24.05.22
jbhlingend
=
immer näher an Noll
f Kl -
c wenn wir
gegen
Grenzwert
konvergieren
Funktions wert
Stetig = Grenzwert -
Bemerkung 4.13
Sind ✗ ≠ 0 eine
Menge
und f. g :
✗ →
☒ ,
so schreiben wir kurz
f ≤
q falls flx ) ≤
g ( )
x lt ✗ EX
8 Entsprechend schreiben wir auf
^
f
f- falls flxl glx ) f- X
< =
g
✗ c-
, .
Unter den Satz 4.11
> Voraussetzungen von
,
und f. reelwertig und f-
≤
g g ,
b
gilt
: ≤
so c
↓ De
Grenzwert f ≤
Grenzwert
g
Im
Allgemeinen folgt aus f =
g
nicht b =
c ( sondern nur b ≤
c)
✗
4
Beispiel :
✗
2
>
(o ,
^
)
, Definition 4.14
Es seien ✗ eine
Menge
und f :
✗ →
¢ .
Ist f. ( ✗ 1--0 ,
so
heißt ×
eine Nullstelle von
f .
Mit 2- (f) bezeichnen wir
die
Menge
der Nullstellen ,
also 2- (f) : -
{ ✗ c- X :
f 1×1=0 }
Bemerkung und Definition 4. ^5
ist Funktion
Polynom funktion
oder
Eine kurz Polynom eine
p
:
¢ →
¢ der Form :
p (z )
=
£ er
!
✓ =
0
Zd Zd ^
-
=
( + ( + t ↳ 2- Co
d d. , . . -
+
mit dem Koeffizienten < ◦
,
- -
-
,
<
d
C- ¢ .
Im Falle <
d≠o nennt
d
man
deg ( pl : =
den Grad von
p .
Sind
piq Polynome so ist
auch und Grad
pq
ein Polynom , zwar vom
deglp ) deglq +
) .
höchstens d
Polynome vom Grad DEIN haben Nullstellen ( →
Übung )
Aus
Bemerkung 4.21 und 4.12 ergibt sich ,
dass
Polynome stetig
sind /q
.
Sind
p ,
g.
=/ 0 Polynome so ist
p
:
¢/ 2- (g) →
¢
dieser Funktionen
stetig .
Funktionen Form nennen wir rationale .
( 4.16 im
Skript bzw . Zentral
übung )
Definition 4.17
Es seien ✗ c IR und f :
✗ →
Dann heißt f •
( monoton ) wachsend ,
falls f- ( x - / ≤
f- ( m
)
lt ✗ ^
,
✗ z C- ✗ mit ✗ n
=
✗ z
•
streng ( monoton / wachsend , falls flxn ) =
flxz )
t ✗ n
, ✗ z C- ✗ mit ✗ n
< ✗ z
jbhlingend
=
immer näher an Noll
f Kl -
c wenn wir
gegen
Grenzwert
konvergieren
Funktions wert
Stetig = Grenzwert -
Bemerkung 4.13
Sind ✗ ≠ 0 eine
Menge
und f. g :
✗ →
☒ ,
so schreiben wir kurz
f ≤
q falls flx ) ≤
g ( )
x lt ✗ EX
8 Entsprechend schreiben wir auf
^
f
f- falls flxl glx ) f- X
< =
g
✗ c-
, .
Unter den Satz 4.11
> Voraussetzungen von
,
und f. reelwertig und f-
≤
g g ,
b
gilt
: ≤
so c
↓ De
Grenzwert f ≤
Grenzwert
g
Im
Allgemeinen folgt aus f =
g
nicht b =
c ( sondern nur b ≤
c)
✗
4
Beispiel :
✗
2
>
(o ,
^
)
, Definition 4.14
Es seien ✗ eine
Menge
und f :
✗ →
¢ .
Ist f. ( ✗ 1--0 ,
so
heißt ×
eine Nullstelle von
f .
Mit 2- (f) bezeichnen wir
die
Menge
der Nullstellen ,
also 2- (f) : -
{ ✗ c- X :
f 1×1=0 }
Bemerkung und Definition 4. ^5
ist Funktion
Polynom funktion
oder
Eine kurz Polynom eine
p
:
¢ →
¢ der Form :
p (z )
=
£ er
!
✓ =
0
Zd Zd ^
-
=
( + ( + t ↳ 2- Co
d d. , . . -
+
mit dem Koeffizienten < ◦
,
- -
-
,
<
d
C- ¢ .
Im Falle <
d≠o nennt
d
man
deg ( pl : =
den Grad von
p .
Sind
piq Polynome so ist
auch und Grad
pq
ein Polynom , zwar vom
deglp ) deglq +
) .
höchstens d
Polynome vom Grad DEIN haben Nullstellen ( →
Übung )
Aus
Bemerkung 4.21 und 4.12 ergibt sich ,
dass
Polynome stetig
sind /q
.
Sind
p ,
g.
=/ 0 Polynome so ist
p
:
¢/ 2- (g) →
¢
dieser Funktionen
stetig .
Funktionen Form nennen wir rationale .
( 4.16 im
Skript bzw . Zentral
übung )
Definition 4.17
Es seien ✗ c IR und f :
✗ →
Dann heißt f •
( monoton ) wachsend ,
falls f- ( x - / ≤
f- ( m
)
lt ✗ ^
,
✗ z C- ✗ mit ✗ n
=
✗ z
•
streng ( monoton / wachsend , falls flxn ) =
flxz )
t ✗ n
, ✗ z C- ✗ mit ✗ n
< ✗ z
