Motivation:
Aus einer trapezförmigen Holzplatte soll ein möglichst großes Rechteck geschnitten werden.
Lösungtrategie:
[1] Aufstellen eines Terms für die Größe, die extremal werden soll (kann mehr als eine Variable enthalten).
Flächeninhalt: A = u * v
[2] Formulieren einer Nebenbedingung, die eine Abhängigkeit zwischen den Variablen herstellt.
hier: oberer rechter Punkt (u/v) so13
liegt auf einer Kante, die mit einer Gerade beschrieben werden.
50 -
v = -2u + 60
40 -
y = -2x + 60
[3] Die Zielfunktion aufstellen, die nur noch eine Variable enthält. 38 -
Pluiu)
wichtig: Definitionsmenge! 20 -
~
10
A(u) = u * (-2u + 60)
-
2
= -2u + 60u to no so
u e [20 ; 30]
[4] Extremstellen der Zielfunktion A(u) soll maximal werden.
A'(u) = -4u + 60
A"(u) = -4 < 0 → HP
A'(u) = 0
·
-4u + 60 = 0
u = 15
Problem: 15 ≠ D
→ Randwerte untersuchen:
A(20) = -2 * 20 + 60 * 20 = 400 → größter Wert
2
2
A(30) = -2 * 30 + 60 * 30 = 0
[5] Ergebnis formulieren:
2
Für u = 20 ist der Flächeninhalt maximal, nämlich 400 cm .
III Exponential- und Logarithmusfunktionen
Definition:
Für die Euler'sche Zahl e stimmt die Exponentialfunktion f mit f(x) = ex mit ihrer Ableitungsfunktion f' überein.
Die Funktion f mit f(x) = ex heißt natürliche Exponentialfunktion.
Beispiele:
a) f(x) =
5e* + x3 c) f(x) =
3x . exh
"
v'(X)(au'(x)
f'(x) = 5ex + 3x ↑ (x)
'
=
3 . ex + 3x .
2x .
2
= zex 6x2ex2+
=
ex (3 6x) +
1Y
I
Der Graph von g(x) ist aus der Spiegelung von des Graphen von f(x) an der y-Achse
hervorgegangen und ist daher achsensymmetrisch zur y-Achse.
g(x) = e-x
-
2
f(x) = e x
& I
"X
-4 -
2 2 !
Aus einer trapezförmigen Holzplatte soll ein möglichst großes Rechteck geschnitten werden.
Lösungtrategie:
[1] Aufstellen eines Terms für die Größe, die extremal werden soll (kann mehr als eine Variable enthalten).
Flächeninhalt: A = u * v
[2] Formulieren einer Nebenbedingung, die eine Abhängigkeit zwischen den Variablen herstellt.
hier: oberer rechter Punkt (u/v) so13
liegt auf einer Kante, die mit einer Gerade beschrieben werden.
50 -
v = -2u + 60
40 -
y = -2x + 60
[3] Die Zielfunktion aufstellen, die nur noch eine Variable enthält. 38 -
Pluiu)
wichtig: Definitionsmenge! 20 -
~
10
A(u) = u * (-2u + 60)
-
2
= -2u + 60u to no so
u e [20 ; 30]
[4] Extremstellen der Zielfunktion A(u) soll maximal werden.
A'(u) = -4u + 60
A"(u) = -4 < 0 → HP
A'(u) = 0
·
-4u + 60 = 0
u = 15
Problem: 15 ≠ D
→ Randwerte untersuchen:
A(20) = -2 * 20 + 60 * 20 = 400 → größter Wert
2
2
A(30) = -2 * 30 + 60 * 30 = 0
[5] Ergebnis formulieren:
2
Für u = 20 ist der Flächeninhalt maximal, nämlich 400 cm .
III Exponential- und Logarithmusfunktionen
Definition:
Für die Euler'sche Zahl e stimmt die Exponentialfunktion f mit f(x) = ex mit ihrer Ableitungsfunktion f' überein.
Die Funktion f mit f(x) = ex heißt natürliche Exponentialfunktion.
Beispiele:
a) f(x) =
5e* + x3 c) f(x) =
3x . exh
"
v'(X)(au'(x)
f'(x) = 5ex + 3x ↑ (x)
'
=
3 . ex + 3x .
2x .
2
= zex 6x2ex2+
=
ex (3 6x) +
1Y
I
Der Graph von g(x) ist aus der Spiegelung von des Graphen von f(x) an der y-Achse
hervorgegangen und ist daher achsensymmetrisch zur y-Achse.
g(x) = e-x
-
2
f(x) = e x
& I
"X
-4 -
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