Kern-Teilchen-Astrophysik 1 - Theorie-Zusammenfassung

KTA1 Theorie


RELATIVISTISCHE KINEMATIK


Galilei Transformation t =
t Lorentz Transformation ct' =

p (ct -




BX) with B= v
=
x =
x -

vt x =
y(x
-




B(t)
mit invarianten :
mit invarianten :



En (tnim) ,
Ez(tz ,2) (AS) =
c
=
(At) 2 -




(xx) -




(xy) -




(xz)


im MINKOWSKI-RAUM :




Lorentz-Vektoren : x" = (t , ) =
(x x , ,
x2 ,
xx) contravariant X =

garx
Xm = ( , -*) =
(X0 ,
X1 ,
42 ,
xa) covariant -Xa =

garX
1




S

( e S =
O S 0
gilt
:
Es




Eu
Metrik : · mit Summations-Konvention :




... I
zeitartig
ur
gMugge
= M >
(MinKorski)
G ggru
O

p -
1
=


gergru x2 -




To
8
Lichtartig
raumartig
( bedeutet nicht
gar
=

gru
~
=
invariant unter
Skalarprodukt :
X -




y
=

gMX ym
=
x
ya
=

gaxy =
XeY Lorentz-Transformationen



Lorentz -Transformation :
Lineare Transformation von einem
Bezugssystem ins andere , wobei der Abstand zweier


N I I' und Raumzeit
Ereignisse in de 4-dim invariant ist
: --
X y .


.




↑
bewegt sich mit v
relativ zu I

X -
Xm = Xv wobei
=X und xy
=
Xy = =

g

xm ->
ym) =
NXv Länge" bleibt erhalten Metrik bleibt erhalten



B Boost in
.
X-Richtung
z .

:




!


( Bu
1 1
eigentliche Lorenztransformation"
=
U up =>
det 1 det 1 =+
keine Raumspiegelungen
-

=


o wenn




1 =


18 = 0 Orthochrone Lorenztransformation" >
Kein VE-Wechsel for !


den
Gruppe die BOOSTS und ROTATIONEN
enthält ,




z B
. .
Rotation im 3D-Raum

P'(x) &(x)
I
D(x)

(0
1000 Skalarfeld >
- =




An R Au(x (x)
Am() Am') XmAr(x)
=



vertorfeld + =
oder :
An(x) =
+ =
Am(x) + 0x drAm(x)




Ableitungen : da == ( 5) =
D'Alembert
Operator OMOM =
-




A =
I in der Poincare-Gruppe :


Star
,




Geschwindigkeit Un : =A gemessen (4) mit uMUm =
ch Mit Konstantem 4-vektor am


Impuls ph MoUn : = =
(E , p) =


(po p) ,
=

MoU(c 4) ,
mit popu =
Moc



ENERGIE-IMPULS-BEZIEHUNG nach
entwickelt

↓
~
nicht-relativistisch : Im :+ = m + (
aus
p
==
Er-p2 =
m2 =
Er =
mi +
↑

wenn Teilchen

(non-shell")
auf

sonst :
Massen-Schale
Virtuell !
E = mac" + ErcGat1 L Ultra-relativistisch :
1pkm :
E
L
,




Impulserhaltung : Bei Reaktionen a+ b +
C+ d +... am Teilchen
beschleuniger ist die Summe der Vierer-impulse erhalten .




Es
gilt also (bei n Teilchen im Endzustand) P2 Po +
Pu
+...
p pr
:
.
+ =




/ EntEr Est En
-
a
B
Pa Pu
=
z . 7




perpe
+ =




&
. =




b
7
p +
52 =

53 +
54


Zweikörperzerfall +
(Ma 5) po pc (Eb Po 5)
B pa po Pc par Es Ma Eb Es
=
mit + +
= + =
.
z
= = = +
. , ,




b
as - =
b =
-




5 ma-M

27
=>
EB-ms = Ec -
Mc
-

-
> Es =M-Mc und E
=
2 Ma

, STREUTHEORIE


-
7

Teilchendichte Anzahl Teilchen F d
Na im
Target Nb no
=> = .




Teilchenstrahl a
7
(innerhalb Strahlgverschnitt)
-
Teilchendichte Ma =
Na/V
+ -
Va
2


-0



& 00




VatFaAnzahlanTeilchen (
&
2 durc
Strahl-
Teilchenfluss ja Nava =
Target b =
fläche Strahlfäche
. Zeit


↓
geometrischer
Wirkungsquerschnitt Luminosität L =


ja .


No =
Anzahl

#
Teilchenbegegnungen
äche .


Zeit
[is]
Or
GrößedesTarget [m]
Reaktionsrate R =

ja Nb
.




Ob
=
Los =
nzanzgegegnungen
Zeit
[5]



7
Differentieller
Wirkungsquerschnitt
(proRaumwinkelelement


=

↳
mit n bunches
a + b +
c + d
MANDELSTAMM




EsI mia
[
<

(1) Ea"-IPal VARIABLES
Da Ma
= = :




1

Einheit barn" ( &

9 (1) 43" Es-1Pok My2
=
=

bunch
[1 barn] =
10-2"cme Tläche F
EaED-PaPb
-




#) Paps
=




=
pb = 10-1 barn

10-15
fb barn
#Spar-por lEatEsT-IP
=> = =
+




Center-of-Mass-Frame (COM)




⑫
lis
b
(Lab)
a

If
Target rest
frame
0 -
> >
- .

et
- ⑨

--- a 53 (pa) (f)
dh 5 (b) ↓ beschien
He
= -

= = =

.




(EatE S
frei bei



(
↓

t D frei
bei
-
-




Da Ds
t

par
+
= => + = +
z




( /Ea
(Pa-pot
par
=
(5) b
pa =
=
↳
übergangsmatrix :

for

(E)
:




(5)
=
a



>
- V M
IME PD2
=
=

Mei =
(flltli) =
< 4f / Hinz 14:]
s (pa py) pa po 2papy
=>
=
+
=
+ +



vorhanden
=
Ma + Mb2 +
ZEaMb mit 5 = Eac + Ega ↓ Energie
für Endzustand
Reaktions
rate
-




Wi = IMROCEf) mit dE =

vdp
=
zVE2 für MapE
-

Transformations :
(a) =

(pr- *) (5) v( ) =
mit Zustandsdichte O(E) =Es
= Dichte an Zuständen mit der Energie El

und (5) (pre) (m) = =

v ( -ma


i
~

RULE
mit

=E ) ta E -




Lösungen (freie Schrödingergleichung) :




ELASTISCHE STREJUNG an einem Potential
Ef
Tik) = Epix = Fazit gip
Pi -) Ye) = ipt = gift zipf
> U(r)
Tilt-Zerübergangsmatrix element :

First
Yfr) = gipr
Tri < Yf/FintI4i) =
-




JdBr Yfr) U(r) 4 : (F)
M
= -




mit =

Pi -




Pf Yukawa Potenzial mit 1111
=

- der ei U(r)
=>
Fouriertransformierte des Potentials




m Marget =>
(pi) =

15f) =

p
=
mial =>
Ig) =

2/pi) sin
Far Former
- 7



=>
Betragsquadrat der Streuamplitude mit = =
Pf
>

mit Et Ph M = dp



&
für punktförmige Ladung F(g) 1
=




Coulomb-Wechselwirkung
insinE
E
FEYNMANN- 1 -
und schwere Teilchen mmtarget
q pi Df
-


=




DIAGRAMM -

Z Propagator und nicht-relativistisch Erin
=
to


=
Strahl
target
-
Wechselwirkung Schwache-Wechselwirkung



Son Z
im Atomkene
↳ starke-Wechselwirkung Rutherford-
=> Streuquerschnitt
·

.




Sie
8




i
↓ Streuquerschnitt
Punktladung
-


einer