Mathematik Abitur
Q1 - Analysis
17
,Analysis
Inhalt
1. Grundlegende Eigenschaften von Funktionen ................................................................................ 5
1.1. Stetigkeit.................................................................................................................................. 5
1.2. Monotonie ............................................................................................................................... 5
1.3. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ............................................................................ 6
2. Satz von BOLZANO........................................................................................................................... 6
3. Die lineare Funktion ........................................................................................................................ 6
4. Definitionsbereich und Wertebereich ............................................................................................. 7
5. Lagebeziehungen zweier Geraden .................................................................................................. 8
5.1. Geraden schneiden sich .......................................................................................................... 8
5.2. Parallele Geraden .................................................................................................................... 8
5.3. Identische Geraden ................................................................................................................. 8
6. Schnittwinkel zweier Geraden......................................................................................................... 9
7. Quadratische Funktionen ................................................................................................................ 9
7.1. Lösen von quadratischen Gleichungen ................................................................................... 9
7.2. Lösbarkeit von quadratischen Gleichungen ............................................................................ 9
8. Polynomendivision ........................................................................................................................ 10
9. Substitution ................................................................................................................................... 10
10. Umwandeln von abc-Form in die Scheitelpunktform ............................................................... 11
11. Schnittpunkte von quadratischen Funktionen .......................................................................... 11
12. Bestimmung einer Parabelgleichung......................................................................................... 12
13. Kurvendiskussion ....................................................................................................................... 12
13.1. Definitionsbereich ............................................................................................................. 12
13.2. Symmetrie ......................................................................................................................... 12
13.3. Nullstellen .......................................................................................................................... 13
13.4. Extrempunkte (Extrema) ................................................................................................... 13
13.5. Wendepunkte (WP) ........................................................................................................... 13
13.6. Verhalten im Unendlichen................................................................................................. 13
13.7. Zeichnung .......................................................................................................................... 13
13.8. Wertebereich..................................................................................................................... 14
14. Vorzeichenwechselkriterium ..................................................................................................... 14
14.1. Berechnung von HP, TP und SP ......................................................................................... 14
1
, 14.2. Berechnung von WP .......................................................................................................... 15
15. Regel von l’Hospital ................................................................................................................... 15
16. Anwendung quadratischer Fkt. – Extremwertprobleme........................................................... 16
17. Linearfaktoren in Normalenform .............................................................................................. 17
18. Ableitungsregeln........................................................................................................................ 17
18.1. Quotientenregel ................................................................................................................ 17
18.2. Kettenregel ........................................................................................................................ 17
18.3. Produktregel ...................................................................................................................... 18
18.4. Elementare Ableitungsregeln ............................................................................................ 18
18.4.1. Potenzregel.................................................................................................................... 18
18.4.2. Summenregel ................................................................................................................ 18
18.4.3. Konstantenregel ............................................................................................................ 18
18.4.4. Faktorregel .................................................................................................................... 18
19. Umkehrfunktion ........................................................................................................................ 19
20. 𝒆-Funktion ................................................................................................................................. 19
20.1. Ableitung ........................................................................................................................... 19
20.2. Definitionsbereich ............................................................................................................. 19
20.3. Symmetrie ......................................................................................................................... 20
20.4. NST/Extreme/Wendepunkte ............................................................................................. 20
20.5. Grenzwerte ........................................................................................................................ 20
20.6. Wertebereich..................................................................................................................... 20
21. ln-Funktionen ............................................................................................................................ 20
21.1. Besondere Logarithmen .................................................................................................... 21
21.2. Rechenregeln für ln ........................................................................................................... 21
21.3. Lösen von Logarithmusgleichungen .................................................................................. 21
21.4. Kurvendiskussion von ln-Funktionen ................................................................................ 21
22. Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion........................................................... 22
22.1. Definitionsbereich ............................................................................................................. 22
22.2. Symmetrie ......................................................................................................................... 22
22.3. Nullstellen .......................................................................................................................... 22
22.4. Extrema ............................................................................................................................. 22
22.5. Wendepunkte .................................................................................................................... 22
22.6. Grenzwerte ........................................................................................................................ 23
22.7. Skizze + Wertebereich ....................................................................................................... 23
22.8. Beispiel .............................................................................................................................. 24
2
, 22.8.1. Symmetrie ..................................................................................................................... 24
22.8.2. Definitionsbereich ......................................................................................................... 24
22.8.3. Ableitungen ................................................................................................................... 24
22.8.4. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen................................................................... 24
22.8.5. Extrema ......................................................................................................................... 25
22.8.6. Wendestellen ................................................................................................................ 25
22.8.7. Verhalten im Unendlichen............................................................................................. 25
22.9. Asymptotisches Verhalten gebrochen –rationaler Fkt. ..................................................... 26
22.9.1. Senkrechte Asymptote .................................................................................................. 26
22.9.2. Waagerechte Asymptote............................................................................................... 26
22.9.3. Schiefe Asymptote......................................................................................................... 26
23. Wurzelfunktionen ...................................................................................................................... 27
24. Tangente und Normale/Orthogonale........................................................................................ 27
24.1. Tangente ............................................................................................................................ 27
24.2. Normale/Orthogonale ....................................................................................................... 27
25. Rekonstruktion einer Funktionsgleichung................................................................................. 28
26. Ortskurve aller Extrema/Wendepunkte einer Kurvenschar ...................................................... 29
27. Strahlensätze ............................................................................................................................. 30
28. Trigonometrische Funktionen ................................................................................................... 30
28.1. Das Bogenmaß ................................................................................................................... 30
28.2. Graph der trigonometrischen Funktionen ........................................................................ 31
28.3. Lösen einfacher trigonometrischer Funktionen ................................................................ 32
28.4. Trigonometrischer Pythagoras .......................................................................................... 32
28.5. Die allgemeine Sinusfunktion ............................................................................................ 32
28.6. Sinus-Eigenschaften........................................................................................................... 32
28.7. Cosinus Eigenschaften ....................................................................................................... 32
29. Extremwertaufgaben mit Funktionen ....................................................................................... 33
30. Integralrechnung ....................................................................................................................... 34
31. Die Eindeutigkeit der Stammfunktion ....................................................................................... 34
32. Das unbestimmte Integral ......................................................................................................... 34
33. Untersumme/Obersumme ........................................................................................................ 35
34. Integrationsregel ....................................................................................................................... 35
34.1. Potenzregel........................................................................................................................ 35
34.2. Summenregel .................................................................................................................... 35
34.3. Faktorregel ........................................................................................................................ 35
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Q1 - Analysis
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,Analysis
Inhalt
1. Grundlegende Eigenschaften von Funktionen ................................................................................ 5
1.1. Stetigkeit.................................................................................................................................. 5
1.2. Monotonie ............................................................................................................................... 5
1.3. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ............................................................................ 6
2. Satz von BOLZANO........................................................................................................................... 6
3. Die lineare Funktion ........................................................................................................................ 6
4. Definitionsbereich und Wertebereich ............................................................................................. 7
5. Lagebeziehungen zweier Geraden .................................................................................................. 8
5.1. Geraden schneiden sich .......................................................................................................... 8
5.2. Parallele Geraden .................................................................................................................... 8
5.3. Identische Geraden ................................................................................................................. 8
6. Schnittwinkel zweier Geraden......................................................................................................... 9
7. Quadratische Funktionen ................................................................................................................ 9
7.1. Lösen von quadratischen Gleichungen ................................................................................... 9
7.2. Lösbarkeit von quadratischen Gleichungen ............................................................................ 9
8. Polynomendivision ........................................................................................................................ 10
9. Substitution ................................................................................................................................... 10
10. Umwandeln von abc-Form in die Scheitelpunktform ............................................................... 11
11. Schnittpunkte von quadratischen Funktionen .......................................................................... 11
12. Bestimmung einer Parabelgleichung......................................................................................... 12
13. Kurvendiskussion ....................................................................................................................... 12
13.1. Definitionsbereich ............................................................................................................. 12
13.2. Symmetrie ......................................................................................................................... 12
13.3. Nullstellen .......................................................................................................................... 13
13.4. Extrempunkte (Extrema) ................................................................................................... 13
13.5. Wendepunkte (WP) ........................................................................................................... 13
13.6. Verhalten im Unendlichen................................................................................................. 13
13.7. Zeichnung .......................................................................................................................... 13
13.8. Wertebereich..................................................................................................................... 14
14. Vorzeichenwechselkriterium ..................................................................................................... 14
14.1. Berechnung von HP, TP und SP ......................................................................................... 14
1
, 14.2. Berechnung von WP .......................................................................................................... 15
15. Regel von l’Hospital ................................................................................................................... 15
16. Anwendung quadratischer Fkt. – Extremwertprobleme........................................................... 16
17. Linearfaktoren in Normalenform .............................................................................................. 17
18. Ableitungsregeln........................................................................................................................ 17
18.1. Quotientenregel ................................................................................................................ 17
18.2. Kettenregel ........................................................................................................................ 17
18.3. Produktregel ...................................................................................................................... 18
18.4. Elementare Ableitungsregeln ............................................................................................ 18
18.4.1. Potenzregel.................................................................................................................... 18
18.4.2. Summenregel ................................................................................................................ 18
18.4.3. Konstantenregel ............................................................................................................ 18
18.4.4. Faktorregel .................................................................................................................... 18
19. Umkehrfunktion ........................................................................................................................ 19
20. 𝒆-Funktion ................................................................................................................................. 19
20.1. Ableitung ........................................................................................................................... 19
20.2. Definitionsbereich ............................................................................................................. 19
20.3. Symmetrie ......................................................................................................................... 20
20.4. NST/Extreme/Wendepunkte ............................................................................................. 20
20.5. Grenzwerte ........................................................................................................................ 20
20.6. Wertebereich..................................................................................................................... 20
21. ln-Funktionen ............................................................................................................................ 20
21.1. Besondere Logarithmen .................................................................................................... 21
21.2. Rechenregeln für ln ........................................................................................................... 21
21.3. Lösen von Logarithmusgleichungen .................................................................................. 21
21.4. Kurvendiskussion von ln-Funktionen ................................................................................ 21
22. Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion........................................................... 22
22.1. Definitionsbereich ............................................................................................................. 22
22.2. Symmetrie ......................................................................................................................... 22
22.3. Nullstellen .......................................................................................................................... 22
22.4. Extrema ............................................................................................................................. 22
22.5. Wendepunkte .................................................................................................................... 22
22.6. Grenzwerte ........................................................................................................................ 23
22.7. Skizze + Wertebereich ....................................................................................................... 23
22.8. Beispiel .............................................................................................................................. 24
2
, 22.8.1. Symmetrie ..................................................................................................................... 24
22.8.2. Definitionsbereich ......................................................................................................... 24
22.8.3. Ableitungen ................................................................................................................... 24
22.8.4. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen................................................................... 24
22.8.5. Extrema ......................................................................................................................... 25
22.8.6. Wendestellen ................................................................................................................ 25
22.8.7. Verhalten im Unendlichen............................................................................................. 25
22.9. Asymptotisches Verhalten gebrochen –rationaler Fkt. ..................................................... 26
22.9.1. Senkrechte Asymptote .................................................................................................. 26
22.9.2. Waagerechte Asymptote............................................................................................... 26
22.9.3. Schiefe Asymptote......................................................................................................... 26
23. Wurzelfunktionen ...................................................................................................................... 27
24. Tangente und Normale/Orthogonale........................................................................................ 27
24.1. Tangente ............................................................................................................................ 27
24.2. Normale/Orthogonale ....................................................................................................... 27
25. Rekonstruktion einer Funktionsgleichung................................................................................. 28
26. Ortskurve aller Extrema/Wendepunkte einer Kurvenschar ...................................................... 29
27. Strahlensätze ............................................................................................................................. 30
28. Trigonometrische Funktionen ................................................................................................... 30
28.1. Das Bogenmaß ................................................................................................................... 30
28.2. Graph der trigonometrischen Funktionen ........................................................................ 31
28.3. Lösen einfacher trigonometrischer Funktionen ................................................................ 32
28.4. Trigonometrischer Pythagoras .......................................................................................... 32
28.5. Die allgemeine Sinusfunktion ............................................................................................ 32
28.6. Sinus-Eigenschaften........................................................................................................... 32
28.7. Cosinus Eigenschaften ....................................................................................................... 32
29. Extremwertaufgaben mit Funktionen ....................................................................................... 33
30. Integralrechnung ....................................................................................................................... 34
31. Die Eindeutigkeit der Stammfunktion ....................................................................................... 34
32. Das unbestimmte Integral ......................................................................................................... 34
33. Untersumme/Obersumme ........................................................................................................ 35
34. Integrationsregel ....................................................................................................................... 35
34.1. Potenzregel........................................................................................................................ 35
34.2. Summenregel .................................................................................................................... 35
34.3. Faktorregel ........................................................................................................................ 35
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