenen
ondersteunt.
Op de getallenlijn kunnen breuken worden gepositioneerd en geordend. Op de dubbele
getallenlijn en strook kunnen breuken worden verbonden met hele getallen. (blz. 70)
waar aan de ene kant 3/10 wordt geplaats als deel van het geheeld kan aan de andere
kant et bijbehorende gehele getal worden geplaatst. Hier wordt gebruikgemaakt van de
verschijningsvormen breuk als deel van een geheeld en breuk als deel van een
hoeveelheid. Stroken vertonen zowel overeenkomsten als verschillen met breekstokken.
Overeenkomsten zijn bijvoorbeeld dat beiden kunnen worden gebruikt als
meetmateriaal en aansluiten bij de verschijningsvorm breuk als meetgetal en breuk als
deel van een geheel. Een verschil is dat je de strook makkelijk zelf kunt maken terwijl de
breekstok kant en klaar materiaal is.
De breukenkast is een verzameling repen waarop de breuken genoteerd zijn. Je komt ook
de benaming ‘breukenbord’ tegen. Alleen al door te kijken naar de breukenkast kunnen
gelijkwaardige breuken als het ware worden afgelezen.
1.4:uiteindelijk kunnen sommige kinderen in groep 7 en 8 de basisbewerkingen met
breuken of formeel niveau uitvoeren en toepassen. Veel belang wordt gehecht aan het
Gebroken getallen:
Hoofdstuk 1
1.1: breuken en het rekenen met breuken zijn voor veel basisschoolleerlingen lastige
onderwerpen. Dit heeft onder andere te maken met de eigenaardigheid van breuken;
een getal is dan niet heel, soms zelfs kleiner dan 1 . breuken zetten de getallenwereld
voor kinderen op zijn kop. Daarom is er veel aandacht nodig voor het ontwikkelen van
breukbegrip (getalbegrip maar dan speciaal voor breuken) sinds de jaren 80 van de
vorige eeuw is er veel veranderd in het onderwijs in breuken op de basisschool. Vaak
waren dit voor leerlingen betekenisloze rekenregeltjes. Met behulp van dergelijke uitleg
moesten de leerlingen vervolgens zelfs opgaven gaan maken. Het achterliggende idee
was dat kinderen vaste oplosprocedures vanzelf zouden onthouden als ze die maar veel
toepasten. Rekenen was dus met name een kwestie van veel nadoen. Er werd weinig
aandacht geschonken aan de introductie van breuken of het inzichtelijk omgaan met
breuken in de aanschouwelijke fase. er werden veel fouten gemaakt. Dit kwam
doordat de kinderen oplossingswijzen door elkaar haalden en niet spanten wat ze nou
eigenlijk deden. Er was vooral aandacht voor de verschijningsvorm breuk als deel van
een geheel en nauwelijks voor andere verschijningsvormen van breuken. (blz. 45
bezwaar aanpak).
1.1.2: al in de jaren 80 onderzocht L. Streefland hoe kinderen breukbegrip ontwikkelen.
Hij gebruikte het begrip ‘eerlijk verdelen’ als belangrijke betekenisvolle context. Door
eerlijk te delen ontstaan als het ware breuken. Door observatie kinderen vatten
‘eerlijk delen’ anders op dan ‘hetzelfde krijgen;. Zo zegt een leerling: een half en een
kwart is niet hetzelfde als drie-kwart. Je krijgt wel even veel maar de ene keer zijn het
twee stukjes en de andere keer 3. Streefland legde ook conflictsituaties aan kinderen
voor om hen bewust te laten nadenken over situaties als ‘eerlijk delen’ en om te kijken in
hoeverre zij hierdoor beter breukbegrip ontwikkelden. Ook stelde streefland dat het
begrip van gelijkwaardigheid (bijvoorbeeld ½ = 2/4) essentieel is voor het breukbegrip.
Voor het bepalen van gelijkwaardige breuken introduceerde hij de verhoudingstabel.
3 6 9 12 …
4 8 12 15 …
De stof is tegenwoordig flink ingeperkt. Bijvoorbeerd het vermenigvuldigen van een
breuk met een breuk of formeel niveau (1/5 x ¼) dit is voor veel leerlingen in groep 8
nog te abstract. Veel tijd wordt tegenwoordig besteed aan de begripsvormende fase.
Door allerlei verschijningsvormen te gebruiken wordt een brede begripsbasis gelegd
modellen. Verder krijgen kinderen de gelegenheid om eigen oplossingsstrategieën te
hanteren en is er veel aandacht voor het ordenen en vergelijken van breuken. Toch
willen ze de leerstof nog verder beperken. Het hoofdaccent zou voor alle leerlingen
moeten liggen op het ontwikkelen van breukbegrip en inzicht in de samenhang tussen
breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten.
Breukbegrip =
verschillende betekenissen van breuken kunnen onderscheiden.
het relatieve karakter van breuken begrijpen: breuken verwijzen vaak naar een
deel van iets.
Inzicht hebben in de relatie tussen breuken, kommagetallen, verhoudingen en
procenten
Op getalsniveau, getalsrelaties kunnen beredeneren
, Inzicht tonen in gelijkwaardigheid en gelijknamigheid
Breuken kunnen vergelijken en kunnen plaatsen (globaal) op de getallenlijn.
1.2: halverwege de jaren 90 werd de leerlijn voor breuken geformuleerd. De leerlijn is
als volgende ingedeeld.
1. Informeel, context gebonden handelen (groep 6 en 7)
2. Semi-formeel, model ondersteund handelen (groep 7 en 8)
3. Formeel, vakmatig handelen (groep 8 en basisvorming)
Contexten spelen een belangrijke rol in het breukenonderwijs. Contexten sluiten aan op
de voorkennis van leerlingen en op de realiteit. Ze spelen een essentiële rol in
begripsvorming. Daarnaast heeft een en ander een motiverend aspect: contexten
spreken meer aan en zijn vaak leuker dan kale rijtjes opgaven. De drieslag van het
proces van abstraheren: van concreet, via modelondersteund, naar formeel handelen en
redeneren. In 1996 verscheen ‘de breukenbode’, daarmee hadden leerkrachten met 1
boek een complete leergang breuken voor de basisschool in handen. Een opvallende
vernieuwing in de breukendidactiek van de breukenbode is de verbinding van eerlijk
verdelen met allerlei verschillende modellen. Ook krijgt meten een grote rol in de
begripsvormende fase. Door bezig te zijn met eerlijk verdelen en meten ontstaan
breuken. Deze worden verbonden met de modellen strook, getallenlijn en rechthoek.
Verder wordt het aantal formele rekenopgaven drastisch beperkt. De breukenbode
onderscheidt de volgende verschijningsvormen van breuken in de realiteit:
Deel-geheel: 2/3 als van 2 van de 3 delen van een geheel. 2/3 dropjes
Deel van een hoeveelheid: 2/3 van een hoeveelheid. Bijvoorbeeld van een stadion
met 12000 plaatsen
Maat: 2/3 als maat van een lengte, oppervlakte of inhoud.
Eerlijk delen: stokbroden delen met zijn 3en
Verhouding: bijvoorbeeld 2 van de 3 speeltuinen in Nederland
Getal: als rationaal getal waarmee formeel wordt gerekend
Naar mate je verder in de bovenbouw komt kom je vaker kale breuken tegen, maar ook
dan blijven de betekenissen van breuken belangrijk. Al aan het begin van de
begripsvormende fase (groep 5 en 6) worden allerlei meetactiviteiten uitgevoerd ter
bevordering van breukbegrip en ten behoeve van de ontwikkeling van breukentaal.
Eerlijk delen is voor kinderen een logische en betekenisvolle activiteit. In het eerste,
begripsvormende, fase van het leerproces wordt ingegaan op het ontstaan van breuken;
breuken worden door de kinderen ‘zelf gemaakt’ door middel van eerlijk verdelen. In
eerste instantie wordt nadrukkelijk aansluiting gezocht bij de informele kennis die
kinderen reeds hebben. Op basis van de reële situatie van het eerlijk verdelen maken
kinderen tekeningen waaruit in een later stadium verschillende modellen kunnen
ontstaan. Reep of plakmodel een chocoladereep (een geheel) is verdeeld in een
aantal stukjes en blokjes (een hoeveelheid). De stukjes of blokjes krijgen een rol als
zogenaamde ‘bemiddelende grootheid’. Een volgende logische stap is het vergelijken van
breuken vanuit de reële situatie van het verdelen. Wie krijgt er meer? Cirkel model of
reepmodel, plak of strookmodel.
Een verhaal apart is de breuk als meetgetal, hoewel die in realiteit wel voorkomt,
worden meetgetallen vaker als kommagetal genoteerd. Toch hebben we hier bij de
begripsvorming rond breuken wel iets aan, vooral als we kinderen zelf dingen laten
opmeten. Vanuit het meten van objecten met stroken kunnen namelijk ook breuken
ontstaan, net zoals bij het eerlijk verdelen. Binnen meetcontexten zie je een
vergelijkbare aanpak terug, bijvoorbeeld het meten met de zogenaamde ‘breekstokken’.
, Breekstokken zijn ingedeeld in een aantal gelijke delen en kunnen ‘knikken’ door de
losse stukken aan de binnenkant zijn verbonden door een elastiek. kan ook met
stroken. De 2-strook is een strook die verdeeld is in 2 stukken. In een later stadium
worden die 2 stukken elk ½ genoemd.
1.3: vanaf groep 7 worden de verschillende onderdelen van de voorgaande fase
herhaald, verder geoefend en uitgediept. Er wordt toegewerkt naar optellen en aftellen
van breuken. Daarnaast is er aandacht voor bepaalde zaken zoals gelijkwaardigheid van
(kale) breuken. Ook wordt er soms vooruit geblikt naar meer formeel handelen en
redeneren. De fasen context gebonden, model ondersteund en formeel handelen en
redeneren blijven in elkaar overlopen.
Gelijkwaardigheid van breuken is een belangrijk element van breukbegrip. Het is de
bedoeling dat kinderen langzamerhand steeds meer greep krijgen op allerlei
gelijkwaardige relaties. Het kunnen bepalen van gelijkwaardige breuken gaat vooraf aan
het gelijknamig maken van breuken. Gelijknamigheid kan bij het rekenen met breuken
handig zijn. (gelijknamige breuken hebben de zelfde noemer (naam))
De modellen stok, strook en reep liggen in elkaars verlengde (blz. 64)
Huisgenoten is een mooie, aansprekende term voor gelijkwaardige breuken. Hij verwijst
naar breuken die thuishoren op hetzelfde punt op de getallenlijn: deze wonen als het
ware in hetzelfde huis.
Stukjes chocola kun je gebruiken als zogenaamde ‘bemiddelende grootheid’ het werken
met een bemiddelende grootheid sluit aan op het werken met repen en stroken zoals dat
in de vorige fase (informeel, context gebonden handelen) plaatsvond.
Modellen vervullen een brugfunctie tussen het concrete en het formele rekenen. Er zijn
veel modellen die een rol kunnen spelen bij het redeneren en rekenen met breuken: de
strook (reep, stok) het rechthoekmodel (plak(chocola)), het cirkelmodel, de (dubbele)
getallenlijn, de verhoudingstabel en benoemde breuken.
In het ideale geval is een model zowel een model van kinderen als een model voor de
wiskunde. Dat houdt in dat:
- vanuit een concrete situatie (goede context) kinderen zelf een modelmatige
tekening zouden moeten kunnen maken.
- deze modelmatige weergave het latere formele redeneren en rekenen
ondersteunt.
Op de getallenlijn kunnen breuken worden gepositioneerd en geordend. Op de dubbele
getallenlijn en strook kunnen breuken worden verbonden met hele getallen. (blz. 70)
waar aan de ene kant 3/10 wordt geplaats als deel van het geheeld kan aan de andere
kant et bijbehorende gehele getal worden geplaatst. Hier wordt gebruikgemaakt van de
verschijningsvormen breuk als deel van een geheeld en breuk als deel van een
hoeveelheid. Stroken vertonen zowel overeenkomsten als verschillen met breekstokken.
Overeenkomsten zijn bijvoorbeeld dat beiden kunnen worden gebruikt als
meetmateriaal en aansluiten bij de verschijningsvorm breuk als meetgetal en breuk als
deel van een geheel. Een verschil is dat je de strook makkelijk zelf kunt maken terwijl de
breekstok kant en klaar materiaal is.
De breukenkast is een verzameling repen waarop de breuken genoteerd zijn. Je komt ook
de benaming ‘breukenbord’ tegen. Alleen al door te kijken naar de breukenkast kunnen
gelijkwaardige breuken als het ware worden afgelezen.
1.4:uiteindelijk kunnen sommige kinderen in groep 7 en 8 de basisbewerkingen met
breuken of formeel niveau uitvoeren en toepassen. Veel belang wordt gehecht aan het
