Lineare
Abbildung
eine
Abbildung heipt Linear wenn
L : V -W nver ask
((n + v) = L(u) + L()
((au) =
a((t)
InjektiVitat : Wenn EV auf einen
eindeutigen in W abgebildet
wird
( (vi) =
((v) >
- Ve = U2
das L von zwei wird nicht gleich
sein
auch das Kern : vekoren EV die
auf nell im Wabgebildet werden
enthalt ker()
nur null vektor =
203
List injektiv =
Ken(() =
[03 Es dim (Ken (4) =
0
Surjektivitat
EW ein Urbild in V hat
Jedes element
Bild(2) = W dim (Bild(2)) = dim(w)
RET R3 ((x1 xc)((X1 , , x2 , 8) X
dim (Bild(2)) = 2 dim (W) = 3 also nicht
surjektive
Punkt findet man durch LGs. ein
Demn Sion satz
moglicher
de ist
Nichtungs von dieser Schnitt Geva
das demension (nxm)
Das
besagt von Vist
<MixT => m Q)
< n X = n.P > n ,
gleich
,
dem (Kern (2) + dim (Bild (2)
R=
L() ( *2)
B:
=
Kern(L) =
(x1x2Xs) x1 = xz = 0
Ker(L) = 100 x 3) dim (Ker(2)) = 1
Bild(2) = (x1 . X2) dim Bild(r = 2 Matrizen *
A A
dimu =
1 + 2 =
3
ein komplexe Matrix heipt Selbstadjangiert =
symtriy = A =
AT Matrix heit
Abbildung
invertier bar
Wenn eine bejektive ist *
Ein
dann ist Lauch inverterbar wenn es eine Matrix
↳ E Hom (W u) d h ,
.
List eine Linare gibt Das A B .
=
In Einheimatrix
Abbildung ron w nach v B= inverse von A also A
1
List injektiv
dim (v) - dim (W) (AB = BAT LAB BA
dimsu) > dim (w) homogine wenn in einer Las
L ist Surjektiv Ax = b D=0 sonst in homgin
Xi + 2X =0
List bijkfire dim (W) =
dim(W) 2x1 + 2x = 0 4 =
[(8)3
Losung menge ((s) =
[x =
*
k /Ax b 3 =
sei U VW vektorrame
x1 + 2x2 = 3
L Hom(U U) . n ME Hom(V W) ,
Linear o + 0 =
0 UnendlicheSe
Abbildung (MoL) E Hom(U W) , eine Linear
Xi + 2xz = 3
Natkeine
Abbildung .
(1) = 0
0 + 0 = 6 Lsung
Sei LEHom(Viwl Abb VT W
fur Matrix die Anzahl
Rang = der
Kern(L) ist eine WVR des Nicht null zeilen
Sa
Bild(2) ist UVR des W den A12
an
%
....
r< m
und einer
ist WVR V ist ((U) ein WVR
Wein von
,
so
arn
W O but bm
br
von e ...
Wenn EV linear o
ve -- Un
abhangig
80 8
3 to dann
Une
.
dann ((V1)-- L(un) . EW linear
ablicing
W = (in (un 42) .
ur-gi wenn ein LGS hatkeinend
wenn Linear unabhngig dann die andr Q = Abstand zwischen Qund U berechnen Losungen hat z .
b mit Paramet
auch
unabhanging
linear si er e . n mussen wir die
1 = Q -
<Q .
b1)b1 -
XQ bz) ba
.
bestimmen 1) unendliche Lisan
2) eine eindeutige Lisung mit
Parameter
Abbildung
eine
Abbildung heipt Linear wenn
L : V -W nver ask
((n + v) = L(u) + L()
((au) =
a((t)
InjektiVitat : Wenn EV auf einen
eindeutigen in W abgebildet
wird
( (vi) =
((v) >
- Ve = U2
das L von zwei wird nicht gleich
sein
auch das Kern : vekoren EV die
auf nell im Wabgebildet werden
enthalt ker()
nur null vektor =
203
List injektiv =
Ken(() =
[03 Es dim (Ken (4) =
0
Surjektivitat
EW ein Urbild in V hat
Jedes element
Bild(2) = W dim (Bild(2)) = dim(w)
RET R3 ((x1 xc)((X1 , , x2 , 8) X
dim (Bild(2)) = 2 dim (W) = 3 also nicht
surjektive
Punkt findet man durch LGs. ein
Demn Sion satz
moglicher
de ist
Nichtungs von dieser Schnitt Geva
das demension (nxm)
Das
besagt von Vist
<MixT => m Q)
< n X = n.P > n ,
gleich
,
dem (Kern (2) + dim (Bild (2)
R=
L() ( *2)
B:
=
Kern(L) =
(x1x2Xs) x1 = xz = 0
Ker(L) = 100 x 3) dim (Ker(2)) = 1
Bild(2) = (x1 . X2) dim Bild(r = 2 Matrizen *
A A
dimu =
1 + 2 =
3
ein komplexe Matrix heipt Selbstadjangiert =
symtriy = A =
AT Matrix heit
Abbildung
invertier bar
Wenn eine bejektive ist *
Ein
dann ist Lauch inverterbar wenn es eine Matrix
↳ E Hom (W u) d h ,
.
List eine Linare gibt Das A B .
=
In Einheimatrix
Abbildung ron w nach v B= inverse von A also A
1
List injektiv
dim (v) - dim (W) (AB = BAT LAB BA
dimsu) > dim (w) homogine wenn in einer Las
L ist Surjektiv Ax = b D=0 sonst in homgin
Xi + 2X =0
List bijkfire dim (W) =
dim(W) 2x1 + 2x = 0 4 =
[(8)3
Losung menge ((s) =
[x =
*
k /Ax b 3 =
sei U VW vektorrame
x1 + 2x2 = 3
L Hom(U U) . n ME Hom(V W) ,
Linear o + 0 =
0 UnendlicheSe
Abbildung (MoL) E Hom(U W) , eine Linear
Xi + 2xz = 3
Natkeine
Abbildung .
(1) = 0
0 + 0 = 6 Lsung
Sei LEHom(Viwl Abb VT W
fur Matrix die Anzahl
Rang = der
Kern(L) ist eine WVR des Nicht null zeilen
Sa
Bild(2) ist UVR des W den A12
an
%
....
r< m
und einer
ist WVR V ist ((U) ein WVR
Wein von
,
so
arn
W O but bm
br
von e ...
Wenn EV linear o
ve -- Un
abhangig
80 8
3 to dann
Une
.
dann ((V1)-- L(un) . EW linear
ablicing
W = (in (un 42) .
ur-gi wenn ein LGS hatkeinend
wenn Linear unabhngig dann die andr Q = Abstand zwischen Qund U berechnen Losungen hat z .
b mit Paramet
auch
unabhanging
linear si er e . n mussen wir die
1 = Q -
<Q .
b1)b1 -
XQ bz) ba
.
bestimmen 1) unendliche Lisan
2) eine eindeutige Lisung mit
Parameter
